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美元，利用连续复利（参见第5章附录），如果年复利rc ＝0 。 2 3，则年末的股价应为：
P1 ＝P0 ex p （rc）＝1 0e0 。 2 3＝1 2 。 5 8 6美元
其等价的有效年利率为
r =
P1 …
P0
P0 =e rc …1 =0。2586 （或2 5 。 8 6％）
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附录A 定量计算的复习
755
这就是服从对数正态分布的年利率r的实际意义。注意，尽管年连续复利rc可能为
负，但期末股价P1不可能为负。
服从对数正态分布的金融资产具有两个重要的特性：它们的期望收益以及考察期
长度的可变性。
服从对数正态分布资产的期望收益：一个对数正态分布股票的期望年收益为：
E（r） = e x p （
＋
2/ 2 ）…1 = e x p （ 0 。 1 2 ＋ 0 。 4 22/ 2 ）…1 =e0 。 2 。 8 2…1 = 0 。 2 3 1 5 （或2 3 。 1 5％）
这只是关于分布统计值的一个数学特性。鉴于此，一个有用的统计量
*定义如下：
2
* =
＋= 0。208 2
2
当分析家们提到对数正态分布资产年复利的期望时，他们一般是指
*。通常这份
资产的年复利就被认为服从期望是
*、标准差为的正态分布。
考察期间长度的可变性：对数正态分布允许资产持有期的变动。假定我们希望能
计算月收益，而非年收益。我们用t来表示我们要求的时间段，为方便起见，t用分数
（以年为单位1）来表示；那么在比例中我们就设t= 1 / 1 2。为了把年收益的分布转化成t
时段收益的分布，我们只需要把原分布的期望与方差乘以t即可（比例中t= 1 / 1 2）。
在我们这个例子中，股票月连续复利的期望和标准差为：
（月）＝0 。 1 2 / 1 2＝0 。 0 1 （或者说每月1％）
（月）＝0 。 4 2／
12 ＝0。121 2（或每月1 2 。 1 2％）
*（月）＝0。208 2／1 2＝0。017 35（或每月1 。 7 3 5％）
注意我们在把年转化为月时，方差应除以1 2；因此标准差应除以
12 。
同样地，我们可以把一个非年利的分布转化为一个以年利计算的分布。例如，假
设股票周连续复利服从正态分布，且
*＝0。 0 0 3，
＝0 。 0 7，于是年连续复利分布的各
项指标为：
*＝52×0 。 0 0 3＝0 。 1 5 6 （或每年1 5 。 6％）
＝
52 ×0 。 0 7＝0 。 5 0 4 8 （或每年5 0 。 4 8％）
在实际应用中，为了得到标准正态分布的连续复利R，我们通常取原始收益率加
1 。 0后所得和的对数：
R= l o g（1 ＋r）
在短时期内，原始收益率很小，所以连续复利R也会与原始收益r非常相近。所以
对于一个月或短于一个月的期间来说，这个转换并不是必需的。也就是说，用正态分
布的股票收益率来近似已经足够精确了。但是对于一个较长的时期来说，这个转换还
是很有必要的。
A。2 分析分布特征的统计方法
迄今为止我们的分析都是“向前看”，或者如系统经济学家所说的“以过去推知
未来”。我们已经讨论了概率、期望值与惊奇。如果我们假设决策结果的分布遵循一
个相对简单的公式，而且我们对该分布与参数也了如指掌，那么我们就能较容易、较
准确地进行分析了。
投资管理者必须让他们自己确信这些假设都是合理的，而他们是通过长时期对相
关随机变量观测值的积累来达到这一点的。为了做出最优决策，股票收益率在以前的
分布是他们必须知道的一个要素。确实，收益率的分布随着事件在不断改变。但是，
一个不太“古老”的样本应该能够对下一期的收益率分布及参数提供相关的信息。在
