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数学新干线-第6章

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    都是相似的。    
    图形P的面积+图形Q的面积= 图形R的面积的公式是永远成立的。    
    6、希波克拉底的定理 15分    
    问题    
    希波克拉底(BC450年左右)是希腊的哲学家。    
    '如图所示,把直角三角形的各边作为直径画圆时,请证明斜线部分面积的和等于直角    
    三角形的面积'。    
    (图略)    
    提示    
    这和三个半圆的定理很相似啊。    
    解题 希波克拉底的定理    
    三个半圆的定理是(P1+P2)+(Q1+Q2)=R    
    R是以c为直径的半圆的面积。    
    就右图(图略)来讲,    
    R=直角三角形的面积+(P2+Q2)    
    因此    
    (P1+P2)+(Q1+Q2)    
    =直角三角形的面积+(P2+Q2)    
    所以    
    P1+Q2=直角三角形的面积    
    小知识    
        
    以直角等腰三角形的直角为中心,以直角边为半径,画四分圆;以三角形斜边为直径画半圆,得到月牙儿状图形。此月牙面积等于三角形的面积。    
    四分圆的面积=(算式省略)    
    半圆的面积=(算式省略)    
    因此    
    四分圆的面积=半圆的面积    
    两边同时减去三角形和斜线部分之间的弓形的面积,那么    
    直角三角形的面积=月牙儿的面积    
    (图略)    
    提高能力    
    圆 = 三角形?    
    (图略)    
    请在上面1~5图中选出唯一一个不同的图形。    
    你会说'这不是全部都不一样吗?' 本来是这样的。在'只有同样的图形才相同'的情况    
    时是这样。    
    '相似的图形也相同'这种见解也是成立的。这种时候1和2就成为一样的了。    
    可是不管是哪一种也选不出来只有一个不同的图形啊?为此,要用其他的方法去看图形    
    了。    
    在橡胶薄膜上画出图形,把薄膜抻长或缩短时就会变成三角形、四角形、椭圆形、及    
    圆形等各种形状。    
    对追求图形本质的新科学来说,抻长、缩短、歪斜、重叠等都可以看成是相同的。我们    
    把这个叫做同相。    
    只有5图,无论你怎样抻长、缩短、歪斜,因为无法变成其他的图形,所以⑤和其他图    
    形都不一样。因此,要是选出只有一个不同图形的话,只能是选⑤图了。    
    7、中心点在哪儿呢? 15分    
    问题    
    有个人想在圆盘的中心点钉上钉子挂在墙上。钉子如果不在中心看起来会不顺眼,所以    
    尽可能的找到准确的中心位置。工具只有一个直角尺。    
    那么怎样做才好呢?    
    (图略)    
    提示    
    直角尺是木匠使用的用金属折成直角形的尺。    
    解题 中心点在哪儿呢?    
    如图所示,把直角尺的直角合在圆周的一个点上,再找到两个直角边和圆的接触点,将    
    两点连线。按照同样的方法再另画出一条线,两条直线的交点就是圆的中心点。这是泰勒斯定理“直径的两端和圆周上的任意一点相连后形成的角是直角”的应用。    
    (图略)    
    小知识    
        
    由于三角形的内角和为180度,所以    
    (算式省略)=180度。。。。。。1    
    由于OA、OB、OP是圆的半径,所以三角形OAP和三角形OBP是等边三角形。    
    由于等边三角形的两个底角相等,即    
    (算式省略)。。。。。。。。。。。。2    
    根据1、2, (算式省略)=180度    
    所以 (算式省略)=90度    
    由上列算式证明,角ABP是直角。    
    


