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，但刻卜勒仍然把线段的均匀改为面积的均匀，从而“挽救了这个原则”，在他看来这不过是哥白尼学说揭示出来的许多数学关系中的三个吧了。
给予他更大欣喜的另外一个发现，是第二种关系，即距离方面的关系。如果在包容土星轨道的天域里内接一个正六面体的话，木星的天球就恰好外切于这个六面体。如果把一个正四面体内接于木星的天球之中的话，火星的天球就恰好与这个正四面体外切。如此类推，五个正多面体和六个行星，都是这样。这个关系只是大致不错，而且新行星的发现已经摧毁了它的基础，但它给予刻卜勒的快乐比以他的姓命名的三个定律还要大些。在他看来这是天体音乐的新和声，事实上，这就是行星距离所以如此的真正因。因为在他看来，也正象在柏拉图看来一样，上帝总是在运用几何学。
回到数的神秘学说，竟然会使哥白尼和刻卜勒建立这样一个体系，它通过伽利略与牛顿，把我们直接送到十八世纪法国百科全书派和十九世纪德国唯物主义者的机械哲学那里去，这真可以算是历史的揶揄之一。
伽利略
文艺复兴以后，在人心中沸腾着的某些伟大思想，终于在伽利略（Galileo Galilei，1564…1642年）的划时代的工作中，得到实际的结果。列奥纳多在他所考虑过的无数题目中，已经预兆了现代科学精神。哥白尼在思想世界发起了一场革命。吉尔伯特说明了实验方法怎样可以增加知识。但在伽利略身上，新精神比前人更进了一步。他在青年时代信仰亚里斯多德，成年以后就不再相信亚里斯多德的学说，而把握了新的原则；他了解在现代的研究中需要集中精力，因此，他就比较完备而有条理地研究了一些仔细选择的狭窄问题，而不象无所不能的天才列奥纳多那样把精力分散在许多科目上。哥白尼的天文学是根据数学简单性这一“先验”原则建立起来的，伽利略却用望远镜去加以实际的检验。最重要的是，他把吉尔伯特的实验方法和归纳方法与数学的演绎方法结合起来，因而发现、并建立了物理科学的真正方法。
伽利略真可算是第一位近代人物；我们读他的著作，本能地感觉畅快；我们知道他已经达到了至今还在应用的物理科学方法。过去，人们总是先采纳一个完备的和自圆其说的知识体系，中世纪新柏拉图主义和经院哲学都有这样的特色，现在，伽利略放弃了这种方法。事实不再是从权威的和理性的综合中推演出来的了，也不必再符合于这种权威的和理性的综合了，象在经院哲学中那样；事实甚至不再是靠这种综合来取得意义了，象在刻卜勒的头脑中那样。由观察或实验得来的每个事实及其直接的和不可避免的推论都按照本来面目被人接受，不管人们怎样想把自然界一下子收服在理性的管辖之下。许多孤立的事实的协和是慢慢显露出来的，围绕着每个事实的窄小的知识范围，零散地发生接触，也许就融合成一个较大的范围。可是，要把所有的科学的和哲学的知识融合成一个更高的、统摄一切的统一体，即使还不是绝不可能的，也须推迟到遥远的将来。中世纪经院哲学是理性的；现代科学在本质上是经验的。前者崇拜人的理性，在权威规定的界限内活动；后者接受无情的事实，不管它是否合于理性。
伽利略首先发明温度计。这是一根玻璃管，顶端有一个空气抱，开口端则浸没于水内，1609年他听人说一位荷兰人发明了一种能把远处物体放大的镜子。伽利略就根据他对光的折射的知识，立刻制成一个同样的仪器，而且很快就制出一个相当好的仪器，能将物体的直径放大三十倍。从此、新发现立刻接踵而来。月球的表面，哲学家从来就认为是完全平滑而无瑕疵的，现在看出盖满了斑点，说明有崎岖的山脉和荒凉的山谷。从前所看不见的无数星星，现在也闪烁在眼前了；自古以来不可解的银河问题，现在也得到解答了。人们现在看见，木星在它的轨道上伴随有四个卫星，并有其可量度的周期；这是地球和月球家哥白尼所说的那样围绕太阳运行的模型，只不过更加复杂和可以看见而已。帕多瓦的哲学教授不愿意去看一看伽利略的望远镜，而他的比萨同事们则在大公爵面前竭力想用逻辑的论据证明，“他仿佛是靠了巫术的符咒似的，把新行星从天空咒了出来”。
