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额乘以其第二列中对应的概率，得出的期望值就等于我们前
面用到过的期望值1；000；000美元。
当决策者不知从何开始着手分析时，用建立累计分布函
数的方法便可使他们得出平均值或期望值。画累计分布函数
是一种有效方法，可将一系列你对未知事件可能出现的高、
中低结果概率的判断结合起来，以得到供决策用的期望值。
一组可能结果的累计密度分布函数图就像一个大的“S”。
在累计密度分布函数中，你一眼就可以看出所有可能的结果，而不仅仅是统计中的几个独立的点。如下图所示，Sam
Houston先生认为，出现的结果可能在0 到6；000；000 美元的
连续区域内。
累计分布函数中的从 0 到 1。0 的概率区域可用中值方法
（Bracket median technique）将之分成“区间”。上图中
的累计分布函数就是用这种方法分为 5 个区间的。例如，你
可将之分成 0。1，0。3，0。5，0。7，0。9 的区间。每个区间分
别代表的便是 0 到 0。2，0。2 到 0。4，0。4 到 0。6，0。6 到 0。8
以及0。8到1。0的“价值区域”的平均值。
概率是 0。5 的区间即是中数，这是因为左右两边各代表
价值的一兰。但这个中数并不一定非是前面正态分布中提到
的平均值。中值仅仅是价值区域的中心，而平均值则是用价
值和发生的对应概率相乘后得到的积，例如在前面采油的举
例中，我们用平均值的方法计算出出油的期望值是 1；000；000
美元。
累计密度分布函数
出油可能结果价值（单位：千美元）
油的价值
为把累计密度分布函数应用到决策树中，以便用出重要
的管理决策，请你考虑一下如何将油井可能产生的价值全部
表示出来。其概率结果应成一“扇形”，代表着“一组”价
值。你也许不可能在树上画出无限根分枝来，所以，让我们
借助于累计密度分布函数的方法来解决问题。
画出累计密度分布函数
要画出如上的累计密度分布函数图，你不仅要使用自己
的研究数据，还要独立进行分析判断。你要对自己提出如下
的一系列问题：
发生的概率或高于或低于50％（中值）时的价值是多少？
发生的概率在较低的区域（10％区间）的价值是多少？
发生的概率在较高的区域（90％区间）的价值是多少？
钻井决策树
使用累计分布函数
EMV=。9＇（。2×130 美元）＋（。2×750 美元）＋（。2×870
美元）＋（。2×1150美元）＋（。2×2100美元）＇根据上述问题的答案，你就可以将自己认为的全部结果
画成累计分布函数图。从累计分布函数中的 5 个区间内，挑
选出 5 个结果，你就可以在决策树上画出树枝似的 5 种可能
结果的扇形概率（Even fan）。
此处的期望财务值和前面第一次提到时的数值是一样
的。我第一次选此值的原因，完全是为了方便读者。
利用 5 个区间的另一种简洁方法叫“皮尔逊·图基法”
（Pearson Tukey Method）。这种方法不用 5 个区间，而是
用 3 个区间，即 5％，50％和 95％三种，而其各自对应的概率分
别是18。5％，63％和18。5％。
在分析重大问题时，人们用蒙特卡罗（Monte Carlo）模
拟程序计算决策树。计算机的计算横型中包括了概率扇形的
累计分布函数以及有关树型图中的有关参数。该程序可对多
种情况进行模拟，让你了解事件发生时的情景。“Fortune”
杂志评选的前500家公司，不少公司就使用这种方法。
当决策树中的某一分枝的期望值不确定时，便可使用累
计分布函数和区间分析法。但是，分析人员自己的判断还是
最重要的。决策树仅仅是 MBA 们基于知识和凭借直觉分析问
题的一种工具而已。
回归分析和预测
线性回归（Linear Regression）模型是分析人员用以凭
借直觉确定多种商业情况下有关变量之间关系的工具。一旦
找到了这种关系，就可以用它来预测将来。普通的线性回归
是用于分析销售额和价格、促销和市场等诸多因素之间的关
系，股票价格和盈利、利息之间的关系以及生产成本和产量
之间的关系。当然，也可以用它来得到诸如“天气温度的变