这一节中，我们介绍一些描述分布的统计量，它们也被称为历史样本的组织分析。
A。2。1 柱状图、盒式描点与时间序列描点
表A … 3列出了两种主要资产：标准普尔5 0 0指数与长期政府债券资产组合在1 9 2 6年
到1 9 9 3年的年超额收益（超过国库券收益部分）。
756 第八部分附录
表A…3 股票及长期国债（到期溢价）的超额收益（风险溢价）
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年份股权风险溢价债券到期溢价年份股权风险溢价债券到期溢价
1 9 2 6 8 。 3 5 4 。 5 0 1 9 6 3 1 9 。 6 8 …1 。 9 1
1 9 2 7 3 4 。 3 7 5 。 8 1 1 9 6 4 1 2 。 9 4 …0 。 0 3
1 9 2 8 4 0 。 3 7 …3 。 1 4 1 9 6 5 8 。 5 2 …3 。 2 2
1 9 2 9 …1 3 。 1 7 …1 。 3 3 1 9 6 6 …1 4 。 8 2 …1 。 11
1 9 3 0 …2 7 。 3 1 2 。 2 5 1 9 6 7 1 9 。 7 7 …1 3 。 4 0
1 9 3 1 …4 4 。 4 1 …6 。 3 8 1 9 6 8 8 。 5 8 …5 。 4 7
1 9 3 2 …9 。 1 5 1 5 。 8 8 1 9 6 9 …1 5 。 0 8 …11 。 6 6
1 9 3 3 5 3 。 6 9 …0 。 3 8 1 9 7 0 …2 。 5 2 5 。 5 7
1 9 3 4 …1 。 6 0 9 。 8 6 1 9 7 1 9 。 9 2 8 。 8 4
1 9 3 5 4 7 。 5 0 4 。 8 1 1 9 7 2 1 5 。 1 4 1 。 8 4
1 9 3 6 3 3 。 7 4 7 。 3 3 1 9 7 3 …2 1 。 5 9 …8 。 0 4
1 9 3 7 …3 5 。 3 4 0 。 0 8 1 9 7 4 …3 4 。 4 7 …3 。 6 5
1 9 3 8 3 1 。 1 4 5 。 5 5 1 9 7 5 3 1 。 4 0 3 。 3 9
1 9 3 9 …0 。 4 3 5 。 9 2 1 9 7 6 1 8 。 7 6 11 。 6 7
1 9 4 0 …9 。 7 8 6 。 0 9 1 9 7 7 …1 2 。 3 0 …5 。 7 9
1 9 4 1 …11 。 6 5 0 。 8 7 1 9 7 8 …0 。 6 2 …8 。 3 4
1 9 4 2 2 0 。 0 7 2 。 9 5 1 9 7 9 8 。 0 6 …11 。 6 0
1 9 4 3 2 5 。 5 5 1 。 7 3 1 9 8 0 2 1 。 1 8 …1 5 。 1 9
1 9 4 4 1 9 。 4 2 2 。 4 8 1 9 8 1 …1 9 。 6 2 …1 2 。 8 6
1 9 4 5 3 6 。 11 1 0 。 4 0 1 9 8 2 1 0 。 8 7 2 9 。 8 1
1 9 4 6 …8 。 4 2 …0 。 4 5 1 9 8 3 1 3 。 7 1 …8 。 1 2
1 9 4 7 5 。 2 1 …3 。 1 3 1 9 8 4 …3 。 5 8 5 。 5 8
1 9 4 8 4 。 6 9 2 。 5 9 1 9 8 5 2 4 。 4 4 2 3 。 2 5
1 9 4 9 1 7 。 6 9 5 。 3 5 1 9 8 6 1 2 。 3 1 1 8 。 2 8
1 9 5 0 3 0 。 5 1 …1 。 1 4 1 9 8 7 …0 。 2 4 …8 。 1 6
1 9 5 1 2 2 。 5 3 …5 。 4 3 1 9 8 8 1 0 。 4 6 3 。 3 2
