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智者解决难题，天才提供难题。
——阿尔伯特·爱因斯坦
多萝茜，托托和奥兹博士正费力地穿过沼泽地，突然他们看见了骨头人，这个他们早先（第八题）遇到过的灰白色的动物。
“你好，”他用那他那原始的说话器官说道。他小心地把他的尖爪字移到托托的胸前。
“放开他，骨头人！”
骨头人用毛巾搽了搽他用爪子从托托身上抓下的几根毛发，然后把它们放到嘴边，它笑起来，露出一口尖尖的牙齿。
“我又给你出了一道难题。跟我来。”他是惊人地白，惊人地光滑。他的头和肚子使他看起来就象他是用漂白的骨头雕刻出来似的。
他们走到干干的地面上来了，骨头人抓出一个他放在树后的一个腿骨头。“想象这个骨头有N条长腿，”他说，然后他把腿任意的三段。
“多萝茜，这三段放在一起能形成几个什么样的三角形？”
“这对她来说太难了点，” 奥兹博士说道。
多萝茜摸了摸屁股，说：“不，这不难。”
骨头人点点头。“下面是这个难题的第二部分，我给你一段刚刚折断的最长的一段。如果你是一个赌博者，那么在每一个折断的骨头中，最长的一段与最短的一段的最大比值是多少？你是如何知道的？”
难度：！！！
第一章 设题与解答腿骨头碎片组成三角形（答）
两处断裂点必须分别位于中点的两侧，三段碎片才能组成一个三角形。如果你想不通这一点，可以画几张草图试试看。假如两个断裂点都位于中点的同一侧，那么在组成三角形时，两条短边就无法相接。在出现一个断裂点之后，另一个断裂点位于中点另一侧的机会是1/2。此外，我们还得考虑另一个条件。要形成一个三角形，每一段碎片的长度均不得超过骨头长度的一半。如果想不明白这个道理，可以再画几张草图。满足这第二个条件的概率也是1/2。要确定这道题目最终的概率，可以把上面两个概率相乘，结果为1/4。因此，骨头人用骨头碎片摆成三角形的机会是1/4。（有些读者可能会想到三角形不等式定理——三角形任意两边长度之和大于第三边。）
关于第二个问题，奥兹博士也给不出答案，欢迎读者来信告诉我们答案。罗伯特·斯特朗博士指出，最短碎片与最长碎片的长度之比的预期值没有有效答案，原因可以参见第8题的答案。这个比例并非有界函数。但是，可以用数学方法来表示最短者与最长者长度之比的预期值。
第一章 设题与解答复数在哪儿？（题）
我们接近真理不是通过什么原理而是发自内心。
——布莱斯·帕斯卡，《沉思录》 （1670）
奥兹博士正在同托托一起玩耍，喂给它吃一种鱿鱼状的狗饼干。“多萝茜，今天，我要你找到一万个连续的非质数。你找到它们以后，再告诉我你是如何找到的。”
多萝茜抓过托托，后退了几步，说“这个排列太大了。我难道不需要一台电脑来解决这个难题吗？”
“不需要电脑，只要你给我一个如何找到这一万个数字的简单的诀窍就可以了。还要我提醒你一个质数是不能被2或2以上的整数整除的数吗？例如，6是3的2倍，所以它不是质数。6是非质数，或者说是复数。再如，7不能被2或2以上的整数整除，所以7是质数。”
“奥兹博士，你今天可真罗嗦。”
他点点头。“这是从最小的质数开始排列的数字：2，3，5，5，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59等。注意这些前后两个质数之间的差。例如，在这靠前的一些质数之间的差分别是1，2，2，4，2，2，4，2，2，4，6，2，6，4，2，4，6，6，…希腊数学家欧几里得证明了存在一个无穷大的质数。但是，这些质数的出现是按照一种不规则的顺序出现的，并且没有一个公式能够概括他们。因此，巨大的质数的发现要求进行概括并测试上百万的数字。”
奥兹博士把一块狗饼干塞进他唾沫横飞的嘴巴。“用这个关于质数和非质数的例子，你的使命是找到一万个连续的非质数。你将怎么找到它们？”
