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数学新干线-第8章

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    提示    
    用a、b两个砝码称能有几种测量方法?    
    解题 天平法码    
    由于可以把法码放在天平上,用a、b两个法码(设a    (图略)    
    首先1克的法码是无论如何要用的。    
    把其次需要准备的法码设为x克,就可以称x+1克和x…1克。    
    由于x…1克是在1克的基础上继续加1克的重量    
    所以 x…1=1+1    
    即 x=3    
    根据上式可以称出 1、2=3…1、3、4=3+1克    
    把要准备的第三个法码社为y克,由于第二个法码可以称到4克,所以又可以称    
    y…4、y…3、y…2、y…1、y、y+1、y+2、y+3、y+4克的重量。    
    由于y…4是在4克的基础上继续加1克的重量    
    所以 y…4=4+1    
    即 y=9    
    因此可以称出1、2=3…1、3、4=3+1、5=9…(1+3)、6=9…3、7=9+1…3、8=9…1、9、    
    10=1+9、11=3+9…1、12=3+9、13=1+3+9    
    再把要准备的第四个法码设为z克,可以称从z…13到z+13。    
    和前面一样、    
    z…13=13+1    
    所以 z=27    
    因此可以称出到40克的重量了。    
    也就是说、只要分别准备1、3、9(=3的平方)、27(=3的立方)克4种法码,就可以称出    
    从1克到40克、每一次加1克的重量。    
    答案    
    须要准备1克、3克、9克、27克四种法码。    
    小知识    
        
    '天平法码'的问题是17世纪前半叶法国的数学家巴谢想出来的问题。    
    原来的问题是这样的。    
    '一个商人有一颗40磅的宝石。有一次不小心掉在地上摔成了4块。摔碎的宝石哪一个都是整磅数,用它代替天平的法码,可以称量从1磅到40磅的重量。那么请问摔碎的宝石每一块是多少磅呢?'    
    7、福根儿 20分    
    问题    
        有一副扑克牌。从上面开始依次是黑桃、红桃、梅花、方片,且每副牌都是按A、2、3、4。。。K的顺序排列的。    
        把最上面的牌扔掉,再把接下来的牌放在最下面。然后同样是把成为最上面的牌扔掉,再把接下来的牌放在最下面。    
        就这样一副牌一副牌重复操作下去的话,问最后剩下的一张牌是什么牌?    
    (图略)    
    提示    
    扑克牌开始是52张(4x13)。    
    按照上面的做法,最初的牌只剩下偶数牌时,只是偶数牌在重复。那么最下面的一张又    
    重新被放到最下面。    
    比如说,开始的牌有4张。经过4回(牌的张数动的次数)反复操作后,牌变成2张。这时下面的牌是开始时最下面的牌。    
    解题 福根儿    
    最初的牌只剩下偶数牌时,只是偶数牌在重复。那么最下面的一张又重新被放到最下面。    
        开始时扑克牌的牌数是2、4、8、16。。。。张,到剩最后一张为止扑克牌是按照牌的2等分的张数在进行。所以开始时在最下面的牌就留到最后。    
    也就是说,剩下的扑克牌是最初4张牌的第4张牌、最初8张牌的第8张牌、最初16张牌的第16张牌、最初32张牌的第32张牌。    
        由于第52张牌不属于2、4、8、16、32。。。。张数列之内,所以,需要下一些工夫。    
    操作52张扑克牌牌剩下32张时,放在最下面的牌是最后剩下的牌。从52张减少到32张是,中间要扔掉20张牌(52…32)。由于第20次扔的牌是奇数牌,所以是最开始从上面数第39张牌。扔掉第39张牌,把下面的第40张牌放在扑克牌的最下面。结果这个第40张牌留到最后。    
    最初从上面数第40张牌是在黑桃13张、红桃13张、梅花13张之后的方片A。    
    答案    
    最后剩下的一张牌是方片A。    
    提高能力    
    汉诺塔与宇宙的寿命    
        关于汉诺塔的由来在148页已经讲述过了。    
        那么,如果移动一个圆盘需要1秒钟的话,等到64个圆盘全部重新摞在一起,宇宙被毁灭是什么时候呢?    
