按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页,按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页,按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部!
————未阅读完?加入书签已便下次继续阅读!
本来这道题在使用解题公式前如果用因式分解来解题是最简单的。
x2 -13x + 36 = (x-4)(x-9) = 0
2、配错了的浓度是多少? 15分
问题
把20%的糖水和30%糖水混在一起,想配成24%的糖水,可是一不小心把比例弄反了。
请问配错了的糖水的浓度是多少?
(图略)
提示
本来打算配制的比例是多少?
解题 配错了的浓度是多少?
(图略)
本来打算配制的比例是
20%的糖水的量:30%糖水大量
=(24…20):(30…24)
=2:3
把配错了的糖水设为x%
本来应该按2:3配制,结果配制成了3:2。所以
(x…20):(30…x)=3:2
因此 x=26
答案 26%
3、球的大小 15分
问题
想把两个同样大的排球装在圆柱形的箱子里,装进去一看,像下图那样正好装满。圆柱
的底边直径为32cm,高为36cm
那么球的半径是多少cm呢?
(图略)
提示
画一个通过两个球的圆心和圆柱的中心线的平行断面图看看。
解题 球的大小
像下图这样画出通过两个球的圆心和圆柱的中心线的平行断面图。
(图略)
设球的半径为r(cm)
AB=2r
AC=36…2r
BC=32…2r
根据勾股的定理
(算式省略)
因此
(算式省略)
整理上式为
(算式省略)
由于 r小于32(圆柱的底边),所以
r=10(cm)
答案 球的半径为10cm
4、最大的积是多少? 15分
问题
组合从0到9的数字,请排列出两组最大的积。每个数字只能用一次。
提示
两组数之和为一定时,两组数的差越小,其积也就越大。那么我们设两个组数分别为
a+b、a…b、就会得出
(a+b)(a…b)=a2-b2
所以可以得知 b=0时的积最大。
解题 最大的积是多少?
两组数的第一位数是9和8的情况下,两组数的差最小,积也最大。
下一位数是6和7,如果和9和8组合在一起,即 96和87。这两组数的差最小,积也最大。
(96…87=9、97…86=11)
同样,把接下来的位数4和5像964、875这样组合,两组数的差最小,积也最大。
再把下一位的数2和3像9642、8753那样组合,两组数的差最小,积也最大。
把最后的0和1也像96420、87531这样组合,由于两组数的差最小,所以积也就最大。
这就是我们想要的答案。
答案 96420和87531
5、同时打开 20分
问题
水槽上安装着3个水龙头。第1个龙头打开10分钟、第2个龙头打开15分钟、第3个龙头
打开30分钟后水槽里的水流完。
那么请问,如果把3个水龙头同时打开,经过几分钟水槽会空呢?
提示 注意每个龙头1分钟的流量。
解题 同时打开
设水槽里的水量为V,把第1个龙头、第2个龙头、第3个龙头打开时1分钟的流量分别设
为V1、V2、V3 于是有:
(算式省略)
设打开3个龙头后,水槽里的水流完的时间为t 于是
(算式省略)
答案 5分钟
第二部分第2节
6、牧草是边吃边长的 30分
问题
这是牛顿(1642~1727)想出来的问题。
把9头牛放牧在2英亩的牧场上,16天把牧草吃光。又把18头牛放牧在3英亩的牧场上,10天把牧草吃光。
那么请问,把35头牛放牧在5英亩的牧场上,多少天能把牧草吃光?
关于面积单位,我们假定放牧前牧草的量和每天牧草生长的量相同。并且每头牛每天吃
的牧草的数量也相同。
(图略)
提示
虽然用单纯的比例计算就可以求出结果,但是牧草在被吃掉的同时也是生长的,所以不是那么简单哪。
解题 牧草是边吃边长的
设在1英亩牧场里放牧前所生长的牧草量为u、每天生长的牧草量为v、一头牛每天吃
的牧草量为w, 那么
2u+16×2v=16×9w ……①
3u+10×3v=10×18w ……②
根据①x3…②x2、36v=72w 所以 v=2w
代入算式①, u=40w
那么我们把所求的天数设为t
5u+tx5v=tx35w
把 v=2w、u=40w 代入算式
200w+10tw=35tw
所以 t=8天
答案 8天
小知识
万有引力的发明者、微积分的创始人牛顿,非常喜欢猫咪。为了让猫咪出入自由,牛顿
在家里到处开了好多通道口。
猫咪在生小猫的时候,牛顿高兴极了。他让男仆在猫妈妈的通道口旁边开一些小洞。男
仆不明白为什么开这些小的洞,牛顿非常认真地“是小猫的通道口呀”。
7、13 + 23 + 33 + …等于多少? 30分
问题
(算式省略)
那么,(算式省略)等于多少呢?
提示
请注意n的立方可以用n个连续奇数的和表示。(例如:3的立方是3个连续奇数7、9、11之
和)
解题 13 + 23 + 33 + …等于多少?
n的立方可以用n个连续奇数的和表示,也就是说 算式13 + 23 + 33 + …+n3是从1开始的(1+2+ … +n)个连续奇数的和。
因此,算式13 + 23 + 33 +43+53+63+73+83+93+103等于(由于1~10的和=55)从1开始的55个连续奇数的和。从1开始到第55个奇数是
2n…1=2×55…1
从1开始到第n个奇数之和是根据右图等于n的平方。
所以
(算式省略)
(图略)
答案 3025
小知识
(算式省略)
所以,一般来说(1 +2 + …+n)2 =13+23+ …+n3
4、钟表的篇章
“钟表篇”的功能
钟表是智力题的代表道具。
看了雅孝司著的'令人爱不释手的直觉智力测验'(中经出版)一书,
恐怕计算'两根表针一天重合几次'的人们总计也有几亿人吧?