第二部分第6节 

    8、反论(奇谈怪论)的篇章    
    “反论章节”的功能    
        有两个不同大小的蛋糕,媳妇和婆婆两个人吃。婆婆说“你先请吧。”    
    媳妇先拿大的去吃了。婆婆看到后说“要是让我先吃,我肯定会选那个    
    小的是吧。” 媳妇说“母亲,您有什么不满意的吗?这不是按照您所想的    
    拿了吗?”    
    反论智力题的内容是把反论做为教材的。可以考虑成是理论问题的变形。    
    因此,他们的效果几乎是相同的。只是反着说而已,更能锻炼人们的直觉判断能    
    力。    
    1、 谎言村的诚实者 15分    
    问题    
    诚实村的村民一定诚实,谎言村的村民肯定说谎。这两个村相邻,村民们常有往来。    
    正好有人来到了这里,可是不知道是哪一个村庄。要想知道是哪一个村庄,怎样问才好    
    呢?    
    (图略)    
    提示    
    由于两村的村民来回走动,即使随便找个人问也不知道是哪个村的。如果所到的村庄是    
    诚实村,你可以考虑一个诚实村和谎言村的人都一样回答的问题。    
    解题 谎言村的诚实者    
    来人问到'请问你是住在这个村里的吗?',回答如下列表格所显示的那样,如果是诚实    
    村的人回答是肯定的,如果是谎言村的人回答也是肯定的。    
     询问的人 = 诚实 询问的人 = 说谎    
    诚实村 是 是    
    谎言村 不是 不是    
    2、你永远不会秃 5分    
    问题    
    '你的头发很多呀,拔掉一根你的头发吧。只是拔掉一根又不会有太大的影响。你不会秃顶的。    
    假设没拔头发时是第n回,拔掉一根头发后是第n+1回。我们确认了第n回的情况和后来只是拔掉一根头发的第n+1的情况完全是两种不同的秃顶情况。    
    于是,无论拔掉多少头发都不会变成秃顶的。所以,完全把头发拔光你也不会变秃顶的'    
    那么,要想避开这个反论应该怎么办才好呢?    
    提示    
    让我们好好考虑一下秃顶到底是怎么一回事?    
    (图略)    
    解题 你永远不会秃    
    如果明白秃顶的定义是什么,像这样的反论就不成立了。    
    比如说,我们明确了'头发在少于3万根以下的时候叫秃顶'这个定义以后,那么假设第n回的头发是3万根+1时,拔掉一根的n+1的情况下就变成了'秃顶'。    
    3、三角形的两边之和等于另一边 15分    
    问题    
    '设三角形ABC的AB边的中心点为D、AC边的中心点为E、BC边的中心点为F。然后,连接各中心点D、F、E形成平行四边形ADFE。    
    在这个平行四边形里,AD和EF的长度相等,AE和DF的长度相等。因此,AB和AC的长度之和等于连接BD、DF、FE、EC的曲线的长度。    
    下面也同样,曲线BDFE的长度等于曲线BGHIFJKL的长度。 再接下来还是同样。。。。。。,    
    经过无数次重复之后,这个像锯齿似的曲线就会和底边BC重合。所以,三角形的两边之和等于另外一边。'    
    那么,怎样能回避这个反论呢?    
    (图略)    
    提示    
    请用显微镜看。    
    解题 三角形的两边之和等于另一边    
    不管锯齿变得怎样细小,如果用显微镜看还是锯齿。不管怎样折叠弯曲,锯齿的长度还    
    是等于AB+AC。    
    底边BC是点B和点C之间最短距离是直线,不管锯齿变得怎样细小,即使看起来好像和直线完全重合了一样,也不会变成直线。    
    小知识    
        
