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从第二变起不再“挂一”，经过“分二”、“揲四”、“归奇”三个步骤，可得
R1＋R2≡44〔mod 4〕≡40〔mod 4〕≡0〔mod 4〕
同理可知二变“归奇”的总数等于4或8，将它们仂 于左手二、三指间，则案面所乘参与三变的策数必为以下三者之一：44－4＝40，44－8＝40－4＝36，40－8＝32。
仿此，在三变中“归奇”之数有
R1＋R2≡40≡36≡32≡0〔mod 4〕
总数也应等于4或8，仂于左手一、二指间。此时左手所仂策数最多为25，案面所剩策数则为以下四者之一：40－4＝36，40－8＝36－4＝32，36－8＝32－4＝28，32－8＝24。
以上四数俱为4的倍数，以4来除商数分别是9、8、7、6。三变的目的就在于获得这四个数字之一；其中9、7对应于阳，8、6对应于阴，三变占得一爻。同样的程序重复六次即得一卦，故曰“十有八变而成卦”。这就是《周易》筮法的成卦过程。十分显然，这一方法的创造者是具有原始形态的同余概念并通晓其某些性质的。
由于《周易》在中国古代文化中的特殊地位，其筮法受到力图借数学“通神明、顺性命”的数学家的重视就不足为奇了。高度机械化的成卦过程是否对中国古算产生影响姑且不论，仅就同余概念的发展布而言，《周易》确实是一个重要的来源。秦九韶不但将自己最得意的成果命名为“大衍求一术”，而且借着卦发微题引进一个不同于《周易》筮法的占筮程序就是一个明证。〔刘纯《大哉言数》辽宁教育出版社〕
……
同余概念的另一个来源是古代制定历法的需要。古代历家根据长期的观测记录，已能推算日、月、五星的运动周期并由此规定各自的起点，例如回归年即以冬至时刻为起点，朔望月即以平均合朔时刻为起点，而干支记日则以甲子日夜半零时为起点，它们一般并不同时。为了推算上的方便，古代历家引进了一个叫做上元的概念，即假定远古某一时刻各种天文周期恰好处于同一个起点上，这一起点就是上元。自上元到本年经过的年数叫做上元积年，在测得本年相关周期的起点后求上元积年的问题，就是一个解同余式组的问题。例如已知A为回归年日数、R1为本年冬至距其前一个甲子日零时的时间、B为朔望月日数、R2为冬至距前一个平朔的时间，那么上元积年x满足下面的一次同余式组
Ax≡R1〔mod 60〕≡R2〔mod B〕
实际计算中要对上式中的A、B、R1、R2进行通分以使所有数字化为整数。如果再假定月球的近地点和升交点以及五星运动周期的起点均在上元，那么上元积年的计算就要考虑更多的同余式。
这一结论得到了历代史志和天文学史研究的支持。新近的研究表明，早在西汉末年刘歆编制《三统历》的时候就已引入了上元的概念，并实际计算了《三统历》和古四分历的上元积年数据，其计算过程有赖于一类特定的一次不定方程或同余式组的求解。东汉刘洪的《乾象历》首先将上元积年数据列为历法第一条：“上元乙巳以来至建安十一年〔206〕丙戌岁，积七千三百七十八年。”以甲子为上元则始于西晋刘智的《正历》：“推甲子为上元，至泰始十年〔274〕，岁在甲午，九万七千四百一十一岁，上元天正甲子朔夜半冬至，日月五星始于星纪，得元首之端。”其后王朔之《通历》、后秦姜岌之《三纪甲子元历》都有关于甲子上元的记载，而祖冲之的《大明历》更是在考虑了9个同余关系的基础上计算出上元积年来的。因此成书于南北朝时代的《孙子算经》中的物不知数问题，绝不会是作者向壁虚构的智力游戏，而很有可能是对当时历家推算上元积年问题的数字概括。
从刘歆直到元代郭守敬以前，中国的历家往往把毕生心血倾注在上元积年的推算上，埋头于各种天文周期的测验；因而从某种程度上来讲，一部中国古代的历法史，几乎就是上元积年的演算史。与此密切相关的一次同余式组的理论和算法，就是在这种背景下发展起来的。
