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票债券。实际上，这种对久期限的洞察力对我们进行数学上精确的计算是十分有用的。
一开始我们注意在上述例子中，两种债券的到期时间并不能很好地测度出债券的
长期或短期的性质。息票率为8％的2 0年期债券有多次利息支付，其中绝大多数是在债
券到期日前进行的。每次支付都可以认为有它自己的“到期日”。因此，债券久期限
第四部分固定收益证券
390
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应是由于债券支付的所有现金流的到期期限的一个平均。相比较，零息票债券仅在到
期时有一次支付。所以，它的到期时间是个很容易定义的概念。
16。1。2 久期
为了解决债券多次支付的“期限”含糊不清的问题，我们需要一种测度债券发生
现金流的平均期限的方法，从而能够对债券的久期限进行正确地概括统计。我们也可
以用久期来测度债券对利率变化的敏感性，因为我们已经注意到价格敏感性会随着到
期时间的增长而增加。
弗雷德里克·麦考利（Frederick Macaulay）＇1＇ 定义久期限为久期（d u r a t i o n），并
指出根据债券的每次息票利息或本金支付时间的加权平均来计算久期。他认为与每次
支付时间相关的权重应当同那次支付对债券价值的“重要性”相联系。他还进一步指
出，与每次支付时间相关的权重应该是这次支付在债券总价值中所占的比例。这个比
例正好等于支付的现值除债券价格。
因此，权重wt同时间t时的现金流C Ft有如下关系：
wt ＝＇ C Ft/ （ 1＋y）t＇ /债券价格
这里，y为债券的到期收益率。等式右边的分子是时间t时发生的现金流的现值，分母
是债券所有支付的总和。权重之和为1，因为按到期收益率折现的现金流之和等于债
券价格。
D =。（T） t ′ wt （ 1 6 … 1 ）
t=1
用这些值来计算各次支付的时间的加权平均值，我们就得到了麦考利的久期公
式：
作为公式1 6 … 1的应用举例，我们可以从表1 6 … 3中得出息票率为8％和零息票债券
（每种债券的期限都是2年）的久期，我们假定债券的到期收益率是每年1 0％或每半年
5％。
表16…3 两种债券的久期计算
（ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） （ 5 ）
名称 至支付的支付/美元半年5％折现权重① （ 1 ）×（ 4 ）
时间/年支付/美元
债券A
8％债券0 。 5 4 0 3 8 。 0 9 5 0。039 5 0。019 8
1 。 0 4 0 3 6 。 2 8 1 0。037 6 0。037 6
1 。 5 4 0 3 4 。 5 5 3 0。035 8 0。053 7
2 。 0 1 040 8 5 5 。 6 11 0。887 1 1。774 2
总计9 6 4 。 5 4 0 1。000 0 1。885 3
债券B
零息票债券0 。 5 ~ 1 。 5 000 0
2 。 0 1 000 8 2 2 。 7 0 1 。 0
2
总计8 2 2 。 7 0 1 。 0 2
① 权重＝债券价格÷每一次支付的现值（第3列），债券A的现值为9 6 4 。 5 4美元，债券B的现值
为8 2 2 。 7 0美元。
＇1＇ Frederick Macaulay； Some Theoretical Problems Suggested by the Movements of Interest Rates； Bond
Yields； and Stock Prices in the United States since 1856 （new York： National Bureau of Economic
Research； 1938）。
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第16章固定收入资产组合的管理
391
第5列中的数字是支付时间同支付权重的乘积。每个乘积都是公式1 6 … 1中相应的
一项。根据公式，我们可以通过把第5列中的数字加起来而计算出每种债券的久期。
零息票债券的久期正好等于它的到期时间。这很好理解，由于只有一次支付，到
支付的平均时间一定就是债券的期限。相比较，2年期息票债券的久期就稍微短一些，
为1。885 3年。
久期之所以是固定收入资产组合管理中的一个关键概念至少有三个原因。首先，
