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其中“e x p”是指自然对数e的幂函数。象p一样，e是一个很重要的数值，两者在
上述公式中都出现了。它们的重要性足以让你在你的金融计算器上特意留下它们的键
盘。因为它们经常在连续分布的计算中会被用到。
连续分布的概率函数通常被称为密度，记为f，以区别于情景分析中的P r；原因是
因为随机变量的可能取值有无穷多个，于是其取每个值的概率必为无穷小。密度是一
种函数，我们可以通过对它在一段区间上的积分来得到这一区间里取值的概率。换句
话说，如果我们要计算一个标准正态分布变量落在区间＇a，b＇上的概率，只要把随机
变量z从a到b的f（z）都加总起来就能得到。无论a与b多相近，在该区间内必有无数多
的随机变量z，积分正是解决这个问题的数学操作方法。
我们先来考虑一个服从标准正态分布的随机变量z小于等于a的概率，即z落在值域
＇…∞，a＇上的概率。我们应该对密度函数在区间＇…∞，a＇上进行积分，所得结果称为
累积（正态）分布，以N（a）表示。当a达到无穷大时，z就可以取任何值；因此这时
z取值的概率接近于1。任何一个密度函数都有这个性质，即当随机变量在整个取值范
围上进行积分时，累积分布就达到1 。 0。
同样，一个服从标准正态分布的随机变量z小于等于b的概率为N（b），于是，z在
区间＇a，b＇上取值的概率就是N（b）与N（a）之间的差。正式地，我们有：
P r（a≤z≤b）=N（b）…N（a）
图A … 1列示了这些概念。图中画出了正态分布的密度函数。在图中我们可以看出
正态分布关于期望值的对称性（标准正态分布的期望为零，同时众数与中位数也为零），
以及偏差越大概率可能性越小的特性。跟任何一个密度函数一样，在密度函数线下的
所有面积加总为1 。 0。a和b正好为正值，因此它们在期望值的右侧。最左边的区域是密
度函数中z≤a的部分，因此这部分面积就是a的累积分布，也就是z≤a的概率。中间的
区域是a与b之间的密度面积。如果我们把这部分面积加上a的累积分布，我们就得到
了到达b的总密度面积，也就是z落在b左边的概率。于是a、b之间的面积即为z落在a和
b之间的概率。
利用相同的逻辑，我们找到了z》b的概率。我们已经知道z≤b的概率为N（b）。由
于复合事件“小于等于b”和复合事件“大于b”是互斥的而且是完全的（指两个事件
包含了所有可能的结果），因此他们的概率之和为1 。 0；于是要计算z》b的概率，我们只
要简单地用1减去z≤b的概率即可。正式地，我们有：P r（z》b）＝1…N（b）
让我们再来看图A … 1，密度函数下b到正无穷之间的区域面积就是密度函数整个面
积（等于1）与负无穷到b之间面积的差。
正态密度函数已经足够地复杂，以至于它的累积函数（即其积分）并没有一个很
精确的显式解。它必须求助于近似方法才能得到。就像本书中表2 1 … 2那样，我们已经
把任何z值所对应的N（z）值求了出来，并制成表供查询。
为了进一步说明问题，下面我们计算标准正态分布的概率：
P r （z≤…0 。 3 6 ）＝N（…0 。 3 6 ）＝z小于等于…0 。 3 6的概率
P r （z≤0 。 9 4 ）＝N（ 0 。 9 4 ）＝z小于等于0 。 9 4的概率
P r （…0 。 3 6≤z≤0 。 9 4 ）＝N（ 0 。 9 4 ）…N（…0 。 3 6 ）＝z落在区间＇…0 。 3 6，0 。 9 4 ＇之间的概率
P r （z》 0 。 9 4 ）＝1…N（ 0 。 9 4 ） =z大于0 。 9 4的概率
752 第八部分附录
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利用表2 1 … 2的标准正态累积函数（有时也称为正态分布面积）和图A … 2，我们得
到：
N（…0 。 3 6）＝0。359 4
N（0 。 9 4）＝0。826 4
如图A … 2所示，…0 。 3 6和0 。 9 4之间的面积就是z落在＇…0 。 3 6，0 。 9 4 ＇之间的概率，因此
有：
P r （…0 。 3 6≤z≤0 。 9 4 ）＝N（ 0 。 9 4 ）…N（…0 。 3 6 ）＝0 。 8 2 6 4…0。359 4＝0 。 4 6 7 0
z大于0 。 9 4的概率就是图A … 2中0 。 9 4与正无穷大之间的面积。它等于整个面积与负