其实，同余计算在易学中很常见，因为只要是周期性循环的运算，大都要应用到同余，而易学特别是术数部类中的周期性循环计算和操作特别多，几乎每一术数分支都是以同余运算为基本运算方法，甚至可以说离开了同余运算，此分支就不复存在。诸如六十甲子、六十纳音、四柱中的起大小运和星神取用、奇门遁甲的飞宫、三元地理的飞星、六爻的配六兽，大六壬的起课，紫微斗数的排宫，等等等等，无一不运用同余计算。例如六十甲子就是两种同余计算的组合，天干是以10为模求余，地支是以12为模求余。此外，梅花易数的数字起卦法，也是以8为模求余，而求动爻之法，则是以6为模求余。
2004…2…27 18：30：57
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第 2 楼
第二节 复数散阵
＇一＇
洛书数不是孤立的三阶幻方和数阵，我们还可以运用一种“相反极性”的逻辑来重新理解洛书的“平行对称性”和“平行等价性”。
若要利用“相反极性”的数理模型给洛书建立一种新的解释方法，还必须遵循两条原则：
1、新的数理模型必须同洛书是处於同一层次的数理模型；因为洛书是最简幻方，故新模型也必须是某种最简的数理模型。
2、由于“相反极性”的逻辑有相反的手征性，故新数理模型必须进行手征性反相。
在此，我们建立的最简“复数散阵”则是满足上述条件的“新洛书方阵”。
我们已经知道：八卦本是圆上的八个矢量，故八卦图实际上是一种平面复数的坐标图，其坐标原点是圆心〔即中宫〕，洛书则是用正整数模拟圆的一个坐标方阵。但是，现在我们可以更直接地用复数平面坐标图来标示此图：
＇图，复数平面坐标图＇
图注：此图左东右西、下北上南。我们之所以用横轴表虚数而纵轴表实数，下、左为正而上、右为负，是根据上述原则来予以手征性反相的。此外，复数的排列也严格按照坐标图实部和虚部的实际顺序排列，也没有按照西方数学中强行规定的左实右虚的排列方式。这一手征性的反相，是东西方文化比较学中被人忽视但至关重要的一环，结论之正误往往因此而导出。
上图排入九宫格，即成“复数散阵”：
＇图，复数散阵＇
此图亦有若干与洛书相同的性质：
1、过中宫之连线上的三数之和相等，具有圆之象；
2、冲、合、害和其他类似的运算之得数与洛书相同，而且更直截了当。
我们按这两条性质一一分析。
相冲——
＇图＇
相冲之化数直接等於中宫之数。它意味着中宫之数“五”与“零”等价。
相合——
＇图＇
相合也直接计算出了八宫之数。
相害——
相害俱直接得“2”宫之数。
子卯相刑——
＇图＇
子卯刑得伤门之数。
其他化数——
＇图＇
上述运算不仅可以直接求出所化之宫数，而且在多项式的计算过程，连交换律都无须使用，可以直接计算出各宫数的原貌。洛书三合局和三会局之计算，还要通过太乙宫位的转换，而复数散阵却可以直接计算出所对应之宫。
三合局——
申子辰合水局：
＇图＇
震兑二宫反相，则各局化数与宫位吻合。
三会局——
亥子丑会水局：
＇图＇
奇点之震兑二宫互换，则其化数与会局五行吻合。
上面是按八个矢量〔即八卦〕计算的，下面我们还要进一步从十二地支的角度予以考察。我们认为，从数理的角度考察，十二地支是对於复数散阵的一种模拟。我们的理由是：
一、十二地支是一群模棱两可的单元；它们似乎是十二个矢量，可以指代十二月、十二时辰、十二经脉等，但它们又似乎是八个矢量，其中四隅各自以两支合成一个矢量〔卦〕而指代西南方、东南方，西北方、东北方，十二支一共只指代八方。这一点与复数之性质相同，因为四隅之 、 、 ， 既是一个数，又像是两个数。
二、如果把复数散阵里的八个数看成是十二个数，配上十二地支可得下图：
＇图，复数散阵与十二地支＇