它是对资产组合实际平均期限的一个简单的概括统计；其次，它被看作是使资产组合
免疫于利率风险的一个重要工具，我们将在第1 6 。 2节中，研究这种应用；第三，久期
是资产组合的利率敏感性的测度，我们将在这里研究这个问题。
我们已经注意到长期债券比短期债券对利率波动更为敏感，久期作为尺度使我们
能够量化这个关系。具体地说，当利率变化时，债券价格变化的比率与到期收益率的
变化相关，根据以下法则
DP/P＝…D×＇D（ 1＋y） / （ 1＋y ）＇ （ 1 6 … 2 ）
价格变化率等于（1＋债券收益率y）的变化率乘以久期。因此，债券价格的易变性与
债券的久期成比例，久期也成为利率风险暴露程度的自然测度。
操作者运用式（ 1 6 … 2 ）时，在形式上通常略微有些变化。它们将D*＝D/ （ 1＋y）定义
为“修正久期”。又令D（ 1＋y）＝Dy，然后将式（ 1 6 … 2 ）重写为
DP/P＝…D*Dy （ 1 6 … 2 ' ）
债券价格变化的百分比恰好等于修正久期与债券到期收益率的变化之积。因为债
券价格变化的百分比同修正久期成比例，因此，修正久期可以用来测度债券在利率变
化时的风险暴露程度。＇ 1 ＇
为了确定久期和债券价格对利率变化的敏感性之间的关系，让我们将表1 6 … 3中久
期为1 。 8 8 5 3年的2年期息票债券的价格敏感性和久期与期限同为1 。 8 8 5 3年的零息票债券
的价格敏感性相比较。如果久期真是测度利率风险暴露程度的有用尺度的话，两者应
当具有相同的价格敏感性。
初始半年利率为5％的息票债券售价为9 6 4 。 5 4 0 5美元。如果债券的半年收益率上升
一个基点（1％的1 / 1 0 0）至5 。 0 1％，那么它的价格将会跌至9 6 4 。 1 9 4 2美元，下降了
0 。 0 3 5 9％。零息票债券的期限为1 。 8 8 5 3×2＝3 。 7 7 0 6个半年期（由于我们用的是5％的半
年利率，我们也需要以半年为单位来定义久期以保证单位的一致性）。半年利率最初
为5％，它将以8 3 1 。 9 6 2 3美元（1 000美元/ 1 。 0 53 。 7 7 0 6）的价格出售。当利率上涨一个基点
时，它的价格将跌至8 3 1 。 6 6 3 6美元，资本同样损失了0 。 0 3 5 9％。由此我们可以得出结
论，久期相等的资产对利率波动的敏感性实际是一样的。
顺便提一句，这个例子也证实了式（ 1 6 … 2 ）的有效性。注意，正像我们后来直接计
算的一样，该等式预言了这两种债券的价格变化率应是3 。 7 7 0 6×0 。 0 0 0 1 / 1 。 0 5＝0 。 0 0 0 3 5 9
或0 。 0 3 5 9％。
概念检验
问题1：
a。 参照表1 6 … 3，计算当市场利率为1 0％时，利率为9％的年付利息息票债券的价格
与久期。
＇1＇ 实际上，公式1 6 … 2或公式1 6 … 2 '在债券收益发生大的变化时是近似有效的。当收益率变化较小或较集中
时，这种近似性才会变得准确。学过微积分的人将会发现修正久期同债券价格对债券收益率的导数成
比例
D*＝…1 /P×（…dP/ dy）
这样，它就给出了只在当前价格邻域的债券价格曲线的斜率的测度。
第四部分固定收益证券
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b。 现在假设利率升至1 0 。 0 5％，请计算债券的新价值和债券价格变化的百分比。
c。 请用等式1 6 … 2或1 6 … 2 '的久期公式计算债券价格预计变化的百分比。并将它同b
的答案作比较。
16。1。3 什么决定久期
影响债券价格对市场利率变化的敏感性包括三要素：到期时间、息票利率和到期
收益率。这些决定价格敏感性的因素对于固定收入资产组合管理十分重要。因此，我
们在以下8个法则中归纳了有关的一些重要关系。图1 6 … 2显示出具有不同息票利率、
到期收益率和到期时间的债券的久期情况，也表明了下面这些法则。
零息票债券
息票利率15％YTM＝6％
息票利率30％YTM＝15％
息票利率1 5％Y T M＝1 5％
到期
图16…2 债券久期与债券期限
久期法则1：零息票债券的久期等于它的到期时间。
我们已经看到两年期的息票债券之所以比两年期零息票债券有更短的久期，因为
最后支付前的一切息票利息支付都将减少债券的加权平均时间。这说明了久期的另一
个一般性质：