化对销售冰淇淋的影响如何？”这一问题的答安。此例中，
自变量（Independent variable）X 表示温度，是引起其它数
值变化的变量。因变量（Dependent variable）Y 是销售额。
是温度影响销售，而不是相反。
回归分析要求收集足够的数据，以确定变量之间的关系。
通过相当多的数据点，诸如一年里有关温度的数据及销售的
变化情况，我们便可以温度为 X 轴，销售额为 Y 轴画出图形
来。研究回归的目的是要找到一条能够最准确地描述二者之
间关系的线性等式。回归就是在画出的数据点中间“插入”
一条直线，并尽量使“各点距这条线距离差的平方最小”。这种“最小平方法”（Least squares method）要求做大量
数据的加、减和相乘。在具体计算上，使用计算器或 Lotus1…
2…3软件即可。
线性代数复习
在学习回归的具体例子之前，先让我们复习一下线性代
数的一些基本概念。代表直线的线性方程是：
Y=mX＋b
其中，Y=因变量（如销售）
m=直线的斜率（变量之间的关系）
X=自变量（如雨量）
b=y轴上的截距（直线与竖轴的交叉点）
Lotus1…2…3 计算软件可以求出决定自变量和因变量之间
关系的线性方程。Lotus 软件还能确定这条计算出的“最佳”
的直线能否作为工具准确地预测将来。
冰激凌的回归举例
Ben&Jerry 先生是 20 多家冰淇淋连锁店的老板。他注意
到随着温度的升高或降低，公司的销售额也有相应的变化。
为了确定季节性气候变化和销售额之间准确的数学关系，他
收集了前 5 年每月的销售数据，又从国家气象服务中心查到
对应月份的平均温度。他收集的数据如下：
10 73 600；000
11 45 300；000
12 36 500；000
用 Lotus 计算软件中的数据回归（Data Regression）功
能计算，店主得出如下结果：回归结果
常娄 …379；066
估计的Y值的标准偏差 243；334
R平方 0。704
X系数 16；431
系数的标准偏差 3；367
上列数据的含义是什么？
上面列出的内容包含了描述 Ben&Jerry 公司销售和温度
变化之间关系直线方程的数据。先列出线性方程式：
常数=b=…379；066
X系数=m=16；431
将之代入前面的标准线性方程式中，即：
Y=16；431X…379；066
将数据点在图中画出，并根据方程式绘出这条回归线。
用Lotus计算软件画出的图形如下：
销售Ben&Jerry冰淇淋回归举例
温度°F
如图所示，回归直线从数据点的中间穿过。将温度值 X
代入等式中， 就可以计算出预计的冰淇淋销售量。在Ben&Jerry
的例子中，当温度为 60F°时，估计的月销售额应为 606；794
美元，即
Y=（16431×60F°）…379；066=606；794美元
用这种公式计算出的预计的冰淇淋销售额准确度如何？
对这一问题的答案，可从 Lotus 计算软件中的回归结果
（Regression Output）计算出的另一个数字中找到。
R平方释义
R 平方值告诉我们“用已知的回归方程式解释了数据变化
的百分数”。在这一举例中，回归方程式解释了销售变动的
70。4％。这一比率是很高的。在更为广泛的经济分析中，由于
对经济起影响作用的变动因素很多，所以，能达到30％的 R 平
方值就算是很高的了。在冰淇淋行业，除了天气的变化，所
做的广告，分发的优惠券以及商店营业的时间，都会对销售额的变化有影响。
但是要当心！不要过分指望回归数据的结果！关于温度
变化引起的销售的变化，回归能告诉你的也就这么多。回归
并没说“温度变化确实引起了销售的变支”。但如果选择的
自变量合理，就能得出你想要了解的因变量的值，还是用之
为好。
回归分析不仅能指出诸因素的正面关系，如气温和冰淇
淋的销售的关系，还可以解释负相关因素之间的关系，如利
息和房屋销售的关系。如果利率高，房屋的销售就慢。在这
种情况下，X 系数是负数。这些负相关的作用一如正相关的作
用，都是很有用的。
标准误差释义
Lotus 计算软件得出的“Y 的标准误差和 X 系数”是回归
线Y值标准偏差和 X系数之标准偏差的同义词。在 Ben&Jerry
