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而所有这些都是不应当发生的。
“2＋3=5”、“3＋2=5”、“5－2=3”，以及“5－3=2”，并不是四个没有关联的算式，而是以四种不同的方式去看待同一个事实。另外，算式并不是算术公式，不是那些需要死记硬背的无意义的音节。它是自然事实，孩子们可以自己发现并反复地向自己证明，想做多少次都可以。
这个事实就是：
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
如果你面前有一组物体，比如硬币或是石子，看上去像是左边的一组，你可以把它分成像右边那样的一组。或者（这就是双向箭头的功能），如果你有两组看上去像右边那样的物体，你也可以把它们摆成左边的样子。
这不是算术公式，而是自然的事实。并非只有当人们发明了算术它才成为公理。它和人类没有关系。它是通行宇宙的真理。人不需要通过学习算术才能发现或验证它。一个玩积木的婴儿或玩木棍的小狗也能做这样的操作，尽管婴儿和小狗或许谁都没注意到自己干了什么，对他们来说，＊＊＊ ＊＊ 和＊＊＊＊＊的区别就是没有区别。算术起源于人们开始注意并思考着包括这个在内的自然存在的数字事实。
在人类历史早期，人们发明了一些特殊的名称，用来研究与数目有关的事件的性质。比如，5只小猫，5只鞋，5个苹果，这几组事件的共性是每组具有相同的数量，因此，每一只小猫会有一只鞋和一个苹果，没有剩余。数字5的性质是它可以被分解成2和3。5的另一个性质是它还能被分解成4和1。5还有一个性质是，它只能有这样两种分解方法。如果是7，我们可以把7分解成6和1、5和2，以及4和3。换成10，可以得到9和1、8和2、7和3、6和4、以及5和5。每一个数字可以用不同的方式分解成两个两个的小数值，数字越大，可以分解的方式越多。（这个分解的方式有简单的规律可循，孩子们，包括大人，都会乐于自己去发现出来。）
一旦我们弄明白＊＊＊＊＊ = ＊＊＊＊＊ 是自然事实，就会懂得所谓“3＋2=5”、“2＋3=5”、“5－2=3”，以及“5－3=2”，不管是用符号还是文字表现（比如“加”、“加上”，或者“减去”），它们都不过是原始事实的四种方式而已。
这样有什么好处呢？好处在于不必去死记许许多多的“公式”了，只要记住有四种方式，这很合乎道理。一旦孩子们学会了把＊＊＊＊＊ =＊＊＊＊＊ 转换成“3＋2=5”或其他形式，他们就会同样地去看待其他数字，找出它们可以分解成为两个一组的形式，并把它们全部写下来。
所以，孩子可以用＊＊＊＊＊＊＊＊，试着找出把它分解成＊＊＊＊＊＊ 和＊＊的方式，写下来“6＋2=8”、“2＋6=8”、“8－2=6”，以及“8－6=2”，然后再做7和1、5和3、4和4。简言之，所有现在孩子们被灌输和强记的算式，其实都可以由他们自己去发现并记录下来。而后一种做法的好处是，发现比起记忆，我们的思维会更主动，更不用说发现的过程更有意思了。另一个好处是，原本看上去是那么费解、充满偶然的巧合而又自相矛盾的算术（以及作为它的延伸体的数学），现在变得相当的合理了。
当我向老师们讲述这种方法时，一个老师说他们学校就是这么教的。他的意思是在他们用的课本里，比如讲到“3＋4=7”，会配有4只小鸡、3只小鸡、7只小鸡（或是其他什么东西）的插图。这完全错解了我的本意，我在此重申，＊＊＊＊＊ =＊＊＊＊＊ 不是算式“2＋3=5”的图解形式。＊＊＊＊＊ =＊＊＊＊＊ 才是事实，而“2＋3=5”只是用数字和符号来表现的一种形式。
第二章 在家里学数学自制加法器