1 9 5 2 1 6 。 7 1 …0 。 5 0 1 9 8 9 2 3 。 1 2 9 。 7 4
1 9 5 3 …2 。 8 1 1 。 8 1 1 9 9 0 …1 0 。 9 8 …1 。 6 3
1 9 5 4 5 1 。 7 6 6 。 3 3 1 9 9 1 2 4 。 9 5 1 3 。 7 0
1 9 5 5 2 9 。 9 9 …2 。 8 7 1 9 9 2 4 。 1 6 4 。 5 4
1 9 5 6 4 。 1 0 …8 。 0 5 1 9 9 3 7 。 0 9 1 5 。 3 4
1 9 5 7 …1 3 。 9 2 4 。 3 1
1 9 5 8 4 1 。 8 2 …7 。 6 4 样本均值8 。 5 7 1 。 6 2
1 9 5 9 9 。 0 1 …5 。 2 1 标准差2 0 。 9 0 8 。 5 0
1 9 6 0 …3 。 1 3 11 。 1 2 最小值…4 4 。 4 1 …1 5 。 1 9
1 9 6 1 2 4 。 7 6 …1 。 1 6 最大值5 3 。 6 9 2 9 。 8 1
1 9 6 2 …11 。 4 6 4 。 1 6
资料来源：芝加哥大学证券价格研究中心。
理解这些数据的一种方法是把它们画在图上，一般是作成柱状图或频率分布图。
表A … 3中6 8个观测值被作成了如图A … 4所示的频率分布图。这节我们要根据以下步骤及
原则来得到频率分布图：
。 随机变量取值的值域一般被平均分成几个相对较小的子值域。间隔的多少取决
于可得观测值的数量。表A … 3提供了6 8个数据，因此1 0分法（即1 0个间隔值域）看来
已经足够。
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附录A 定量计算的复习
757
。 在第一个间隔值域中作出一个长方形，长方形的高度表示在该值域内观察值出
现次数的多少。
。 如果观测大多都集中在整个值域中的一小部分，那么该值域就可以被分成不相
等的间隔。在这种情况下，各间隔观测值的频率大小就由间隔中所作长方形的面积来
表示（但这并不是我们这里所要讨论的例子）。
。 如果样本是具有代表性的，那么该频率分布图的形状就可以揭示随机变量真实
的概率分布了。我们所有的6 8个观测值并不是一个大样本，但是频率分布图的大致形
状确实说明了收益率大致服从一个正态或对数正态的分布。
另外一个通过作图把样本信息体现出来的方法是盒式描点法。图A … 5就是盒式描
点的例子，它使用的同样是表A … 3的数据。盒式描点是一种能体现样本分布离散性质
的好方法。一个通常使用的散布性质指标是“内四分值域”。我们可以回忆一下值域
这种最原始的散布指标，它是观测值中最大值与最小值之间的差。由于它很可能会由
两个最极端的观测值所决定，因此这个指标并不可靠。
内四分值域是关于值域概念的一个较令人满意的简单变体，它由样本排序后最低
1 / 4与最高1 / 4两者之间的差来确定。对于最低1 / 4的观测值来说，样本中有2 5％的观测
值小于它；同样，在最高1 / 4的观测值上面，存在2 5％的大于它的观测值。于是内四分
值域就是样本中间5 0％观察值所组成样本的值域。样本散布度越高，这两个值之间的
差距就越大。
a）
b）
图A…4
a） 股权风险溢价的历史数据柱状图b） 债券到期溢价的历史数据柱状图
资料来源：The Wall Street Journal； October 15； 1997。
在盒式描点图中，水平的虚线表示中位数，中间的方盒表示内四分值域，垂直线则
表示从方盒延伸出去的幅度。垂直线所表示的延伸值域一般只限制于内四分值域的1 。 5倍。
这样许多极端的观测值（图中以分离的点表示）就只能被视为远离中心的非常规点。
