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投资学(第4版)-第182章

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R = 
1 。Rt = 8。57% 

T 
R上的横杠表示它是期望值的估计。从直觉上来看,样本容量越大,样本均值作
为期望估计值的可靠性也就越大;而随机变量的的标准差越大,均值作为期望估计期
的可靠性也越小。下面我们将更详细地讨论这个性质。
估计高阶矩:以样本均值来估计期望的原理同样也适用于对更高阶矩所进行的估
计。回忆一下,高阶矩的定义就是随机变量对期望偏差若干次方的期望。比如说,方
差(二阶矩)是偏差二次方的期望。于是,样本观测值对样本平均的偏差进行平方后,
平方的平均值S2即为方差的估计。

21 。 1 。 2 

s = ( Rt … R )2 = ( Rt … 0。087 5)= 0。04368(s = 20。90%)

T …1 67 
其中R 即为样本均值。偏差平方取平均值时分母采用了T…1=6 7,这纯粹是一个
技术上的原因。如果我们除以T,那么方差的估计就会偏小,偏小因子为(T…1 ) /T。同
时,对高阶矩来说,样本容量越大,真实标准差越小,估计值的可靠性也就越大。

A。3 多随机变量的统计分析
资产组合的构建需要将许多随机变量进行加总。资产组合的收益率就是各个体资
产收益率的加权平均。因此对于资产组合分析来说,理解和量化各随机变量之间的独
立性是相当重要的步骤。

在本节中,我们首先回到情景分析法,然后再考虑如何从样本中获取信息。

A。3。1 随机变量间关系的一个基本指标:协方差
在表A … 4中,我们把安休瑟…布希公司股票及其期权的收益率情况分析结果作了一
下总结。对于随机变量加一常数或乘以一个常数的情形,我们早已熟悉了。但当我们
把两个随机变量加在一起,结果会怎样呢?假如我们现在把股票收益加在看涨期权收
益之上,我们于是得到了一个新的随机变量,并把它记为r(s+c)=r(s)+r(c), 
其中r(s)为股票收益,r(c)为看涨期权收益。

表A…4 安休瑟…布希公司股票及期权收益的概率分布

项目情景1 情景2 情景3 
概率0 。 2 0 0 。 5 0 0 。 3 0 
收益率(%) 
股票2 0 3 0 5 0 
看涨期权…1 0 0 …1 0 0 4 0 0 
看跌期权5 0 …2 5 …1 0 0 
E(r) 2 


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附录A 定量计算的复习

761 

(续) 

项目情景1 情景2 情景3 
股票0 。 3 4 0 0 。 111 4 0。012 4 
看涨期权0 。 5 0 0 2。291 3 5。250 0 
看跌期权…0 。 3 2 5 0。525 0 0。275 6 

由定义可知,该合成随机变量的期望值为:
E'r(s+c) '=。P r (i)ri(s+c) ( A … 1 0 ) 
把r(s+c)的定义代入等式A … 1 0,我们有:
E'r(s+c) '=。Pr(i) 'ri(s)+ri(c) '=。P r (i)ri(s)+。P r (i)ri(c) 
=E'r(s) '+E'r(c) ' ( A … 11 ) 
也就是说,两个随机变量和的期望值等于两个随机变量期望值的和。对于方差,
这句话还适用吗?回答是“不”,这也是资产组合理论中最重要的事实。其原因就归
根于随机变量之间具体的联合性质的基本指标。尽管下面的表述看上去很深奥,但它
们最多不过是平方和而已,也就是(a+b)2=a2+b2+2a b和(a…b)2=a2+b2…2a b这两个最
基本的公式。其中的a、b可能表示随机变量,也可以是它们的期望,或者它们对其期
望的偏差。由方差的定义,我们有:


s+c2= E'rs+c … E(rs+c )'2 (A … 1 2) 
为了使式(A … 1 2)到式(A … 2 0)变得易于理解,我们以s、c脚标来表示随机变量,
然后以i来表示各种情景。在式(A … 1 2)中替换r(S+C)及其期望的定义式,有:


s+c2= E'rs + rc … E(rs ) … E(rc )'2 
(A … 1 3) 
在式(A … 1 3)中交换各变量的顺序,有:

