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R =
1 。Rt = 8。57％
T
R上的横杠表示它是期望值的估计。从直觉上来看，样本容量越大，样本均值作
为期望估计值的可靠性也就越大；而随机变量的的标准差越大，均值作为期望估计期
的可靠性也越小。下面我们将更详细地讨论这个性质。
估计高阶矩：以样本均值来估计期望的原理同样也适用于对更高阶矩所进行的估
计。回忆一下，高阶矩的定义就是随机变量对期望偏差若干次方的期望。比如说，方
差（二阶矩）是偏差二次方的期望。于是，样本观测值对样本平均的偏差进行平方后，
平方的平均值S2即为方差的估计。
21 。 1 。 2
s = （ Rt … R ）2 = （ Rt … 0。087 5）= 0。04368（s = 20。90％）
T …1 67
其中R 即为样本均值。偏差平方取平均值时分母采用了T…1＝6 7，这纯粹是一个
技术上的原因。如果我们除以T，那么方差的估计就会偏小，偏小因子为（T…1 ） /T。同
时，对高阶矩来说，样本容量越大，真实标准差越小，估计值的可靠性也就越大。
A。3 多随机变量的统计分析
资产组合的构建需要将许多随机变量进行加总。资产组合的收益率就是各个体资
产收益率的加权平均。因此对于资产组合分析来说，理解和量化各随机变量之间的独
立性是相当重要的步骤。
在本节中，我们首先回到情景分析法，然后再考虑如何从样本中获取信息。
A。3。1 随机变量间关系的一个基本指标：协方差
在表A … 4中，我们把安休瑟…布希公司股票及其期权的收益率情况分析结果作了一
下总结。对于随机变量加一常数或乘以一个常数的情形，我们早已熟悉了。但当我们
把两个随机变量加在一起，结果会怎样呢？假如我们现在把股票收益加在看涨期权收
益之上，我们于是得到了一个新的随机变量，并把它记为r（s＋c）＝r（s）＋r（c），
其中r（s）为股票收益，r（c）为看涨期权收益。
表A…4 安休瑟…布希公司股票及期权收益的概率分布
项目情景1 情景2 情景3
概率0 。 2 0 0 。 5 0 0 。 3 0
收益率（％）
股票2 0 3 0 5 0
看涨期权…1 0 0 …1 0 0 4 0 0
看跌期权5 0 …2 5 …1 0 0
E（r） 2
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附录A 定量计算的复习
761
（续）
项目情景1 情景2 情景3
股票0 。 3 4 0 0 。 111 4 0。012 4
看涨期权0 。 5 0 0 2。291 3 5。250 0
看跌期权…0 。 3 2 5 0。525 0 0。275 6
由定义可知，该合成随机变量的期望值为：
E＇r（s＋c） ＇＝。P r （i）ri（s＋c） （ A … 1 0 ）
把r（s＋c）的定义代入等式A … 1 0，我们有：
E＇r（s＋c） ＇＝。Pr（i） ＇ri（s）＋ri（c） ＇＝。P r （i）ri（s）＋。P r （i）ri（c）
＝E＇r（s） ＇＋E＇r（c） ＇ （ A … 11 ）
也就是说，两个随机变量和的期望值等于两个随机变量期望值的和。对于方差，
这句话还适用吗？回答是“不”，这也是资产组合理论中最重要的事实。其原因就归
根于随机变量之间具体的联合性质的基本指标。尽管下面的表述看上去很深奥，但它
们最多不过是平方和而已，也就是（a＋b）2＝a2＋b2＋2a b和（a…b）2＝a2＋b2…2a b这两个最
基本的公式。其中的a、b可能表示随机变量，也可以是它们的期望，或者它们对其期
望的偏差。由方差的定义，我们有：
s＋c2= E＇rs＋c … E（rs＋c ）＇2 （A … 1 2）
为了使式（A … 1 2）到式（A … 2 0）变得易于理解，我们以s、c脚标来表示随机变量，
然后以i来表示各种情景。在式（A … 1 2）中替换r（S＋C）及其期望的定义式，有：
s＋c2= E＇rs ＋ rc … E（rs ） … E（rc ）＇2
（A … 1 3）
在式（A … 1 3）中交换各变量的顺序，有：
2
= E＇r… E（r） ＋ r… E（r）＇2
s＋c ssc c
在平方的括弧里面，其实就是两个随机变量对其期望偏差的和，我们以d记之，即：
s＋c2= E＇（ ds ＋ dc ）2＇ （A … 1 4）