当孩子们第一次学习加减法的时候，不需要计算器等奢侈的东西来加快速度。我们可以教给或是展示给他们怎么去制作一个简单的加法器和减法器。只用两把尺子，甚至是画上尺格的两张纸就可以了。
假设我们现在有两把尺子，或是画上尺格的两张纸：
1 2 3 4 5
这里我们演示一下“4＋3”。拿一把尺子的左边抵着另一把尺子的4，就像这样：
1 2 3
1 2 3 4 5 6 7
然后看到上面尺子的3对着下面的7，我们便会看到“4＋3=7”。即使不是所有的孩子都能一上来就发现这一点，但通过尺子还是很清楚就能看到用4个格子加上3个格子，就会有7个格子那么长。如果尺子足够长的话，我们可以用这个办法来做所有的两两相加。
孩子们用这个便宜的加法器很快就能发现用机械记忆的办法根本发现不了的东西。比方说如上图所示，当上面尺子的左端抵着下面尺子上的4时，便会得出：
4＋1=5
4＋2=6
4＋3=7
4＋4=8，等等。
换句话说，每次和4相加的数字增加1，结果便会增加1。这在我们会的人看来是非常简单的，但对于许多上学的孩子，即使是已经“会加法算式”的孩子来说可没那么容易。不少这样的孩子或许熟知“6＋6=12”，但再算“6＋7”却很费劲。我亲眼看见很多孩子都会算错。
当孩子们首次发现，加法项每增加1，结果就会增加1，他们会非常兴奋，而且这种兴奋程度并不因为很多人已经知道这个事实而稍减。随后孩子或许发现当加法项每增加2，结果便会增加2，他就更加兴奋。同理，再去发现增加3、4时的情形，不一而足。
在代数中，可以把上述发现记录如下：
x ＋ （y ＋ a） = （x ＋ y） ＋ a
但我不会给小孩子讲这个，除非他已经熟知x和y可以代表任意数。顺便说一下，关于这一点，六岁的孩子会比大部分九年级学生，也就是上了八年数学课的学生理解得快。
如果我们用码尺、米尺，或其他能写下40～50个单位的卡片做教具，孩子们会发现更多事情，比如像这样的序列：
4＋3=7
14＋3=17
24＋3=27
34＋3=37，等等。
我再一次发现很多学校里的孩子把“4＋3”、“14＋3”、“24＋3”，以及“34＋3”当成完全不同的东西。他们知道“4＋3=7”，然后会说“24＋3=29”，或其他更荒诞的说法。造成这种结果的原因是，老师把算术教成了一堆互不相关的需要记忆的算式。孩子们无法凭记忆，尤其是当对自己的记忆没有把握的时候，弄懂数字间的逻辑或顺序。
第二章 在家里学数学把抽象概念形象化
我经常听到这样一种说法，数字是抽象的，所以只能用抽象的方法教。这么说的人既不懂数字，也不懂抽象概念或抽象性。当然数字是抽象的，但和任何其他的抽象概念一样，它们是某些事物的抽象概念。人类发明数字是为了帮助自己记忆和记录现实世界的某些性质，比如动物的数目、每年泛滥一次的土地的疆界、对天上星星的观察、月亮、潮汐，等等。这些数字的性质并不是来源于人类的想像，而是来自于它们自身业已存在的事实。一张美国地图是抽象的，但它的形状并不是地图绘制者画出来的，而是它原本的样子。当然，地图绘制者可以也必须做一些选择，就像数字的发明者当初发明数字时一样。他们可以决定在地图上表现什么，是地形、气候、气温、降雨量、道路、航线，还是国家历史上的发展情况。决定好了这些，他们还可以决定颜色，比如说，路易斯安那用蓝色，或红色，或黄色——哪种颜色顺眼就用哪种。一旦决定了地图要表现的内容，以及表现方式（色块、线条，或是阴影），剩下的就是凭事实本身来决定地图的样子了。