如果是那样的话,我们也不能越过不提吧。这真是了不起的老调
新唱。
利用钟表所出的问题虽然不是很难,但是对刺激数字的感觉、逻辑性的思考能力、灵活
的想象力等却是个绝好的问题。
1、 所有的表都不准 5分
问题
在收音机报12点时,我确认了家里的表正确之后就出去散步了。
途中看见教会的大钟是12点14分。
到了目的地书店,那里的表是12点32分。
用8分钟买完东西,回来的路上教会的大钟是1点02分,到家的时候是1点14分。
由于来回走的速度都一样,所以,教会的大钟和书店的表好像都不准。
那么请问,教会的大钟和书店的表分别差几分钟呢?
(图略)
提示
用往返时间来思考。
解题 所有的表都不准
从家到教会往返用了26分(14分+12分)。由于走的速度相同,本来应该是来去都应该各
用13分。由于教会的大钟在去时用了14分,所以教会的大钟快1分钟(请确认一下回来时前
后是否符合)
从教会到书店往返用了40分(18+22)。由于走的速度相同,本来应该是来去都应该各用
20分。由于书店的表在去时用了18分,所以和教会的大钟比书店的表慢了2分。
由于教会的大钟快1分钟,所以我们得出书店的表比正确的时间慢1分。
请确认一下整个路程的前后是否符合。
(14分) (18分)
往 12:00》12:14》12:32
家 教会 书店
(图略)
返 13:14 (12分) (22分)
答案
教会的大钟:快1分钟
书店的表 :慢1分钟
2、停止的钟表 5分
问题
山上寺院里唯一的一个挂钟停了。
和尚到离寺院500多米远的施主家去问时间,回来后调整挂钟的时间几乎和正确的时间
相同。
那么请问,和尚是怎样来调整挂钟的时间的?
(图略)
提示 停止的钟表
可不是你认为戴着手表那样天真的问题哟。
解题 停止的钟表
出门去邻居家时,给挂钟上满弦使之走动,计算来回路程所用的时间。将其一半的时间加
在从施主家里所问的时间上,这样就调整好了寺院里挂钟的时间。
当然,要特别注意走路的方法,使往返时所用的时间相同。
3、表针在一天里重合几回? 15分
问题
钟表的长针和短针在一天的时间里重合几回呢?开始的0点不计算。
(图略)
提示
要计算最后的24点。
解题 表针在一天里重合几回?
长针在1分钟内走6度(360度除以60分)、短针在1分钟内走0。5度(360度除以12小时除
以60分)。我们设长针和短针重合一次后到再重合时需要n分,则有下列算式:
6n-360 = 0。5n
解算式为
(算式省略)
也就是说长针和短针重合一次后到再重合时的时间为1小时(算式省略)、可是不能说1
天24小时长针和短针就重合23次。开始的0点不计算、最后的24点计算。所以22回重合。
答案
22回
小知识
这是从室町末期后半到江户末期在民间使用表示时间用的。是报时的钟声次数成了时间
的叫法。日出前的微明叫明六、日落后的天快黑时叫暮六、把从明六到暮六白天的时间
和从暮六到明六夜晚的时间分别分成六等份、把一天的时间分成12刻。明六的下面
是五、四数字越来越小、可是突然又变成了九(正午)、然后又是八、七、暮六、五、四。为
什么不用从一到三的数字?真是不可理解的事。
4、长针和短针成一直线 15分
问题
从3点到4点之间短针和长针相互朝相反的方向走成一条直线时是几点几分?
(图略)
提示
用怎样的算式表示短针和长针成一条直线是问题的关键。
解 长针和短针成一直线
长针在1分钟内走6度(360度除以60分)、短针在1分钟内走0。5度(360度除以12小时除
以60分)。
我们设在3点n分的时候短针和长针成一条直线(180度)长针从6n、短针从3点的位置
(由于单针在1小时转动30度、所以30度×3)转动0。5n。因此、等式
6n…(30×3+0。5n)=180 成立。
所以:(算式省略)
也就是3点49分5秒(将11分之1用十进法表示,换算成秒数约为5秒)。
答案
3点49分5秒的时候。
小知识
日出、日没的时间根据季节的变换而不同。如果把一天的时间分别分成六等份、分成
一二时刻的话,白天的一刻夏天长、冬天短(把像这样决定时刻的方法叫做不定时法)。
如果签订了夏天和冬天在同一时间内劳动的契约,夏天要比冬天的实际劳动时间多出
很多。虽然感到不合理,但是作为江户时期的人来说,夏天更容易耕作,所以好像还是很合
理的。
5、散步时间 15分
问题
12点过后出去散步去了。
出发时、回来时都看了时间,短针和长针正好交换了位置。请问,出去散步了几分钟?
(图略)
提示
在1小时之间正好有短针和长针交换的时候。短针和长针交换位置,就是说两条针前进
的角度之和是360度。
解题 散步