式（A … 1 4）是一个完全平方和的期望。把平方展开，我们有：
s＋c2= E（ds2＋ dc2＋ 2dsdc ） （A … 1 5）
式（A … 1 5 ）括号由三个随机变量的和组成。由于和的期望就是期望的和，我们可
以把式（ A … 1 5 ）写成：
s＋c2= E（ ds2） ＋ E （dc2） ＋ 2 E（dsdc ） （A … 1 6）
在式（ A … 1 6）中，右边的前两项就是股票收益的方差（即偏差平方的期望）加上
期权收益的方差。第三项就是协方差的两倍，该定义就在式（ A … 1 7 ）（注意期望要乘以2，
是因为随机变量两倍的期望等于随机变量期望的两倍）。
换句话来说，随机变量和的方差是方差的和再加上协方差的两倍。我们这里记协
方差为：
C o v （rs，rc）＝E（dsdc）＝E｛ ＇rs …E（rs） ＇ ＇rc …E（rc）＇｝ （A … 1 7）
协方差的值与表达式括号中两个随机变量的顺序无关。由于乘法计算与字母的顺
序无关。由式（ A … 1 7 ）协方差的定义可知字母顺序的改变不会影响协方差的值。
我们利用表A … 4中的数据作为原始输入数据来计算协方差。计算过程及结果如表
A … 5所示。
762 第八部分附录
表A…5 安休瑟…布希公司股票及期权收益相对于各自期望的偏差、
偏差平方及偏差加权积
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项目情景1 情景2 情景3 概率加权和
概率0 。 2 0 0 。 5 0 。 3 0
股票的偏差…0 。 1 4 …0 。 0 4 0 。 1 6 0 。 0 1 2 4
偏差平方0。019 6 0。001 6 0。025 6
看涨期权的偏差…1 。 5 0 …1 。 5 0 3 。 5 0 5 。 2 5
偏差平方2 。 2 5 2 。 2 5 1 2 。 2 5
看跌期权的偏差0 。 8 2 5 0 。 7 5 …0 。 6 7 5 0。275 628
偏差平方0。680 625 0。005 625 0。455 635 0 。 2 4
偏差乘积（dsdc） 0 。 2 1 0 。 0 6 0 。 5 6 …0 。 0 5 7
偏差乘积（dsdp） …0 。 115 5 …0 。 0 0 3 …0 。 1 0 8 …1。012 5
偏差乘积（dcdp） …1。237 5 …0 。 112 5 …2。362 5
首先，我们分析股票与看涨期权之间的协方差。在情景1或情景2中，两种资产都
表现出了对各自期望值的负偏差，这是正的同步性的一种反映。当两个负的偏差相乘
时，最终构成协方差的偏差积就会是正的。当随机变量变化方向一致，那么协方差就
趋于正，当随机变量的变化方向相反，那么协方差就趋于负。在情景3中，两种资产
都是正偏差，这更有力地表明了两者的同步性。偏差之积的大小程度，再乘以各个情
景的发生概率，然后加总，所得的结果就是协方差。它不仅能说明同步性的方向（通
过其符号），而且也能说明同步性的程度。
协方差是一个类似于方差的统计量。方差测度的是一个随机变量偏离其期望值的
程度，而协方差测度的是两个随机变量对其各自期望值偏离的同步性程度。对于资产
组合分析来说，有一个性质是很重要的，那就是一个随机变量与其自身的协方差等于
它的方差。如果你在式（ A … 1 7 ）中适当地替换某些偏差，你就会看到这一点。此时，协
方差的结果就是该随机变量偏差平方的期望。
在表A … 5最后一列的前三个值就是我们已经熟悉的三种资产的方差，它们分别是
股票、看涨期权与看跌期权。该列最后三个数值是协方差，其中的两个呈负值。比如
说，我们考察股票与看跌期权的协方差。在情景1中，股票实现了负的偏差值，而看
跌期权则实现了正的偏差值。当我们把它们相乘时，符号为负。在情景3下，同样的
情况也会发生，只是现在股票实现的是正偏差，而看跌期权为负偏差。同样，乘积仍
为负，因此更加强了两者之间负的同步性。
对其他的情景或者其他的资产来说，偏差乘积可以在某些情景下为负，在另一些
情景下为正。这些乘积的值，再乘以它们各自实现的概率，决定了两个随机变量同步
性的性质。但是，如果我们发现不管各种情景的乘积符号怎样变化，各自的结果会大
致正负相抵，并最终得到一个很小的接近于零的协方差，那么我们就会推断各资产的