靠了望远镜的帮助，侧利略用人人可以复按的事实证明了天文学的新学说，而在那时以前天文学的学说是仅仅建立在先验的数学简单性的根据上的。差不多和伽利略同时，英国数学家，在把代数学改进为现代形式方面有很大贡献的哈里奥特（ThomasHarriot），也用一具望远镜观察了月球与木星的卫星，不过他生前没有把他的发现刊布出来。
伽利略的主要的和最具独创性的工作是为动力学奠定了基础。这时，静力学方面已经有一些进步，布鲁日的史特芬即史特维纳斯（1586年）尤其有贡献，他在斜面和力的合成，以及流体静力学的水压方面都做了一些工作，可是人们关于运动的观念，仍然是未曾经受训练的观察和亚里斯多德理论拼凑而成的大杂烩。物体被认为有所谓本质的重或轻，并且用和自身的轻重成比例的速度下降或上升，因为它们以不同的力量，“寻找它们天然的位置”。1590年左右，史特芬与德·格鲁特（de Groot）在德尔夫特（Delft）证明轻重两物同时坠落，则同时到达地面。伽利略也许重做了这个实验（好象不是在比萨斜塔上），因为他早说过炮弹并不比枪弹落得更快。
哥白尼与刻卜勒证明地球与其他行星的运动可以用数学方式表达。伽利略觉得地球的各部分在“局部运动”中也是按数学方式运动的。于是他想要发现的不是物体为什么降落，而是怎样降落，即是依照怎样的数学关系而降落；这是科学方法上的一个大发展。
物体以不断增加的速度降落。这种增加的定律是怎样的？伽利略的第一个假设，就本身言是很合理的。这个假设认为速度与降落的距离成比例。但这个假设含有一个矛盾，于是他试用另一个假设，即速度与降落的时间成比例。这个假设经证明没有什么困难，于是伽利略演绎出它的结论，并和实验的结果比较。
物体自由降落时速度太大，用当时已有的仪器不易量度，更难得到精确的结果，所以须将这个速度减少到便利的限度以内。伽利略起先认为物体沿斜面降落所得到的速度，与垂直降落同一距离所得到的速度一样。他于是用斜面实验，并发现他量度的结果与根据下列假设及其数学推论计算出的结果相符。这个假设就是：速度与降落的时间成比例；这个假设的数学的推论是：物体降落经过的空间按时间的平方而增加。他还再度发现另外一个事实；摆的振荡周期与摆幅无关（小摆动时）；可见在等时间内重力以等量增加摆锤的速度。
伽利略还发现：如果摩擦力小到可以忽略时，球滚下一个斜面之后，可以滚上另一个斜面直到和出发点一样高的地方，而与斜面的倾斜度无关。如果第二面是水平的，这个球将以恒速在这面上不断地向前跑去。
除了希腊的原子论者与少数的现代人如列奥纳多和邦内德提（Benedetti，1585年）之外，人们一向假定每个运动都须有继续不断的力去维持它。行星必须有亚里斯多德的“不动的原动者”或刻卜勒的太阳经过以太的作用，来维持它们的运行。但经过伽利略的研究，人们才明白：需要外力的不是运动，而是运动的产生或停止或运动方向的改变。物质既然具有惯性，行星系一旦开始运动，就不需要力去维持行星的运动；虽然必须找到一个原因去解释它们为什么不断地离开直线路径，而在围绕太阳的轨道上运行。在此以前就是正确地提出这个问题也不可能，但现在解决的途径已打开了，而解决的人就在眼前，因为牛顿就出生在1642年，即伽利略死去的那一年。
伽利略在动力学上还有另外一个重要的发现。在他以前抛射体的路径，已经是一个猜测纷纭的问题。伽利略看出抛射体的运动可以分析为两个成份：一个在水平向，速度恒定不变，一个在垂直向，遵循落体的定律。这两个分量综合之后，即得路径为抛物线。
