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现代数理逻辑，是在1854年从布尔开始的。他创设了一种数学符号，用以从前提推出结论。此后，皮诺（Peano）与弗雷格以数学分析证明传统的逻辑认为属于同一形式的许多命题，例如“此人必有死”与“凡人必有死”，是根本不同的。以往的混乱把事物的关系与事物的特性，具体的存在与抽象的概念，以及感觉世界与柏拉图的理念世界，弄得混淆不清。
数理逻辑使学者很容易处理抽象的概念，并且可以提示一些本来会被忽视的新的假说。它诱导出一种物理学概念的理论，以及数论的新学说。这个新学说是1884年弗雷格发现的，二十年后又为罗素所独立发现。罗素说：
大多数哲学家都以为物理的与心理的现象，把世界的一切都包括无遗了。有些人说，数学的对象显然不是主观的，所以必定是物理的及经验的。另一些人说，数学显然不是物理的，所以必定是主观的及心理的。就他们所否认的而言，双方都对。但就他们所断言的而论，彼此都错。弗雷格的优点，就在接受双方所否认之点，并承认逻辑的世界既非心理的亦非物理的，从而找到一个第三种论断。
弗雷格把事物之仅为客观的，如地球的轴，与其既为客观又为实在而占有空间的，如地球自身，加以区别。在这个意义上说，数以及全部数学与逻辑，既非占有空间的和物理的，也非主观的，而是感觉不到的，并且是客观的。由此可以得出结论：我们必须把数看做是类——2是代表所有成双的一类，3是代表所有成参的一类等等。正如罗素的定义所说：“某一类的项，就是与该类相似的所有各类的类。”这已证明与算术的公式相符，而可以适用于0，适用于1，以至于无穷大的数——这些数都是其他学说所感觉困难的。至于类之是否虚设而不存在，那是没有关系的。如果用任何其他有类的定义性质的东西去代替类，则上述的定义也同样可用。由此可知，虽然数已变成非真实的，但它们依然是有相等效用的逻辑形式。
有些哲学家对可感觉的世界的实在性表示怀疑，其根据之一就是，无穷大与连续性据说是自相矛盾的，因而是不可能的。固然没有可靠的经验证据，去证明物理世界中的无穷大及连续性，但是在数学推理上，它们却是必需的，而哲学家所谓的矛盾，现在已知其为虚幻的了。
连续性的问题，本质上就等于无穷大的问题，因为一个连续级数，必含有无穷多的项。毕达哥拉斯遇到了一个疑难：他发现直角三角形的弦的平方。等于其二边购平万之和，如果三角形的两边相等，则弦的平方，即等于边的平方的二倍。但毕达哥拉斯学派不久又证明一个整数的平方，不能为另一个整数平方的二倍，如是则边的长度与弦的长度，是不能以整数相约的。毕达哥拉斯学派本来相信数是世界的本质，据说得此发现以后，大感沮丧而把它隐藏起来。几何学是在欧几里得采用的基础上重新建立起来的，不涉及算术，所以避免了这一疑难。
笛卡尔几何学，恢复了算术的方法，由于利用“无理数”作不可互约的长度的比数，很快就发展起来。这种无理数，证明与算术的规则相符，远在近年来找到圆满的定义与解决不可约的问题以前，就被人们深信不疑地加以采用了。
我们还可以概括地谈谈现代数学家怎样构成无穷大的理论，使芝诺以来的哲学家所争论不已的疑难问题，归于消失。这个问题本质上是数学问题，在数学的方法尚不够精深以前，这个问题是无法研究，甚至于提不出来的。
无穷级数与无穷大，在现代数学的初期，即已出现。它们的性质，有些希奇，但数学家并不以无穷大的观念为虚幻，而继续应用它们，后来终于为他们的方法找到逻辑根据。
关于无穷大的困难，一部分是由于字义的误解。这种误解，是由于把数学上的无旁大，与非数学家的哲学家所想象的无限（一种有些模糊的观念，与数学问题毫不相干），混为一谈。照字源说：“无穷大”的意义，是没有止境。但是有些无穷级数（例如现在以前的过去时刻组成的级数，又如无穷个点组成的线段）有止境，有些则没有，又有些数的集合，虽为无穷，而非级数。
