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二、协整关系（cointegration）
宏观经济变量的大多数，单个来观察的话，随着时间的推移它们呈现一种〃醉步〃（非平稳）的走势。如果把几个经济变量的走势图形放在一起观察的话，会发现它们的运动具有某种相似性（例如，消费和收入，进口和出口等）。这种现象的产生，引起了人们的兴趣，这种经济变量运动的相似性构成了协整概念的基础，下面给出协整的定义。
设Yt∽I（1），xt∽I（1）。如果存在常数b（b10），使得Yt－bXt为I（0）（平稳时间序列）时，称Yt和Xt之间存在协整关系。上面提到当Yt和Xt均为非平稳时间序列Yt和Xt作回归时，要注意假相关问题的出现，但是当Yt和Xt之间存在协整关系时，不会产生这样的问题。关于协整关系的检验，这里只简单介绍一下利用回归残差进行检验的Engle…Granger方法（Engle and Granger＇8＇）具体步骤如下：
第一步：设Yt和Xt之间存在以下的关系
Yt=m＋bXt＋ut （42）
用OLS对（42）式作回归得到残差et。
第二步：对残差et运用DF的单位根检验方法来判断ut的平稳性，如果得出ut∽I（0）的结论，则称Yt和Xt之间存在协整关系，此外对于协整的检验还有Johansen的最大似然估计检验，此方法的解释超出这本书范围，故不再说明，读者可以参阅参考文献Johansen＇14＇；或者Banerjee et al ＇3＇。
三、非平稳经济模型的应用
在这一节我们将通过对日本货币需求函数作分析的实例，来说明如何利用前面讨论的非平稳模型的的方法，对经济活动进行定量研究。近年来，对于货币需求的研究所采用的模型多为Hendry流ECM（error correction model）形式，它不同于过去的传统货币需求方程的模式，关于ECM模型的特点我们将在下面的具体模型中简单地给予说明。（对ECM的详细解说可查阅Banerjee et al ＇3＇；Hendry and Ericssion ＇13＇）
估计中使用的数据来源于OECD统计年鉴（Organization for Economic Cooperation and Development）区间为1960年1季度至1990年4季度，变量的定义如下：实际货币供应量（M2，1985年价格单位为10亿日元，季节调整完成），实际GNP（1985年价格单位为10亿日元，季节调整完成），美元对日元汇率（注：模型估计时以上三个变量分别取对数）、通货膨胀率（GNP冲减指数＇deflator＇的上升率）、利率。下面分别用M、Y、EX、I、R来表示上述变量，货币需求函数的估计回归式由下面的（43）式给出。
DMt =…0。030＋0。67DMt…1＋0。22DYt…0。81It＋0。26DIt…1…0。0022DRt＋0。019D…0。064EXt…1 （43）
（…3。3） （10） （3。3） （…10） （3。6） （…2。5） （4。1） （…4。6）
R2=0。74 S=0。0077 F（7；113）=47 DW=1。8
其中Et…1=Mt…1－1。2Yt…1＋0。26EXt…1意味着M、Y、EX之间存在着协整关系（关于协整关系的计算可以用TSP等软件包），它给出了M、Y、EX之间的长期均衡关系，DXt表示变量的一阶差分，即DXt=Xt－Xt…1，注意到方程式既包含水平变量又包含差分变量，这表明ECM模型充分利用了来自〃静态〃和〃动态〃的两部分信息。如果模型中仅包含差分变量的话就失去了来自水平变量的信息。模型中的D为虚拟变量（dummy variable），理由在于1974年石油危机的爆发，使得日本经济的结构发生了很大变化，D：73、74年的八个季度取值为1，其余为0，括号内的数字是t估计值，从这些结果可知，所有系数的估计都是显著的（显著水平为0。01），下面讨论（43）中解释变量符号的合理性。