收益间存在着小的同步性，甚至根本就不存在同步性。
由于协方差就是两随机变量对期望偏差乘积的期望，要分析变量替换对协方差的
影响，我们可以从变量替换对其偏差影响的分析来入手。
假设在其中一个随机变量上加了一个常数，我们早就知道此时其期望也会增加同
样的常数，所以其对期望的偏差应该保持不变。就像对一个随机变量加上一个常数不
会影响其方差一样，这样做也不会影响它与其他变量的协方差。
把随机变量乘以一个常数后，它的期望也扩大了常数倍，于是其对期望的偏差也
扩大了常数倍。因此，这样做会使它与其他随机变量的协方差扩大该常数倍。利用协
方差的定义式，读者可以验证下式是否成立（该式是对上文讨论的总结）。
Co v （a1＋b1rs，a2＋b2rc）＝b1b2Co v （rs，rc） （A…18）
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附录A 定量计算的复习
763
有了协方差，我们就可以计算随机变量和的方差，进而计算资产组合收益率的方
差了。
A。3。2 一个纯粹的关于相关性的指标：相关系数
假如我们告诉你，现在股票收益率与看涨期权收益率之间的协方差为0 。 2 4（见表A … 5）。
你能得出什么结果？因为符号为正，你可能会得出两种收益大致为同向变动的结论。但
是，对于股票与看涨期权同步性的具体程度来说，0 。 2 4这个数字实在毫无用处。
要得到一个关于描述同步性程度的相关性指标，我们可以把协方差再除以这两个
变量的标准差。每个标准差即为其方差的平方根。于是两个标准差的乘积就与方差具
有同样的测度单位，而且也与协方差的单位相同。所以，我们据此定义有相关系数
：
Cov（rs ；rc ）
sc = （A … 1 9）
s
c
其中
的下脚标标明了两个随机变量。由于在协方差的表达式中变量顺序的变换
与其数值结果无关，式（ A … 1 9 ）表明相关系数的数值也与字母顺序无关。
我们利用表A … 5，得到了三个随机变量的协方差矩阵。
名称股票看涨期权看跌期权
股票1 。 0 0 0 。 9 4 …0 。 9 7
看涨期权0 。 9 4 1 。 0 0 …0 。 8 4
看跌期权…0 。 9 7 …0 。 8 4 1 。 0 0
最高的（绝对值）相关系数是股票与看跌期权之间的相关系数
S P =…0 。 9 7，尽管它
们之间协方差的绝对值为最小。原因很明显，它们两者的标准差乘积也很小。接下来
就是几条关于相关系数的重要性质：
。 如式（ A … 1 9 ）所示，相关系数完全由随机变量对其期望的偏差所决定。因此我们
推得相关系数并不会因为其中的随机变量加减某个常数而改变。但是，当随机变量乘
以一个常数后，相关系数仍保持不变。你可以通过把协方差与标准差各乘以一个常数
后的效果来验证这一性质。
。 就像协方差一样，相关系数只是关于两个变量相关性的指标，它并不能反映两
者之间的因果性。因果性必须要得到理论及特定实证结果的支持。
。 相关系数的取值范围为＇…1 。 0 ； 1 。 0 ＇，…1 。 0表示完全的负相关，1 。 0表示完全的正相
关。这可以从计算一个随机变量与其自身相关系数得到。其结果应为1 。 0，因为随机变
量与其自身的协方差即为其方差，你可以用式（ A … 1 9 ）来验证1 。 0的结果。你甚至还可以
验证一个随机变量与其负的自身之间的相关系数为…1 。 0。从式（ A … 1 7 ）你可以看到随机
变量与其负的自身之间的协方差等于负的方差。然后代入式（ A … 1 9 ），即可得到这一结
果。
因为x与y之间的相关性和y与x之间的相关性没有区别，所以相关系数矩阵是对称
阵。对角线上的元素全为1 。 0，因为它们是各随机变量与其自身的相关系数。因此，习
惯上我们仅须写出相关系数矩阵的下三角部分。
再考察一下式（ A … 1 9 ）。你可以重新整理一下，得到式（ A … 2 0 ）。该式把协方差表示
成相关系数与标准乘积的形式：
C o v （rsrc） =
（ A … 2 0 ）
s c
sc
这个公式很有用，因为许多人习惯用相关系数来考虑问题，而不是用协方差。
从收益样本中估计相关系数假设一个样本由互相独立的观测值构成，于是我们
对所有的观测值赋以相同的权重，并用它们的简单平均来估计其期望。当估计方差与
协方差时，我们把平方和除以总观测数减1，所得的平均值即为估计值。
假定我们现在希望