同理也适用于数字。彻底地把数字以及研究它们的科学同数字所代表的事实割裂开来，这或许有用——就像把研究制图的科学和把一个特定的地方画在地图上割裂开来有用一样。但如果这么教小孩子，就是不合情理、难以理解而且荒诞不经的。让孩子们熟悉地图、图例等抽象概念的惟一方式就是将思维从已知的事实转移到地图或图例上。其实我们都是这么做的。我从道理上知道等高线地图是怎么绘制出来的，但我做的就不如我姐夫那么熟练，他的一份工作是设计和布置滑雪场地。他可以看着等高线地图，立刻在脑海里就浮现出那块地方的地貌和形状。他能而我却不能的原因就是他走过了十几座山，仔细研究了所走过的地方的等高线地图。不管用什么样的解释，都无法让我们把一个不熟悉的抽象体系转换成它所代表的事实。我们必须先从另一个方向着手。
第二章 在家里学数学乘法
前面讲过，老师在教孩子们加法和减法的时候，会给他们一个其中的算式都互不关联的单子要他们记忆，同样，大多数孩子们上了三年级，就会遇到类似的几个“乘法算式”。比如像“2×3=6”，另一个是“3×2=6”。如果孩子们问起这一巧合，会被告之（就像教加法时一样）“乘法项是可互换的”，这当然没有解释什么，而只是把孩子们已经知道的事实用更华而不实、让人糊涂的方式告诉给了孩子们。几乎可以肯定，老师会再给孩子一个单子，上面是“100个乘法算式”，于是孩子就要去记忆并会反复经常地被测验。再以后，可能在五年级的时候，他们会遇到分数，被告知“×6=3”以及“×6=2”。再然后，他们可能会被教到2和3是6的因子。
所以，在从一、二年级直到差不多七年级之间（这由他们的老师被要求用哪种算术课本而定），孩子们会有机会收集到下列这些带6的不相关的算式（伴随着整套的说明和小鸡与切块馅饼的插图）：
2×3=6
3×2=6
6÷2=3
6÷3=2
×6=3
×6=2
6×=3
6×=2
2是6的
3是6的一半
2和3是6的因子
但是，和我讲“加法算式”时说过的一样，这些不是分离的“乘法算式”或“除法算式”或其他什么东西。它们是同一个事实，一个不是算术公式，而是自然存在的事实。数字6的自然属性，孩子们可以自己找出来并随意反复证明。事实就是当你有如下这么多物体时：
＊＊＊＊＊＊
你可以把它们这样放置：
＊＊＊
＊＊＊
所有上面那些写下来的“算式”是书写与研究这同一个事实的不同方式。所以任何一个发现了这个关于6的特性与事实的人，都可以如法炮制地对待其他数字，再用同样方法写下来。
人们（不管老少）在这么做的时候，会发现有些数字（2、3、5、7，等等）无法写出与第一行相同的第二行。他们或许会有兴趣知道这些数字被称为“质数”，其他的数字叫做“合数”。任一正整数（除了1）的性质是它要么是质数，要么是合数。还有的人或许乐于自己找出200以内的质数，或用电脑列出某个很大的数值以内的所有质数。但是没有人能用一个公式找出所有的质数。
我并不是说，所有孩子都应该知道、父母也都必须教给孩子我上面提到的关于6的性质。我曾经问过，假如阅读是违法的，是否还有孩子愿意学习并改进阅读技巧。这个问话同样适用于初级算术。有许许多多的人一点也不懂算术，依然过着有趣、有尊严、心满意足的生活。而从另一方面说，这里所提到的数字在我看来很有意思，在许多情况下也很有用处。在一堆大同小异的事情之中，我更愿意多了解一些数学。
无论如何，如果我们要向孩子们展示或教他们加、减、乘、除、分数、因子，等等的话，如果能多少照上面提到的方法去做，效果会很好，因为这样一来，那些看似分散独立的算术现象会从一开始就在孩子的头脑中建立起关联。
第二章 在家里学数学和乘法表交朋友
尽管很多快乐而成功的成年人并不会背诵乘法表，但能把它背下来对以后还是很方便实用的。只要我们的学习方法正确，背下乘法表其实很容易，孩子们也会很乐于发现乘法表中的规律。
重要的是去“认识”它们，而非“学习”。最好的办法不是坐在那里死记硬背（一次背上一条，如同学习什么古怪的外语），而是要去熟悉它们，观察它们是如何运作的，并使用它们。过上一阵子我们就会发现，即使没有专门去学习，我们已经掌握了乘法表。