2 


= E'r… E(r) + r… E(r)'2 
s+c ssc c 

在平方的括弧里面,其实就是两个随机变量对其期望偏差的和,我们以d记之,即:


s+c2= E'( ds + dc )2' (A … 1 4) 
式(A … 1 4)是一个完全平方和的期望。把平方展开,我们有:


s+c2= E(ds2+ dc2+ 2dsdc ) (A … 1 5) 
式(A … 1 5 )括号由三个随机变量的和组成。由于和的期望就是期望的和,我们可
以把式( A … 1 5 )写成:
s+c2= E( ds2) + E (dc2) + 2 E(dsdc ) (A … 1 6) 

在式( A … 1 6)中,右边的前两项就是股票收益的方差(即偏差平方的期望)加上
期权收益的方差。第三项就是协方差的两倍,该定义就在式( A … 1 7 )(注意期望要乘以2, 
是因为随机变量两倍的期望等于随机变量期望的两倍)。

换句话来说,随机变量和的方差是方差的和再加上协方差的两倍。我们这里记协
方差为:
C o v (rs,rc)=E(dsdc)=E{ 'rs …E(rs) ' 'rc …E(rc)'} (A … 1 7) 
协方差的值与表达式括号中两个随机变量的顺序无关。由于乘法计算与字母的顺
序无关。由式( A … 1 7 )协方差的定义可知字母顺序的改变不会影响协方差的值。
我们利用表A … 4中的数据作为原始输入数据来计算协方差。计算过程及结果如表
A … 5所示。


762 第八部分附录

表A…5 安休瑟…布希公司股票及期权收益相对于各自期望的偏差、
偏差平方及偏差加权积


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项目情景1 情景2 情景3 概率加权和
概率0 。 2 0 0 。 5 0 。 3 0 
股票的偏差…0 。 1 4 …0 。 0 4 0 。 1 6 0 。 0 1 2 4 
偏差平方0。019 6 0。001 6 0。025 6 
看涨期权的偏差…1 。 5 0 …1 。 5 0 3 。 5 0 5 。 2 5 
偏差平方2 。 2 5 2 。 2 5 1 2 。 2 5 
看跌期权的偏差0 。 8 2 5 0 。 7 5 …0 。 6 7 5 0。275 628 
偏差平方0。680 625 0。005 625 0。455 635 0 。 2 4 
偏差乘积(dsdc) 0 。 2 1 0 。 0 6 0 。 5 6 …0 。 0 5 7 
偏差乘积(dsdp) …0 。 115 5 …0 。 0 0 3 …0 。 1 0 8 …1。012 5 
偏差乘积(dcdp) …1。237 5 …0 。 112 5 …2。362 5 

首先,我们分析股票与看涨期权之间的协方差。在情景1或情景2中,两种资产都
表现出了对各自期望值的负偏差,这是正的同步性的一种反映。当两个负的偏差相乘
时,最终构成协方差的偏差积就会是正的。当随机变量变化方向一致,那么协方差就
趋于正,当随机变量的变化方向相反,那么协方差就趋于负。在情景3中,两种资产
都是正偏差,这更有力地表明了两者的同步性。偏差之积的大小程度,再乘以各个情
景的发生概率,然后加总,所得的结果就是协方差。它不仅能说明同步性的方向(通
过其符号),而且也能说明同步性的程度。

协方差是一个类似于方差的统计量。方差测度的是一个随机变量偏离其期望值的
程度,而协方差测度的是两个随机变量对其各自期望值偏离的同步性程度。对于资产
组合分析来说,有一个性质是很重要的,那就是一个随机变量与其自身的协方差等于
它的方差。如果你在式( A … 1 7 )中适当地替换某些偏差,你就会看到这一点。此时,协
方差的结果就是该随机变量偏差平方的期望。

在表A … 5最后一列的前三个值就是我们已经熟悉的三种资产的方差,它们分别是
股票、看涨期权与看跌期权。该列最后三个数值是协方差,其中的两个呈负值。比如
说,我们考察股票与看跌期权的协方差。在情景1中,股票实现了负的偏差值,而看
跌期权则实现了正的偏差值。当我们把它们相乘时,符号为负。在情景3下,同样的
情况也会发生,只是现在股票实现的是正偏差,而看跌期权为负偏差。同样,乘积仍
为负,因此更加强了两者之间负的同步性。

对其他的情景或者其他的资产来说,偏差乘积可以在某些情景下为负,在另一些
情景下为正。这些乘积的值,再乘以它们各自实现的概率,决定了两个随机变量同步
性的性质。但是,如果我们发现不管各种情景的乘积符号怎样变化,各自的结果会大
致正负相抵,并最终得到一个很小的接近于零的协方差,那么我们就会推断各资产的
收益间存在着小的同步性,甚至根本就不存在同步性。