        让我们来考虑一下64个圆盘重新摞好需要移动多少回吧。1个的时候当然是1次。2个的时候是3次。3个的时候像我们已经解过的题那样用了7次。4个的时候。。。。。。这实在是太累了。    
        因此让我们逻辑性的思考一下吧。    
    4个的时候能够移动最大的4的圆盘时如图所示。    
    (图略)    
    到此为止用了7次。    
    接下来如下图状态时用1次,在上面再放上3个圆盘时还要用7次(把3个圆盘重新摞在一起需要的次数)。    
    (图略)    
    因此,4个的时候是'3个圆盘重新摞在一起的次数'+1次+'3个圆盘重新摞在一起需要的次数'    
    =2x '3个圆盘重新摞在一起的次数'+1次    
    =15次    
    那么,n个的时候是    
    2x'(n…1)个圆盘重新摞在一起的次数'+1    
    由于1个的时候是1次,结果n个的时候为(算式省略)    
    1个圆盘的时候 (算式省略)    
    2个圆盘的时候 (算式省略)    
    3个圆盘的时候 (算式省略)    
    4个圆盘的时候 (算式省略)    
    5个圆盘的时候 (算式省略)    
    。。。。。。    
    n个圆盘的时候 (算式省略)    
    也就是说,n=64的时候是 (算式省略)回。    
    因此,如果移动一个圆盘需要1秒钟的话,    
    宇宙的寿命=(算式省略) 秒    
    用1年=60秒x60分x24小时x365天来换算的话,大约有5800亿年吧。    
    据说现在宇宙的年龄大约是150亿年,还差远着呢。    
    


第三部分第2节 

    10、统计的篇章    
    “统计章节”的功能    
        国际收支,是把所有国家的收支合计之后应该得到0,可是每年都会    
    出现数百万美元的赤字,这是为什么呢?    
    这是由于各个国家的统计对象、精度、时机偏差、换算方法等不同    
    造成的。所以说统计如果不从基础上做好是不行的。    
    统计的定义是模糊不清的、且范围很广,在这里所涉及的主要是一些概率、排列组合、集合、还有平均的问题。    
    1、全胜冠军只能是梦 5分    
    问题    
    进行100次相扑比赛能胜99次的相扑运动员15连胜的概率是多少呢?    
    (图略)    
    提示    
    '100次比赛胜99次'的相扑运动员,虽然我们认为99连胜也不会感到奇怪。但是,那是不可能的。    
    解题 全胜冠军只能是梦    
    胜率99%的相扑运动员2连胜的概率是    
    0。99x0。99=0。9801约等于98%    
    3连胜的概率是    
    0。99x0。99x0。99=0。9703约等于97%    
    随着连胜次数的增加,概率就下降。    
    15连胜的概率是    
    0。99x0。99x0。99x。。。x0。99=0。8601    
    所以,只有86%的概率。横纲偶尔输一次也没有什么不可思议的。    
    答案    
    15连胜的概率是86%。    
    2、会开车的有3人 15分    
    问题    
    有8个人去郊外旅行。他们分别乘坐两台车,每台车上4个人。会开车的有3个人。那么有几种方式安排座位呢?    
    (图略)    
    提示    
    让我们试一下8个人能够乘坐的有两个驾驶席的车吧。    
    解题 会开车的有3人    
    我们设驾驶席为A、B,一般的座位是C、D、E、F、G、H。    
    在A、B席上坐的人是会开车的3人当中的2个人。坐在A席的人,因为3人谁都可以,所以有3种方式。坐在B席的人,是除了坐在A席以外的另两个人,所以3…1=2种方式。结果,在A、B席乘坐的方式有3×2=6种。    
    坐在后面座位C的人除了开车的两个人以外,因为8…2=6人当中谁都可以坐,所以有6种方式。    
    坐在后面座位D的人除C座以外的6…1=5人谁都可以坐。所以有5种方式。以下同样坐在E、F、G、H的人各有4种方式、3种方式、2种方式、1种方式。    
    因此,8个人坐的方式是    
    驾驶席坐的人 × 一般座位的人    
    =6×6×5×4×3×2×1    
    =4320种    
    让我们着实是吃了一惊啊。    
    答案    
    有4320种方式。    
    3、80分以上的学生有几人? 5分    
    问题    
    在50个人的班级里,英语和数学考试分数在80分以上的学生分别是35人和30人。那么请算出两科都在80分以上的学生有几人?    