作为一次概念检验，验证一下表A … 3的原始数据与图A … 5的方盒描点作图，并与下
列数字作比较。
第八部分附录
758
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收益率（％）
股票债券
图A…5 年股权风险溢价与长期债券（到期）风险溢价的盒式描点图
股权风险溢价债券到期溢价
最低的极端点…4 4 。 4 1 …1 5 。 1 9
…3 5 。 3 4 …1 3 。 4 0
…3 4 。 4 7 …1 2 。 8 6
…2 7 。 3 1 …11 。 6 6
…2 1 。 5 9 …11 。 6 0
…1 9 。 6 2 …8 。 3 4
…1 5 。 0 8 …8 。 1 6
…1 4 。 8 2 …8 。 1 2
…1 3 。 9 2 …8 。 0 5
…1 3 。 1 7 …8 。 0 4
…1 2 。 3 0 …7 。 6 4
…6 。 3 8
…5 。 7 9
…5 。 4 7
…5 。 4 3
…5 。 2 1
最低1 / 4的分界点…4 。 7 9 …3 。 3 3
中位数8 。 7 7 1 。 7 7
最高1 / 4的分界点2 2 。 6 8 5 。 6 4
最高的极端点2 9 。 9 9 8 。 8 4
3 0 。 5 1 9 。 7 4
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附录A 定量计算的复习
759
（续）
股权风险溢价债券到期溢价
3 1 。 1 4 9 。 8 6
3 1 。 4 0 1 0 。 4 0
3 3 。 7 4 11 。 1 2
3 4 。 3 7 11 。 6 7
3 6 。 11 1 3 。 7 0
4 0 。 3 7 1 5 。 3 4
4 1 。 8 2 1 5 。 8 8
4 7 。 5 0 1 8 。 2 8
5 1 。 7 6 2 3 。 2 5
5 3 。 6 9 2 9 。 8 1
内四分值域2 7 。 4 7 8 。 9 7
内四分值域的1 。 5倍4 1 。 2 0 1 3 。 4 5
从：…11 。 8 4 …4 。 9 5
到：2 9 。 3 7 8 。 4 9
最后就是第三种作图方法：时间序列描点法，它能够揭示经济变量随时间变化的运
动规律。图A … 6是根据表A … 3作的股票及债券超额收益时间序列点图。尽管我们的眼睛已
经习惯于看到由时间序列生成的随机形状，但考察一般长时期内时间序列的变化趋势却
能给我们提供一个有用的信息。有时通过一些正规的统计分析，这样的检验就会奏效。
a）
b）
图A…6
a） 股权风险溢价（ 1 9 2 6 ~ 1 9 9 3年）b） 债券到期溢价（ 1 9 2 6 ~ 1 9 9 3年）
760 第八部分附录
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A。2。2 样本统计量
假设从1 9 2 6年至1 9 9 3年这6 8年中，股票收益的概率分布一直没有变化。现在我们
希望能从表A … 3这6 8个股票年超额收益的观测值中得到关于概率分布的某些信息。
表中的样本值是否为特定概率分布下的独立观测值，这是一个很关键的中心问题。
如果它们确实是，那么所得的统计分析结果就比较正确。我们的分析都建立在这个假
设之上。在许多情况下，金融市场上的实证研究能证实这个前提假设。
从样本均值来估计期望收益：期望收益的定义告诉我们，样本均值应该可以作为
样本期望值的一个较好的估计。事实上，在期望值的众多定义中，有一个定义就是当
观测值个数趋于无穷时的样本均值。
假定表A … 3中的收益样本为Rt，t= 1，。，T= 6 8，那么年超额收益期望值的估计即为
R =
1 。Rt = 8。57％
T
R上的横杠表示它是期望值的估计。从直觉上来看，样