无穷大到0 。 9 4之间面积的差。因此有：
P r（z》 0 。 9 4）= 1…N（0 。 9 4）＝1…0。826 4＝0。173 6
最后，还有一个问题，如果z小于等于a的概率为p，那么a的值为多少？
我们假定得到a的函数为Ф（P），于是就有：
如果Ф（P）＝a，则P＝N（a） （ A … 7 ）
比如说，假设现在的问题是：累积密度为0 。 5的值为多少？只要看一下图A … 2，我
们就知道负无穷到零（即期望值）之间的面积为0 。 5，于是我们就有：
Ф（0 。 5）＝0 因为N（ 0 ）＝0 。 5
同样地
Ф（0。826 4）＝0 。 9 4
因为
N（ 0 。 9 4 ）＝0。826 4和Ф（0。359 4）＝…0 。 3 6
我们可以验证一下。从表2 1 … 2中得出Ф（0。655 4）＝0 。 4，这意味着具有累积分布
密度为0。655 4的值是z＝0 。 4 0。
图A…2 概率与累积正态分布
非标准正态分布：假定某种股票的月收益大致服从均值为0 。 0 1 5 （每月1 。 5％）、标准
差为0 。 1 2 7 （每月1 2 。 7％）的正态分布。那么在某月中收益率小于零的概率为多大？注意
由于收益率为服从正态分布的随机变量，它的累积分布密度就可以用数字方法得到。
标准正态分布表可以应用于任何一个正态分布的变量。
任一个随机变量x，可以通过下式而替换成一个新的标准化的随机变量x*：
x … E（ x）
x* = A…8
（x ）
注意，我们对x所做的步骤是：（1）减掉期望；（2）乘以标准差的倒数1 / ＇ （x） ＇。
根据我们前面的讨论，对随机变量来说，加上和乘以一个常数的替换效果就是使替换
后的随机变量具有零均值和单位方差。
E（x） … E（x）
（x）
E（x*） 0；
（x*） 1
（ x）
（x ）
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附录A 定量计算的复习
753
从正态分布的固有性质我们知道，如果x服从正态分布，那么x*也服从正态分布。
一个正态分布的随机变量可以由两个参数完全确定：它的期望与标准差。对于x*来说，
它们分别为0与1 。 0。当我们对一个随机变量减去其期望然后再除以其标准差以后，我
们就把它标准化了。也就是说，我们把它转化成了一个服从标准正态分布的随机变量。
这个方法在对正态分布（近似正态分布）随机变量进行处理上应用得非常广泛。
回到我们先前考虑的股票。我们知道如果把月收益率减去0 。 0 1 5，然后再除以
0 。 1 2 7，所得的随机变量就是服从标准正态分布的。我们现在可以确定某月收益率小于
等于零的概率。我们知道，有
r … 0。015
z =
0。127
其中r为股票的收益率，z服从标准正态分布。所以，如果r＝0，z就应该为：
0 … 0。015
z（ r = 0） = =…0。1181
0。127
当r＝0时，相应的标准化随机变量z＝…11 。 8 1％，为一负数。“r小于等于零”的事
件应与“z小于等于…0 。 118 1 ”等价。计算后者的概率就能够解出我们要求的问题。它
的概率即为N（…0 。 118 1），利用标准正态表我们得到：
P r（r≤0）=N（…0 。 118 1）＝0 。 5…0 。 0 4 7＝0 。 4 5 3
结果很有意义。回忆起r的期望值为1 。 5％。所以，由于r小于等于1 。 5％的概率为0 。 5，
r小于等于0的概率应该接近于0 。 5，但可能会再低一些。
置信区间：由于我们的股票具有较大的标准差，因此我们有理由去怀疑月收益率
绝对数值的可靠性。对于这个问题，一种量化的回答方法可以解决：“如果某股票收
益率落在某区间的概率为9 5％，那么该区间是什么？”这个区间也被称作9 5％的置信
区间。
一种符合逻辑的区间是以期望值为其中心的，因为r本身就是关于期望值对称的
正态分布随机变量。把所求区间记为
＇E（r）…a，E（r）＋a＇＝＇ 0 。 0 1 5…a，0 。 0 1 5＋a＇
它的区间长度为2a。r落在此区间内的概率可用下式表出：
P r （ 0 。 0 1 5…a≤r≤0 。 0 1 5＋a）＝0 。 9 5
要解决这个问题，我们首先从标准正态分布的随机变量入手。服从标准正态分布
的随机变量具有零期望与单位方差。
标准正态分布随机变量z的9 5％置信区间是什么？由于变量的分布关于零对称，因
此上面的计算式变为：
P r （ …a * ≤ z ≤ a 0 ） = N