久期法则2：到期日不变时，债券的久期随着息票利率的降低而延长。
这条法则的性质与马尔凯尔的第五条关系相一致，原因是较早的息票利息支付对
债券利息支付的平均期限的影响。这些息票的利率越高，较早支付的权重就越大，支
付的加权平均期限就越短。比较图1 6 … 2中息票利率分别为3％和1 5％的息票债券久期的
图形轨迹，两者的到期收益率（Y T M）都是1 5％。息票率为1 5％的息票债券的久期曲
线位于息票率为3％的息票债券的久期曲线的下方。
久期法则3：当息票利率不变时，债券的久期通常随着债券到期时间的增长而增
长。债券无论是以面值还是以面值的溢价出售，久期总是随着到期时间的增长而增
长。
久期这条法则的性质与马尔凯尔的第三条关系相一致，非常直观。令人惊奇的是，
久期并不总是随着到期时间增长而增长。对于折现率很高的债券，久期可能会随着到
期时间的增长而下降。然而，事实上所有可以交易的债券都可以安全地假定久期随着
到期时间的增长而增长。
注意，在图1 6 … 2中，零息票债券的到期期限和久期是相等的。但是，息票债券的
到期时间增长一年时，它的久期增长却少于一年。在图中久期的斜率小于1。
虽然期限长的债券往往是有一很长久期的债券，但是，久期可以更好地说明债券
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第16章固定收入资产组合的管理
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长期的性质，因为它还考虑了债券的支付情况。只有当债券没有息票支付时，到期期
限在统计上才是有充足意义的数字，因为这时到期期限与久期相等。
从图1 6 … 2中还可以看到，息票率为1 5％的两种债券在以不同的到期收益率出售时
会有不同的久期，低收益的债券有更长的久期。这是可以理解的，因为收益较低时，
债券支付期越远的，其现值就越大，而且它在债券总值中占的比例也越大。因此，在
加权平均计算久期的过程中，较远的支付有较大的权重，并有一较长的久期。因此我
们有如下法则：
久期法则4：在其他因素都不变，债券的到期收益率较低时，息票债券的久期较
长。
法则4就是上述债券…定价关系中的第六条，适用于息票债券。当然对于零息票债
券，久期等于到期时间，无需考虑到期收益率的大小。
最后，我们提出了一些关于特殊利率证券的久期的代数法则。这些法则源自等式
1 6 … 1的久期公式，并与之相一致。但是，它们可能更适用于长期债券。
久期法则5：无限期限债券的久期为（ 1＋y） /y。例如，当收益率为1 0％时，每年支
付1 0 0美元的无限期限债券的久期等于1 。 1 0 / 0 。 1 0＝11年；类似地，当收益率为8％时，
久期就等于1 。 0 8 / 0 。 0 8＝1 3 。 5年了。
法则5表明久期和到期时间的差别可以非常显著。无限期限债券的到期日是无限
的，当收益率为1 0％时，它的久期仅为11年。无限期限债券的现值加权现金流的早晚
决定了久期的计算。
从图1 6 … 2中我们可以看出，随着到期时间的增长，两种收益率为1 5％的息票债券
的久期将收敛于有相同收益率的无限期限债券的久期，即7 。 6 7年。
概念检验
问题2：运用法则4证明当利率下降时无限期限债券的久期将延长。
久期法则6：稳定年金的久期由以下等式给出：
＇ （ 1＋y） /y＇…T/ ＇ （ 1＋y）T…1 ＇
这里，T为支付的次数，y是每个支付期的年金收益率。例如，收益率为8％的1 0年期年
金的久期为
（ 1 。 0 8 / 0 。 0 8 ）…（ 1 0 / 1 。 0 81 0…1 ）＝4。87 年
久期法则7：息票债券的久期等于
＇ （ 1＋y） /y＇…＇ （ 1＋y）＋T（c…y） ＇ / ｛c＇ （ 1＋y）T…1 ＇＋y｝
这里，C为每个支付期的息票利率，T为支付次数，y为每个支付期的债券收益。例如，
息票率为1 0％的2 0年期债券，每半年付息一次，有4 0个支付期，每次支付的息票利息
为5％。如果每半年的到期收益率为4％，那么债券的久期应该为
（1。04 /0。04）…＇ 1 。 0 4＋4 0 （ 0 。 0 5…0 。 0 4 ） ＇ / ＇ 0 。 0 5 （ 1 。 0 44 0…1 ）＋0 。 0 4 ＇
＝1 9 。 7 4半年＝9 。 8 7年
这一计算再次提醒我们保持支付期与利率的时间单位的一致性的重要性。当债券每半
年付息一次时，我们在所有的计算中要用有效的半年期利率和