    (图略)    
    提示    
    请画图想想看。    
    解题 80分以上的学生有几人?    
    (图略)    
    英语得80分以上的学生有35人,数学得80分以上的学生有30人。合计65人。    
    从65人里减去两科都在80分以上的学生的人数x,就会比班级的总人数50人要少。    
    因此    
    35+30…x大于等于50    
    所以 x大于等于15    
    也就是说,两科都在80分以上的学生至少有15人。    
    答案    
    15人。    
    4、三科都不擅长的学生有几人? 15分    
    问题    
    在50个人的班级里,语文好的学生有32人, 英语好的学生有24人,数学好的学生有16人。    
    其中,语文和英语好的学生有15人,英语和数学好的学生有6人,语文和数学好的学生有10人。并且,三科都好的学生有2人。    
    那么,请算一下三科都不拿手的学生有几人?    
    (图略)    
    提示    
    这个问题也画张图想想看。    
    解题 三科都不拿手的学生有几人?    
       如右图所示(图略)。箱子里画着分别有一部分重合的3个圆。我们把这样的图形冠用发明者的名字叫做'本之图'。    
    箱子表示总人数50人、大圆表示语文好的学生32人、中等圆表示英语好的学生24人、    
    小圆表示数学好的学生16人。3个圆重合的部分表示三科都好的学生2人。    
    1。只是语文和英语好的学生=15人(语文和英语好的学生)…2人(3科都好的学生)=13人。    
    同样,只是英语和数学好的学生=6人(英语和数学好的学生)…2人(3科都好的学生)= 4人。    
    只是语文和数学好的学生=10人(语文和数学好的学生)…2人(3科都好的学生)= 8人    
    2。只是语文好的学生=语文好的学生32人…只是语文和英语好的学生13人…语文和数学    
    好的学生8人…3科都好的学生2人=9人。    
    同样,只是英语好的学生=24人…4人…13人…2人=5人。    
    只是数学好的学生=16人…8人… 4人…2人=2人。    
    ③因此,语文、英语、数学各科好的学生=    
    13+4+8+2+9+5+2=43人    
    所以,哪个学科都不好的学生=    
    全班学生的人数…各科好的学生的人数=50…43=7人    
    答案    
    三科都不擅长的学生有7人。    
    5、国际结婚 30分    
    问题    
    女儿和外国人结婚时举行了盛大的婚礼。    
    来宾共有70人。其中日本人37人、男性39人、小孩16人。并且在日本人当中有成年女性14人、男孩5人,外国人当中成年女性9人、女孩2人。    
    那么请问,外国人当中的成年男性有几人?    
    (图略)    
    提示    
    不管是日本人也好外国人也好、男性也好女性也好、大人也好小孩也好,共有三个基    
    准。请注意一下他们各自的两个分类。    
    解题 国际结婚    
    把整个人数用长方形来表示。    
    用第一基准'日本人还是外国人'表示长方形的长,用第二基准'男性还是女性'表示长    
    方形的宽来区别。第三基准'大人还是孩子'是在长方形当中画的一个小长方形,用它的内    
    侧和外侧来区别。    
    (图略) 图中注解…'子供'是'孩子'的意思。    
    1。全体人数是70人,由于日本人是37人,所以外国人是33人。    
    2。全体人数是70人,由于男性39人,所以女性是31人。    
    3。女性总共是31人,日本人的成年女性14人,外国人的成年女性9人,外国人的女孩2人,日本人的女孩6人。    
    4。小孩总共有16人,日本人的男孩5人,日本人的女孩6人,外国人的女孩2人,外国人的男孩3人。    
    5。外国人总共有33人。外国人的成年女性9人,外国人的
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