由于协方差就是两随机变量对期望偏差乘积的期望,要分析变量替换对协方差的
影响,我们可以从变量替换对其偏差影响的分析来入手。

假设在其中一个随机变量上加了一个常数,我们早就知道此时其期望也会增加同
样的常数,所以其对期望的偏差应该保持不变。就像对一个随机变量加上一个常数不
会影响其方差一样,这样做也不会影响它与其他变量的协方差。

把随机变量乘以一个常数后,它的期望也扩大了常数倍,于是其对期望的偏差也
扩大了常数倍。因此,这样做会使它与其他随机变量的协方差扩大该常数倍。利用协
方差的定义式,读者可以验证下式是否成立(该式是对上文讨论的总结)。

Co v (a1+b1rs,a2+b2rc)=b1b2Co v (rs,rc) (A…18) 


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附录A 定量计算的复习

763 

有了协方差,我们就可以计算随机变量和的方差,进而计算资产组合收益率的方
差了。

A。3。2 一个纯粹的关于相关性的指标:相关系数
假如我们告诉你,现在股票收益率与看涨期权收益率之间的协方差为0 。 2 4(见表A … 5)。
你能得出什么结果?因为符号为正,你可能会得出两种收益大致为同向变动的结论。但
是,对于股票与看涨期权同步性的具体程度来说,0 。 2 4这个数字实在毫无用处。

要得到一个关于描述同步性程度的相关性指标,我们可以把协方差再除以这两个
变量的标准差。每个标准差即为其方差的平方根。于是两个标准差的乘积就与方差具
有同样的测度单位,而且也与协方差的单位相同。所以,我们据此定义有相关系数


: 
Cov(rs ;rc ) 
sc = (A … 1 9) 

s 

c 

其中


的下脚标标明了两个随机变量。由于在协方差的表达式中变量顺序的变换
与其数值结果无关,式( A … 1 9 )表明相关系数的数值也与字母顺序无关。
我们利用表A … 5,得到了三个随机变量的协方差矩阵。

名称股票看涨期权看跌期权
股票1 。 0 0 0 。 9 4 …0 。 9 7 
看涨期权0 。 9 4 1 。 0 0 …0 。 8 4 
看跌期权…0 。 9 7 …0 。 8 4 1 。 0 0 

最高的(绝对值)相关系数是股票与看跌期权之间的相关系数


S P =…0 。 9 7,尽管它
们之间协方差的绝对值为最小。原因很明显,它们两者的标准差乘积也很小。接下来
就是几条关于相关系数的重要性质:
。 如式( A … 1 9 )所示,相关系数完全由随机变量对其期望的偏差所决定。因此我们
推得相关系数并不会因为其中的随机变量加减某个常数而改变。但是,当随机变量乘
以一个常数后,相关系数仍保持不变。你可以通过把协方差与标准差各乘以一个常数
后的效果来验证这一性质。
。 就像协方差一样,相关系数只是关于两个变量相关性的指标,它并不能反映两
者之间的因果性。因果性必须要得到理论及特定实证结果的支持。
。 相关系数的取值范围为'…1 。 0 ; 1 。 0 ',…1 。 0表示完全的负相关,1 。 0表示完全的正相
关。这可以从计算一个随机变量与其自身相关系数得到。其结果应为1 。 0,因为随机变
量与其自身的协方差即为其方差,你可以用式( A … 1 9 )来验证1 。 0的结果。你甚至还可以
验证一个随机变量与其负的自身之间的相关系数为…1 。 0。从式( A … 1 7 )你可以看到随机
变量与其负的自身之间的协方差等于负的方差。然后代入式( A … 1 9 ),即可得到这一结
果。
因为x与y之间的相关性和y与x之间的相关性没有区别,所以相关系数矩阵是对称
阵。对角线上的元素全为1 。 0,因为它们是各随机变量与其自身的相关系数。因此,习
惯上我们仅须写出相关系数矩阵的下三角部分。

再考察一下式( A … 1 9 )。你可以重新整理一下,得到式( A … 2 0 )。该式把协方差表示
成相关系数与标准乘积的形式:

C o v (rsrc) = 


( A … 2 0 )

s c 


sc 

这个公式很有用,因为许多人习惯用相关系数来考虑问题,而不是用协方差。

从收益样本中估计相关系数假设一个样本由互相独立的观测值构成,于是我们
对所有的观测值赋以相同的权重,并用它们的简单平均来估计其期望。当估计方差与
协方差时,我们把平方和除以总观测数减1,所得的平均值即为估计值。

假定我们现在希望
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