肆互壹局中若干计算和歧异现象都可从此得到直接显现：
六冲——
＇图＇
诸对冲之支所配之数相加全部等於零，为中宫之数。读者可自行计算。
六合——
＇图＇
子丑合
寅亥合 →歧异
卯戌合
辰酉合
巳申合 →歧异
午未合
上述乘积俱得 ，可以认为是丑支或艮宫之数〔丑艮俱为土〕，其中唯有巳申合、寅亥合歧异，其积是复数散阵中没有的数，故为“刑合”。这里之所以认为是丑支之数，当然还要与前面的计算合参，这也是易学整体性理论的特点，不能孤立地看问题。
六害——
＇图＇
酉戌害
申亥害 →歧异
子未害
丑午害
寅巳害 →歧异
卯辰害
六害之化数为 ，可以认为是未支或坤宫之数〔坤宫与未支俱属土〕，唯寅亥、巳申之化数歧异。巳申、寅亥之刑合以及巳申寅三刑之特异之象由此可以得到直接的证明。
子卯相刑——
＇图＇
三合局与三会局——
＇图＇
申子辰合水→一宫数之一半
寅午戌合火→九宫数之一半
亥卯未合木→七宫数之一半
巳酉丑合金→三宫数之一半
我们在地支式的运算中，四隅之数都只取了一半，故化数也为各宫数的一半。
再看三会局：
＇图＇
亥子丑合水→一宫数之一半
寅亥戌合火→九宫数之一半
亥卯未合木→七宫数之一半
巳酉丑合金→三宫数之一半
上述各种运算，无一不与肆互壹局的相互作用之化宫数相吻合。
其他平行对称图中的化合关系——
1、一六宫连线之平行图：
＇图＇
子亥乘
丑戌乘 →歧异
寅酉乘
卯申乘
辰未乘 →歧异
巳午乘
此平行图中，唯丑戌乘和辰未乘之积歧异，正与洛书计算及完整的复数相乘之结果相同。此外，其共同之乘积可视为亥支之数，为乾宫属金，但此宫无属金的地支，这也是此组的相互关系不被“肆互壹局”选用的原因之一。
2、三八宫连线之平行图：
＇图＇
寅卯乘
丑辰乘 →歧异之数
子巳乘
亥午乘
戌未乘 →歧异之数
酉申乘
此组乘积中，也是丑辰、戌未之积化歧异之数。这两组乘积也证明了丑戌未三刑的歧异的数理性质。此外，此化数也可以认为是巳支之数，巳为火而巽宫为木，五行不同，这也是此组相互作用不入肆互壹局的原因之一。
结论，从上面七种分析比较，可看出十二地支之特性与复数散阵中的十二个“数码”的特性如此吻合，不可能用偶合来解释。我们认为，十二地支数目的安排规定，不仅是对物理世界中自然现象〔如一年有十二个月、人体的十二经脉等等〕的简单模拟，而且是有更深刻的数理本原。
＇五＇
我们还要进一步探讨：为什么洛书被称之为乘除之原？为什么六合、六害的相互作用能够用乘法求余表达？为什么六冲的相互作用却要用加法？这几种计算方法有何深刻的内涵？这些“原问题”若不彻底解决，是不能证明“化数原则”〔同余计算〕的正确性的，充其量只是证明了古人是这么计算的，而没有说明为什么要这么计算，仍然是知其然而不知其所以然！。
这些问题，我们可以从两种洛书的等价模式中得到启发和解释。
一、洛书的平面坐标作用。
洛书是一种特定的非线性平面坐标系统。从本质上讲，八卦是八个最简单的离散系，是八个矢变量，因此任何事物的任何变化只能固定在坐标图的八个矢量加上坐标原点的九个点〔即九宫〕上，换言之，这九个点是万事万物的运动轨迹——即，地支与地支、天干与天干、天干与地支、八卦与八卦相互作用产生的新矢量，也只能在此八个矢量位置加上原点九个位置上跃跹，而不能逃逸到九个点之外去。
或问：为什么八卦可以相互转化？
因为八个矢量的绝对值〔在复数中称为“模”〕是等价的，它们都等价於圆半径r，也可以说是等价於单位“1”，仅仅是各自的极性不同或曰在复数平面上的幅角 〔指矢量与正实轴的夹角〕不同。这正是离散系的基本特征。这八个矢量虽然极性不同，但又是旋转对称性的。我们知道：在物理学上的对称不仅仅指几何图形上的对称，而且指各对称单元可以协变出某种等价的值。由於八卦是一种高度抽象的数理