其他困难，是由于想把有限数的某些特性，如可以数清的特性等，应用于无穷数。无穷级数虽其项数不可胜数，但可由其自身效类的性质而识别。并且一个无穷数，不因有所加减，甚至乘除，而变大或变小。现在把所有数字1，2，3，……书一横行，而将所有偶数2，4，6，……在其下面另书一横行。两行数字的数目相等，但下行乃从所有数的无穷集合中，取去无穷个奇数而得的。这样，全体显然不大于其部分。此种矛盾，使哲学家否认无穷数的存在。但是所谓“大于”，其意义颇为含糊。这里的“大于”，乃“含有较多项”的意义。在此意义上，全体固能等于其部分，而无自相矛盾之病。
无穷大的现代理论，是坎托在1882－3年提出来的。他证明有无穷个不同的无穷数，而较大及较小的观念，通常也可应用于无穷数。在此种观念不能应用的某些情况下，必有新问题发生。例如一长线所含数学上点的数目，与一短线所含的相等；这里所谓较大较小，并非纯粹算术的，而含有几何上的新概念。
哲学家所遭遇的困难，大部起于假设有限数的特性，能应用于无穷数。如果有限的时间与空间，为有限个数的时刻与点所组成，则芝诺的论据或可正确。为了避免芝诺的矛盾，我们可以有几条出路：（1）否认时间及空间的实在性；或（2）否认空间及时间为点与顷刻所组成；或（3）坚持认为如果空间与时间为点与时刻所组成，则点与时刻之数为无穷。芝诺与其许多信徒选择了第一条出路，而其他如柏格森等则选择了第二条出路。
但是根据其他的理由，无穷数，无穷级数，以及不合连续项的无穷集数的存在，是必须予以承认的。例如我们可以按1／2，1／4，1／8等的次序，写列一个小于1的分数级数，但在每两个分数之间，尚有其他分数，如7／16，3／8等等。在此级数中，没有两个分数是相连的，而它们的总数目是无穷的。然而在它们所有数值的总和之外还有1。因此我们必须承认在一个无穷级数的总和之外，确还有数的存在。芝诺关于线上的点数的论述，许多可应用于这分数的集数。我们不能否认分数的存在，因此我们为了有效地避免芝诺的矛盾，就必须找到一个站得住脚的无穷数的理论。
数学中的无穷数，是在可以计数的数之外的。无穷数不能靠从一个数走到下一个数的连续步骤达到。它们存在于数类中，只能以数学的术语来下定义，用数学的方法来加以检验。但凡有资格判断的人士，都一致承认数理逻辑及无穷数的数学理论，确实是在正确的路上前进。妄图证明感觉对象与科学定律为虚幻的陈旧的逻辑数据，今已证明其不确了；这一问题仍然存在，因此须另用其他方法去研究。不管许多唯心主义哲学家怎样宣讲，想用先验的心理方法推出外界的性质，实不可能。科学的观察与归纳方法，是必需的。
归纳法
从个别的现象以求概括定律的步骤，叫做归纳法。逻辑中归纳法的部分在实验科学中特别重要。从以前各章所述，我们知道有许多哲学家研究它，其中以亚里斯多德及弗兰西斯·培根最为有名。
培根赞扬实验，以为用差不多是机械式的方法可以确定地建立一般性的定律。怀疑论者休谟，则以为如果用归纳法求新知识，即使归纳法完成其应有的任务，有时也可能得到错误的结果，因此，用归纳法所得的定律，只能说多少是或然的，而不能认为是确定的。但不管休谟的意见如何，大多数科学家与若干哲学家，仍以归纳法为探求绝对真理的道路，甚至穆勒也持此信念。他把归纳法放到因果律的基础上，而认为因果律已为许多确具原因的实例所证明。惠威尔指出，单单经验可以证明一般性（generality），但不能证明普遍性（universality），但如果再加上运用必然的真理，如算术原则、几何公理及几何演绎，则普遍性也可求得。当然，这些见解都是在非欧几里得空间发现以前的事。当时虽有惠威尔的警告，穆勒的见解似乎仍然代表了当时一般的信念。正如亨利·彭加勒（Henri Poincare）所说：