难度系数：！！！
第一章 设题与解答复数在哪儿？（答）
多萝茜究竟应该怎样回答这个问题呢？靠铅笔和几张纸来找出10；000个连续的非质数，可真够难的！关于质数的分布情况，我们都知道些什么呢？
· 寻找质数的方法之一是利用古老的厄拉多塞筛法。先列出一些正数，然后从4开始，删除其中所有的2的倍数。接下来，从6开始，删除其中所有的3的倍数。重复这一过程，直到将所有复数都删除掉。（将厄拉多塞筛法应用于计算机，是评估和比较计算机优劣的一种传统方法，因为这一过程十分漫长，而且计算量很大。）
· 质数定理指出，小于n的质数的数目大致为n/（㏑n）。卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初最先提出了这条定理，后来，雅克·阿达玛和查尔斯·德·拉·瓦莱·普桑于1896年分别独立证明了这条定理。两人的论证都依靠复杂的分析，而且在当年，也没有人曾经想到过，可以用比较简单的方式来证明这条定理。1949年，艾特尔·塞尔贝格和保罗·埃尔多斯提出了质数定理的另一条证明，整个数学界为之震动。巧的是，从质数定理可以推导出另一条相关定理：在大于1的任何数字与其两倍数之间，必然存在至少一个质数。根据质数定理，可以知道小于n的质数之间的平均“差”为In（n）。＇以最小的几个质数为例：2，3，5，7，11，13，你会注意到，连续质数之差为：1，2，2，4，2。＇
· 几百年来，数学家们一直试图找出质数的基础模式。或许，质数根本就不存在什么模式。有些质数成队出现，中间只相隔一个偶数，这些质数被称为孪生质数，比如：（3，5），（5，7），（11，13），（17，19），（29，31）。数学界有个由来已久的猜想，认为孪生质数的数目是无穷多的。到目前为止，还没有人能够证明或反驳这个猜想。（注意，孪生质数之差为2，这是最小的质数之差。如果两个数的差为1，那么其中一个数必定是偶数，可以被2整除。）有朝一日，我们能不能借助一个方便的公式来找到所的质数，让公式来计算一下到底有多少个质数呢？
以上这些林林总总的资料能够帮助我们回答多萝茜的问题吗？或许可以，多萝茜要找到10；000个质数，还有一种比较简单的方法。
“简单”答案之一是10；000！＋210；001！＋3……10；001！＋10；001，其中！代表阶乘符号。（比如，5！=5×4×3×2×1）。当A＞1且A≤n时，由于n！＋A可以被A整除，该序列为非质数，即复数。让我们来举个例子。当n=5且A=3时，n！＋A=（5×4×3×2×1）＋3。这个数字的阶乘部分包含了1至n的全部因数，因此必然可以被3整除。其第二部分显然也可以被3整除。同样，如果A=4，计算结果120＋4也可以被4整除。
我们的“简单”答案应该可以让外星人满意了，但问题所问的并不是以10；000为最小值的一连串数字。要找出10；000个连续的最小复数，我也不知道有什么简单的方法。
既然说到了质数问题，我就忍不住要提到蝉。这种昆虫在地下呆上7年、13年或17年，然后化为成虫，破土而出，享受生命的最后几个星期。进化的力量是如何让蝉蛰居地下的年头成为质数的，已经成为当前的研究重点。近年来的数学模拟显示，质数时间可以让蝉避开掠食者。数论在帮助人们了解生物学的过程中竟然发挥了如此重要的作用，真是不可思议！关于这方面的详细论述，请参见A。M。S。，《生物模式中的质数》，《科学》第293卷第5528期（2001年7月13日出版），第177页。
第一章 设题与解答古怪的瓦片（题）