    后来成为文艺春秋出版社社长的菊池 宽最讨厌几何和数学。看到'证明三角形的两边    
    之和大于另一边'的考试题出来时,竟然在答案上写到'这个证明就是,连狗都知道绕开走    
    '    
    欧几里得(BC330?~ BC275?)利用'线段的长短随着它所对应的角度而变。角度越大线    
    段的长度就越大'的定理作出了证明。    
    (图略)    
    4、所有的圆周都相等 15分    
    问题    
    '把盘子立在桌子上在不使其滑倒的情况下旋转一圈。于是,可以看到盘子的同心圆    
    盘子的底部也在一同旋转。如果在不使盘子滑倒的情况下旋转一圈的话,就形成了圆。所以,大的圆也就是盘子的圆周和小的圆也就是盘子的底部的圆周长相同。也就是说,所有圆周的长度都相等。'    
    那么,怎样解决这个反论呢?    
    (图略)    
    提示    
    画一个图试一试。    
    解题 所有的圆周都相等    
    1在进入正题之前    
    设三角形ABC的两边AB和AC的的中心点分别为M和N。    
    在BC上的任意一点D和A连接,在MN上的交点为P,那么D和P是1比1相对应    
    的。因此,BC上所有的点在MN上都有相对应的点。    
    并且,MN上所有的点在BC上也都有相对应的点。    
    也就是说,BC上的点和MN上的点都是1对1相对应着的。    
    然而,MN的长度是BC的一半。像这样不同的两条线上的点,即使每一个点都是1对1相对应,但是并不能说两条线就相等。    
    (图略)    
    2圆周长    
    如图所示(图略),AB是大的圆旋转一圈的周长,PQ是同时旋转的小的圆的周长。    
    大圆的圆周上的点和AB线上的点是1对1相对应的。小圆的圆周上的点和PQ线上的点也是1对1相对应的。    
    因此,大圆的圆周上的点和小圆的圆周上的点也是1对1相对应的。    
    到这里和问题当中所说的意思是相同的。    
    如1所述,虽然说是1对1相对应的,并不能说长度就相等。因此,问题中提到的'所有圆周的长度都相等。'这一论述是不能成立的。    
    标题图解:能力提高    
    镜子照东西为什么只是左右相反呢?    
    镜子里照出来的影像左右是反过来的。为什么只是左右相反而不是上下倒过来呢?    
    面向镜子靠近看时,镜子里的影像反过来向前靠近。也就是说,镜子的功能是可以    
    改变前后位置的。    
    站在垂直放置的镜子前面,所看到的影像是上(头)在上、下(脚)在下、左在左边、右    
    在右边。然而,虽然面向镜子而立,镜子里的影像却是前后变换面朝向你这边。虽然镜子里的影像是上在上、下在下、左在左边、右在右边,由于前后变换着的影像和你面对面,所以左右是相反的。    
    站在平放在地上的镜子上面,这回你看到的是上(头)下(脚)颠倒的影像。然而,这种情    
    况上面应该是腹部,下面应该是背部。也就是说,上下仍然是不变的。之所以头和脚相反倒立过来,是因为前面所说的前胸和后背变换的原因。因此左右仍然是反过来的。    
    也就是说,只是左右相反的影像是因为镜子的功能是把上在上、下在下、左在左边、    
    右在右边原封不动的照下来,只是前边和后边倒过来而已。    
    有一种使左右不倒过来的方法。把三面镜子成直角放置,站在这种镜子的前面斜着看两    
    边的镜子,镜中的影像是前边和后边没有改变的。因为经过两次反射,左右相反的影像又一次被反射回来,所以看到的影像是左右没有倒过来。    
    5、弘法选笔 15分    
    问题    
    '弘法不用挑笔'。这个命题反过来就是'不挑笔的人是弘法',命题里边的含义并不能说    
    肯定是'不是弘法的人就挑笔'。然而,把命题掉过来'挑笔的人不是弘法'的说法肯定是真的。上面是逻辑学所讲的东西。然而,'如果不对他发脾气就不学习'的命题的对偶是'如果学习就被发脾气',这样的说法怎么也不能成立。因此,命题的对偶肯定是对的这种逻辑学上的理论是正确的吗?    
    弘法不挑笔               相反             不挑笔的人是弘法    
            对面             对偶              对面    
    不是弘法的人就挑笔       相反             挑笔的人不是弘法    
    提示    
    '说谎!'就是'不要说谎啊'的意思,这是一种常用的表现。'如果不对他发脾气就不学    
    习'的真正含意是什么呢?    
    解题 弘法选笔    
       开 展对偶和三段论法等理论,必须是把命题以惯用的手法直接表达出本意来。'不被~就不'是一种惯用的手法,他的意思是'不等到被~就不'。所以,命题'如果不对他发脾气就不学习'的真正含意是'不等到被发脾气就不学习'。    
        把这句话掉过来说
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