举例中，估计的Y值（销售）标准误差在68％的情况下是要加、
减243；334 美元。同样得出的结果表明，X 系数（温度）标准
误差是 3367。用标准偏差的方法可以对可能的一组数据进行
各种分析，以确定这些数字的变化以及得出的回归方程式的
可靠性。
可靠性的T型统计测量方法
T 型统计（T Statistic）有助于确定用 Lotus 软件计算
出的回归方程是否能很好地进行预测。T型统计揭示的是 X 变
量对 Y 函数是否在统计上有重大的影响，例如气温对销售的
影响。这一计算方法是将相关系数 X 除以标准误差。大拇指
定律是：如果 T 统计高于 2 或低于…2，变量 X 对函数 Y 就有
统计得到的影响。在我们的举例中。16；431÷3；367=4。88，
具有相当高的 T 型统计值。所以，分析人员就会得出气温对
销售的影响非常明显的结论。
在考虑某一模型能否作为好的预测标准时，需要有一个
较高的 R 平方值和一个较高的 T 型统计值。还可以做出不只
一个 X 变量的模型，叫多重变量回归（Multivariable
regression）。随着变量数量的增加，R 平方也随之增高。但
是，多增加 T 型统计低的变量 X 会造成模型不准确。因此，
有必要人为地增加或减掉独立变量，以达到较高的 R 平方值和较高的T型统计值。
虚拟变量回归分析
回归分析中使用的一种技巧，就是通过虚拟变量（Dummy
variables）表示那些无法用数字衡量的假设条件，即用 0 和
1来表示。例如，在 Toys“R”Us 公司，某一季节内热销的环
具有库存，这就是一种能保证销量急剧上升的非数学化的条
件。采用虚拟变量的方法，我们把有库存的用“1”表示，无
库存的用“0”表示。
假设 Toys“R”Us 公司的一家商店有一组数据，你便可
以看出这组数据是如此发挥作用的。
日期 热销玩具库存情况
（1=有库存，0=无库存）
销售（美元）
92/12/1 0 100；000
92/12/2 0 100；000
92/12/3 1 200；000
92/12/4 1 200；000
92/12/5 0 100；000
92/12/6 1 200；000
92/12/7 0 200；000
用 Lotus 软件计算出的热销玩具和销售之间的关系的回
归结果是：
回归结果
常数 100；000
Y估计值标准误差 0。001
R平方 1。00
X相关系数 100；000
相关系数标准误差 0。0009
这是一个条件非常完美的例子。因为 R 平方解释的变化
量是 100％，T 型统计值也非常合适。T 型统计接近无穷
（100；000/0。0009）。无热销玩具时的销售额是 100；000 美元，有这种热销玩具时的销售量能再多增加 100；000 美元。
用Lotus计算软件计算，这一回归方程式就是：
销售=100；000X美元＋100；000美元
如果人人想买的这种玩具，公司有货，则 X=1，销售额增
至200；000美元；如果无货，则 X=0，总销售额是100；000 美
元。虚拟变量非常有用，可把无级数据，如库存状态、节假
日等，和其它有规则的有级变量，如温度、利率、残次品等，
结合在一起考虑，做出有用的回归模型。
其它预测方法
时间序列法（Time series techniques）是依据一段时
间内关系的变化预测结果。在冰淇淋例子中，绘画出的气温
和销售的数据点并未考虑它们各自发生的时间。回归关系分
析并不考虑时间。显然，季节对 Ben&Jerry's 的销售有影响。
时间序列法在绘出数据点时考虑了发生的时间。这种方法试
图将数据内的变动分离成3个部分：
强调趋势——上、下、平稳（长期衡量）
周期——小时、每日、每周、每月（短期衡量）
意外变动——由于特殊情况或自然巧合引发的意外或不
规则变动
回归和变动平均是用来确定事物发展的趋势和周期的。
你可以想象得到，时间序列的预测过程非常烦琐，用简单的
例子也不了什么问题。但知道有时间序列这种方法，对你至
少还是有帮助的。
总结
本节介绍了具有下列功能的数量分析方法：
·用决策树解决复杂问题
·确定未来收到的现金的价值—现金流分析和净现值分
析
·用概率论将不