由于我们对GNP取了对数，所以有
同理
即DYt，DMt实际可以看成GNP，货币供应量的增长率。DYt系数符号为正表示GNP的增长对于货币供应量的增长具有正的影响，符合货币供给和GNP之间存在安定的关系的学说。通货膨胀率It的符号为负，因为It对货币持有者来说表示货币持有的费用，当通货膨胀率上升时，货币持有者会减少其持币的数量，It的一阶差分的系数符号为正，这意味着通货膨胀率实际上发生改变时，水平变量It的作用（…0。81）会受到来自差分变量DIt的反面影响（＋0。26）。利率的系数为负号，可以理解为：利率对货币持有者来说可以看成货币持有的机会消费，其符号为负表示作为对利率上升的反应，货币持有者会减少对货币的需求，换句话说这也意味着货币持有机会费用的增加。Et…1的系数符号为负，表明为达到均衡状态必要的调整过程是不可缺少的。Et…1的系数我们称做为达到均衡状态作调整的速度。
在这一节中我们用回归分析的方法对日本的货币需求函数进行了定量分析，无论在经济理论上，还是在统计上都得到了比较满意的结果，对上述货币需求函数的更深入的研究结果请查阅参考文献Morimune and Zhao＇20＇。这里需要指出的是：在用计量方法对经济问题作分析时，首先必须考虑给出的模型在经济理论上的合理性。换句话说，模型中参数的估计和其它诊断检验量即使在统计上很有意义，如果经济理论不具有合理性的话，其模型对于经济的分析是没有任何意义的。
第八章 模型在经济中的应用
作为经济模型化过程的应用实例，在本章中给出了几个案例，主要涉及到宏观经济周期变化、投资模型的最优条件、宏观经济增长模型以及经济学中的效用等问题。本章主要内容如下：首先讨论卡莱斯基商业循环模型和最优外资规模的决定模型，然后对马克思的扩大再生产图式与哈罗多―多马模型进行比较，最后讨论市场经济中消费者经济行为的数学模型描述以及企业的行为表征。
§8。1 卡莱斯基商业循环模型
卡莱斯基（M。Kalecki）模型自1935年问世以来就引起了许多经济学家和数学家的兴趣。特别是20世纪70年代后，随着周期性因素再次宣告西方经济第二次大战后长达20年繁荣时代的彻底结束，又唤起了人们对它重新认识的极大热情。在近半个世纪的研究中，关于该模型运动稳定性方面的问题更是不乏探讨和论证。在这当中，有些可以说是天才的猜测，有些则是部分的证明。迄今为止，尚未见到关于卡莱斯基模型的运动稳定性的完整成果。本节在参照前面章节建模步骤的基础上试图解决卡莱斯基早期及后期模型的运动稳定性问题，并据此提出若干经济猜想和可供参考的经济结论。
一、卡莱斯基的商业循环理论与模型
早期模型：卡莱斯基早在1935年就提出了关于资本主义经济波动的动态模型。根据他的理论，在资本主义经济中，投资机制由企业（资本家）操纵的。企业在时刻t计划的投资决策B（t），经过一个固定的时间间隔（时滞）q，资本设备方可交货，而支付行为应当分布于整个设备生产及装置期间。假设净投资I（t）为超过重置部分的净支出，K（t）为资本设备存量，则有模型如下：
（1）
（2）
假设整个经济系统的总收入Y（t），由总消费C（t），总投资I（t）和自主性支出A所构成，而且总消费C（t）线性地依赖总收入Y（t），c表示边际消费倾向，则有
（3）
（4）
关于核心变量B（t），卡莱斯基认为其受储蓄S（t）正向的影响和资本物存量K（t）反向的影响。因此当这种关系为比例关系并且没有时滞时，加速形式由模型（5）、（6）决定
S（t） = Y（t）…C（t） （5）
B（t） = aS（t）…bK（t）＋e （6）
式中：a；b是正数，e是趋势项。从长期观点看，虽然e随时间的变动而变动，但在此仍视为常数项。结合（5）、（4）和（6），就得到