伽利略的哲学思想，一方面接近刻卜勒，另一方面接近牛顿。和刻卜勒一样，他要寻找自然现象间的数学关系，但他所找的不是神秘的原因，而是要了解支配自然变化的永恒定律，不管“自然的理由是人类所能了解或不能了解的”。
由此可见伽利略已经远远离开了经院派以人为中心的哲学，在这哲学里，整个自然界都是为人而创造的。但是，在伽利略看来，上帝把这种严格的数学必然性赋予自然，而后通过自然，创造“人类的理解力，使人类的理解力在付出了极大的努力之后，可以探寻出一点自然的秘密”。
欧几里得与其前人把几何学归到数学的领域。希帕克、哥白尼与刻卜勒表明天文学可以归结为几何学。伽利略也同样地对待地上的动力学，把它变为数学的一个部门。要从构成一种新科学的题材的观察到的一团混乱的现象和一团混乱的模糊的观念中，创造出一种新科学，第一步总是要抓着可给以确切界说的几个概念，这种界说至少应在一个时期内是有效的；如果可能的话，这种界说应使我们可以对这些概念给予数学上的量的处理。为了要把他的落体的加速度问题变成可研究的问题，伽利略首先将古来关于距离与时间的概念给予确切的数学形式。亚里斯多德与经院哲学家的主要兴趣在于最后因，他们认为地上的运动和天文学上的天体运动并不相似，而是形而上学的一个分支。于是他们就借助作用、动因、目的、自然位置等含糊观念，从本质的角度去分析运动。关于运动本身，他们很少说到或想到，而只是举出了运动的几种区别，如自然的运动与剧烈的运动的区别，直线运动与圆运动的区别等。在伽利略看来，这些都是无用的，他所要研究的不是运动为什么发生而是怎样发生。定性的方法使得空间与时间在亚里斯多德思想中成为某些不重要的范畴。伽利略使得时间和空间在物理科学中具有了本原而根本的性质，自此以后时间和空间就始终在物理科学中具有这种性质。他和别的人还认识到，在惯性里除了重量之外，还有某一个量。但质量的确切定义是牛顿首先提出的，至于能量的概念，则到十九世纪中叶，才形成并得到定义。
虽然如此，伽利略毕竟在数学的动力学方面迈出了最初的、也是最难的一步，这就是从经院哲学在分析变化和运动时所采用的模糊的目的论范畴，跳到关于时间和空间的确定的数学观念。贝尔特教授认为我们现今的许多哲学困难都是由这一步骤带来的。我们或许可以回答说，这一步骤揭露并澄清了亚里斯多德物理学所掩盖起来的许多困难。总之，一件事是确定的：如果没有伽利略的新眼光，动力科学是不会有那样的发展的。如果他的某些继起者把这门学科和形而上学的实在问题的关系估计得过高，那并不是伽利略的过错。事实上对于只有根据轻率的推测才能解答或者只能由哲学体系演绎出来的问题，他宁愿承认无知，耐心等待。他承认他对于力的本性，重力的原因，宇宙的起源，毫无所知。他认为，与其夸大胡说，不如“宣布那个聪明的、智巧的、谦逊的警句：‘我不知道’”。
也许在物理学的其他部门的哲理问题上，伽利略也和前人有同样重要的不同。刻卜勒承认物体的第一性的质（或不可分离的性质）与第二性的质（或不甚实在与不甚根本的性质）的差别。伽利略更进一步，认为第二性的质不过是感官上的主观效应，和不可与物体分离的第一性的质迥然不同。在这里，他与古代原子论者是一致的，这是因为原子论者的哲学在不久以前又复活了。伽利略说：
当我设想一件物质或一个有形体的物质时，我立刻觉得我必须设想按它的本性，它是有界限、有形状的，和旁的东西比较起来是大还是小，处在什么地方和什么时间，在运动还是静止，与其他物体接触还是分离，是单个、少数还是多数，总之，无论怎样，我不能想象一种物体不具有这些条件。但关于白或红，苦或甜，有声或无声，香或臭，我却不觉得我的心被迫承认这些情况是与物体一定有关系的；如果感官不传达，也许推理与想象始终不会达到这些。所以我想物体方面的这些味、臭、色等，好