人是一种有智慧的动物，器官为人服务，而人则充当器官的奴隶 ——奥尔德斯·赫胥黎 奥兹博士和多萝茜在堪萨斯东南部的麋鹿城湖上划船。他指着水面说：“看啊，湖水鸡。” “加拿大鹅，”多萝茜反驳说。她看见当外来运输装置的影子使天空暗下来时，一些鹅飞起来。而后，她更近地看着湖面。“我在这里钓鱼，”她说到，“在你来到我们这个世界之前。” 奥兹博士点点头说：“那些鹅都吃些什么啊？” “它们是食草动物。他们像牛一样吃草。你在你的世界里应该有牛吧？” “牛？”奥兹博士表情严肃地说。“你是指那些长着白耳朵的动物吗？” “恐怕你的确是不了解地球。” 奥兹博士使劲地把他的触须扔到船上。“我要告诉你件事。我给你一个谜。”他转过身，展示出刻在他背上的一个瓦片的排列。“在空白的瓦片上添上遗失的正确的符号。” 难度系数： ！ ！
第一章 设题与解答古怪的瓦片（答）
答案是： 填入这两个图形后，正方形中每一行与每一列便相等了。 下面还有一道题，请你在空白处填入正确的图形。
第一章 设题与解答坟墓难题（题）
一等智商的测验是对同时掌握两种对立的思路的能力的考查，以及仍然保持解决问题的能力。 —— F。 斯科特·菲茨杰拉德 “跟我来，”奥兹博士带着多萝茜和托托穿过一些黑暗的墓地时说道。“让我们搜索一下。” 多萝茜在两个连通的墓穴间的通道里打亮了一只手电：“这看起来像个洞穴。这真美。”墓穴的墙的表面是棕褐色的，由于硫酸钙晶体而闪闪发光。空气闻起来清洁而潮湿，就像刚用洗发水洗过的头发似的。 就像小霍比特人一样挤在一起的是方解石构成的更小的石笋。大一点的看起来就像一些巨大的史前生物的肋骨。 奥兹博士用手电筒照亮了它们的四周。“这真不可思议。”闪亮的蓝色硫酸钙吊灯，至少有 25 英尺长，悬挂在他们的头顶。外面是易碎的紫色“霰石丛”硬壳的墙壁里在他们的小路旁。走过一些台阶，他们进入了另一个世界。 奥兹博士停下来看了看多萝茜。“这是你下一个谜。我们在十个内部相连的墓穴里，分别为 A；B；C；D；E；F；G；H；I；J 。一个独立的小地道连接着墓穴 A 和 B ，另一个连接 B 和 C ，……，最后一个连接了 I 和 J 。每个墓穴的地面面积符合斐波纳契序列，从而墓穴 A 地面面积是一平方英里，墓穴 B 的地面面积是一平方英里，墓穴 C 的地面面积是两平方英里，依此直到墓穴 J 。 “假定我将带 100；000 分进入墓穴 A ，他们在墓穴中随机走动。很长一段时间后，你认为会在哪里找到最多的人？” 多萝茜向四周摆动着手电。“我能不能假设人们在墓穴里随机走动，而墓穴没有出口？” “可以。在问题的第二部分，考虑我刚刚讲给你的同样的问题。但是，在这个第二部分，假设人们的行为是现实中人们的行为，他们的走动将不是随机的。在很长一段时间后，你认为会在哪里找到最多的人？在这第二个问题中，假设食物是‘甘露'形式的——我认为是一种像霜一样纯的片状物质——被等量分放在所有墓穴中，并且有持续供给。也同样的假设有持续供给的泉水形式的饮用水分布于所有墓穴中。进一步假设在每个墓穴的地下有 30 英尺的尘土，可以覆盖垃圾和尸体。人们将在里面呆上好几年。” “呸！”多萝茜说道。 “尘土包含了常有的腐烂物质生成的有机物质。在很长一段时间后，你能在哪里找到最多的人呢？如果 （a） 每个墓穴有一个十字形分区 （b） 每个墓穴有一个正多边形分区，从而墓穴 A 有一个等边三角形形状的地面， B 有一个正方形地面， C 有一个五角形地面，等等，你的答案会有什么改变吗？” 难度系数： ！ ！ ！
第一章 设题与解答坟墓难题（答）
对于第一个问题，如果我们假设人们在墓穴中随意分布，就像空气中的粒子一样，那么每个墓室中的人数将同墓室的面积成正比。因此，呆在最大的墓室J中的人最多。
对于第二个问题，我们应该首先考虑人们的心理状态。比如，如果人们认为有逃生的机会，或者有可能被发现，那么大多数人都会留在他们最初进入的墓室A里，不会离开。此外，还要考虑其他一些因素。比如，不同墓室的声学特点会产生不同的回声，人们可能会希望留在最安静的墓室里。此外，我们还应该想一想，墓室的面积会对氧气的流动、湿度、人体气味的发