B（t） = a（1…c）Y（t）…bK（t）＋e （7）
这是一个关键方程，它说明卡莱斯基的投资决策的加速机制，不象一般的加速因子那样取决于dY/dt（或DY），而是决定于Y的水准。
不难证明，变量Y（t）；C（t）；I（t）；B（t）和K（t），满足同一类似的方程式，其数学形式是混合式的差分微分方程。因此，整个经济系统的运动稳定性可由以上任一变量表征。如选择K（t），则有
d k（t＋q）/dt=（a/q）K（t＋q）…（b＋a/q）K（t）＋aA＋e （8）
其均衡水准Ke = （aA＋e）/b，运动稳定性等价形式为
（9）
方程（9）表示的 实为对均衡水准Ke的离差。在运动稳定性意义下，（8）和（9）式是完全等价的。
后期模型：
卡莱斯基的后期模型（1943；1954），在简单乘数关系上仍与早期模型（3）、（4）相同，但是对影响投资决策B（t）的因素，以及其后的投资支出和资本设备的产出，均有新的考虑和修改。
在后期模型中，卡莱斯基将投资I（t）分成两类，固定资本及材料Ik（t）和在制品及制成品的盘存Is（t）。各种盘存的投资支出Is（t）决定产出的变动，时滞 ；固定资本的投资支出Ik（s）与设备的装置同时发生（即到货时支付），但是比其相应的投资决策落后时滞 。因此，有模型
I（t） = Ik（t）＋Is（t） （10）
Is（t） = n1dY（t… ）/dt （11）
Ik（t） = dK（t）/dt = B（t… ） （12）
式中：n1是正数，K（t）、B（t）意义同前。卡莱斯基认为这时B（t）受储蓄S（t）和产出率（d/dt）Y（t）的正向影响，受资本存量变动（d/dt）K（t）的反向影响。因而，得到模型（13）
B（t） = aS（t）＋n2dY（t）/dt…bdK（t）/dt＋e （13）
式中：a，n2，b为正数，e为趋势项。由（4）、（5）和（12）可知，（13）的变形为
Ik（t＋ ） = a（1…c）Y（t）＋n2dY（t）/dt…bIk（t）＋e （14）
我们定义平均时滞q满足
（1＋b）…1＇Ik（t＋ ）＋bIk（t）＇ = Ik（t＋q） （15）
并假设 = q，则不难得出（推导过程见本章附录1）
其均衡水准Ie = （aA＋e）/（1＋b…a）
若表示对此均衡水准的离差，则（16）式与下列方程式的运动稳定性等价
（17）
方程式（17）和（9）是决定后期模型和早期模型运动稳定性的关键。在后期模型中；Y（t），C（t）和I（t）满足类似的混合型的差分…微分方程，因此，只须讨论（17）式中 的运动稳定性。
二、卡莱斯基模型的稳定性
有关卡莱斯基模型运动稳定性方面的研究工作集中在早期模型上，最典型的手法是令时滞q = 1（取单位时间）。然而，即使这样也没有人完整地研究了参数不同的取值，会对运动稳定性产生什么影响。而且，对〃选择时间单位使q = 1，不失一般性〃的说法，经济学者是持谨慎态度的。数学者持这种说法，是出于简化数学上的复杂性，并且在不考虑参数之间存在相依关系的前提下成立的。数理经济学家 Allen＇1＇曾警告说：有一点须加注意，即在所有卡莱斯基模型中，各常数的时间长度必须小心确定。这说明q = 1的假设是不科学的，容易引出谬误。
由于早期模型和后期模型的数学结构有所不同，我们将分别研究和讨论。对方程（9）引入显易解K（t） = K0elt，可以得到其对应的特征方程
qleql…aeql＋a…bq = 0 （18）
同理，对方程（17）引入显易解I（t） = I0est，就得到相应的特征方程
（19）
方程（18）和（19）又称为超越方程，满足这两个方程的解l和s分别称为（18）和（19）式的特征根。研究模型稳定性，就是研究在什么条件下，特征根的实部Re（l）