自一肤浅的观察者看来，科学的真理是毫无疑问的；科学的逻辑是决无错误的；学者有时错误的原因是他未认清原则。
科学的功用，在追溯各种现象间的关系，或更恰当地说，在追溯表述各种现象的概念间的关系。但当我们，比方说，已发现气体压力的增大，使其体积缩小时，我们也同样可以说，气体体积的缩小，使其压力增大。在我们的意识看来，凡是我们先想到的变量，就是原因。由此可知原因的观念与结果的观念是暧昧不明的。只有当此中含有时间的因素时——即当互相关联的事件之一，在另一事件之后时——我们的意识，才本能地把前件（post hoc）看做是事因（Propter hoc）。但这时也不可能把一个事件的真正原因和一长串发生在前的情况——都是该事件发生的必要条件——分开。更进一步，相对论已经证明，在“此地…此时”的一个事件，只能成为绝对的未来中的事件的原因，与绝对的过去中的事件的结果。在第16图（见406页）中的中立区域内的事件，与一个“此地…此时”的事件，不能有因果的关系，因为如果这样的话，其影响的传递必将超过光速才可以。并且如果用因果原理来证明归纳法的有效性，说明它是追寻绝对真理的响导，那末，从逻辑上来说，这一原理自身便不能用归纳方法来加以证明。因此，穆勒的论据的基础就动摇了。
的确，归纳方法叙述起来是很容易的，而要证明归纳在逻辑上的有效性，则颇为困难。归纳方法确非培根式的。惠威尔指出，归纳的成功，在于出发时须有正确的观念。洞察力，想象力，或者天才，都是需要的：首先要选择最好的基本概念，并把各种现象加以妥善分类，使其适于归纳的运用；其次要制订一个临时的“定律”，作为工作假说，再以进一步的观察及实验加以检验。
现试以实例说明于下：亚里斯多德的物质及其特性、天然位置等等的观念，不能用作动力学的概念；如果说它能导出些什么，它所导出的，只是些假的结论，如重的东西坠落得较快之类。从此以后，毫无进步可言。直至伽利略及牛顿才摈弃了整个亚里斯多德的体系，从混乱之中选择距离或长度、时间及质量作为新的基本概念，这样才能对物质及运动加以思考。
伽利略利用距离和时间以及由此导出的速度，于一度失败之后，猜得落体的速度与其降落时间的正确关系，推出其数学推论，并且用实验加以证实。牛顿再添上质量的概念——本隐涵于伽利略的研究成果内——成立了运动定律，又由此推导出动力科学。这种动力学广泛地得到观察与实验的证明。
正确概念的重要是很明显的，有了正确的概念，再给予正确定义的重要性也是很明显的。所以彭加勒以为我们对于时间的测量，会不自觉地选择从正午到正午，而非从日出到日出，因为只有如此，才使牛顿的动力学成为可能。反对此说的人士，如怀德海及里奇（Ritchie），所以走到反对的地步，是因为他们把意识当作仲裁者，把我们对于各段时间相等的直接感觉，当作测量的基础。
正确的概念既已择定，人们大概就可以象伽利略那样看出概念间的某些关系。这些关系，或它们的逻辑推论，就可以用实验加以检验，而其中有些将得到证明。于是简单的定律就建立起来，而新的学科也就开始形成了。每一得到证明的新关系，又引起新的实验，实验知识的增加，又需要并引出假设性的新关系。提出可能正确的假说，需要洞察力与想象力；推求假说的推论，需要逻辑本领同时还需要数学本领；检验假说的正确性，需要忍耐、毅力与实验技巧。的确，如坎贝尔所说，归纳是一种艺术，而科学是艺术中的最高的。
从第九章所叙述的生理学及心理学最近的研究成果看来，有一些人如持“行为主义”的观点的人认为，归纳所依靠的基本方法，与心理学的“条件反射”有密切关系。婴儿触火受伤后，将来必知避火。如他触火时，火在炉内，他也将避火炉，即使炉内无火时也是如此。他前面的