（a*）…N（…a0）= 0 。 9 5
图A … 3有助于你对上式累
积分布差所代表的意义有更好
的了解。落于此区间外的概率
为1…0 。 9 5＝0 。 0 5。由于正态分
布的对称性，z小于等于…a*的
概率为0 。 0 2 5，而且z≥a*的概
率亦为0 。 0 2 5。于是我们可以
用下式来解出a*：
…a*＝Ф（0 。 0 2 5），其等价于N（…a*）＝0 。 0 2 5
我们可以对这个解决思路作如下总结。如果我们要寻找一个置信水平为9 5％的置
信区间，我们可以定义为r落于置信区间之外的概率。由于具有对称性，
的一半就是
图A…3 置信区间与标准正态分布
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第八部分附录
754
其落于置信区间右端的概率。同时其落于置信区间左端的概率亦为
/ 2。所以与P之间
的关系为：
=1…P＝0。05
/ 2＝（ 1…P） / 2＝0 。 0 2 5
我们这里使用
/ 2的原因就是考虑到分布的两个尾部把r以外的区域平分了。不含r
值的任一尾部都具有
/ 2的面积。值
=1…P表示的是不含r值所有区域的面积。
为了确定标准正态分布随机变量的置信区间下边界z＝Ф（a/ 2）。我们通过标准正
态累积分布值0 。 0 2 5来确定z 值。查表得z =…1 。 9 6 ，于是我们推断出…a*＝…1 。 9 6 ，
a*=1 。 9 6，z的置信区间为：
é 。
。êE（z） …F è2
。
。； E（z） ＋F è
。
2 。
。
。
ù
ú =＇…F（0。025）；f（0。025）＇=＇…1。96；1。96＇
为了得到非标准正态分布随机变量r的区间边界，我们只要利用关系式r＝z
（r）＋
E（r）＝Ф（
/ 2 ） （r）＋E（r）来转化z的边界即可。注意，我们迄今为止都是设期望值为置
信区间的中心，然后以其一定数量的标准差向两边拓展。标准差的数量取决于我们允
许其落于置信区间之外的概率（
），或者就是其落于置信区间的概率（P）。通过加减
1 。 9 6 （即z=±Ф（0 。 0 2 5）），我们得到期望值两边的距离为±1 。 9 6×0 。 1 2 7＝0 。 2 4 9，于是
我们得到了置信区间：
é
（r）Fè
。
。
。 ； E（r） ＋ （r）F。
è 。
。ù
ú =＇E（r） …0。249； E（r ） ＋0。249＇ =＇…0。234；0。264＇
êE（r） …
。
22 。
é
以满足于P =1…= pr E（r） … （ r）Fè
。
2 。
。
≤r ≤E（r） ＋ （r）Fè
。
2 。
。
。
ù
ú
。ê
对于我们的股票（期望值为0 。 0 1 5，标准差为0 。 1 2 7）来说，也就是：
P r ＇…0 。 2 3 4≤r≤0 。 2 6 4 ＇＝0 。 9 5
注意到由于股票收益率的标准差较大，9 5％的置信区间的宽度竟达到了4 9％。
利用该例的一个变体，我们再复习一下计算过程。假设我们要求一个资产组合年
收益9 0％的置信区间，其年收益率的期望值为1 。 2％。标准差为5 。 2％。
该例的解为：
Pr
é
êE（r） … （r）Fè
。1 …P
。
。
≤rp≤E（ r） ＋ （r）Fè
。1 … P
。
。ù
ú
。
22 。
=Pr＇0。012…0。052 ′1。645≤rp≤0。012 ＋0。052 ′1。645＇
= Pr＇ …0。073 5 ≤rp≤0。0975＇=0。90
因为该资产组合的风险较低，而且我们要求落于所求区间的概率为9 0％（而非
9 5％），所以该置信区间的宽度仅为2 。 4％
对数正态分布：采用正态分布来描述股价及收益率存在着两个不足。首先，尽管
正态分布允许随机变量取任何值（包括负值），但实际的股价不可能为负。其次，正
态分布不适于计算复利。而对数正态分布解决了这两个问题。
对数正态分布描述了一个不断增长的随机变量，它的增长率为一正态随机变量。
因此，一个对数正态分布随机变量的生成过程反映了连续计算复利的特征。
假定某股票以年连续复利（Annual Continuously pounded，A C C）计算的收
益率服从正态分布，且其期望值为
＝0 。 1 2，标准差为
＝0 。 4 2，年初的股价为P0 ＝1 0
美元，利用连续复利（参见第5章附录），如果年复利rc ＝0 。 2 3，则年末的股价应为：
P1 ＝P0 ex