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券和永久年金是为了计算简单）。在现行利率下，永久年金的久期为1 。 1 0％/ 0 。 1 0＝11年，
零息票债券的久期就是3年。
因为资产有相同收益，资产组合的久期是资产组合中各部分资产的久期的加权平
均值。为了达到所希望的久期为7年的资产组合，管理者必须决定零息票债券与永久
年金在全部证券中的合适的权重。设零息票债券权重为w，永久年金的权重为1…w，
那么，w必须满足等式
w×3年＋（ 1…w）×11年＝7年
这意味着w＝1 / 2，管理者应将5 000美元投资用来购买零息票债券，5 000美元用
来购买永久年金，永久年金无限期地每年提供5 0 0美元利息。这一资产组合的久期为7
年，他的头寸获得了利率免疫。
第二年，即便利率没有变动，也需要进行再平衡。由于距到期日又近了一年，负
债的现值增至11 000美元。管理者需要的投资收入也增至11 000 美元：随时间变化，
零息票债券的价值已从5 000美元增至5 500美元，而永久年金已支付5 0 0美元的年息，
仍值5 000美元。但是，资产组合的构成比例必须改变，零息票债券现在的久期为2年，
而永久年金的久期仍为11年，负债还有6年到期。资产组合的构成权重应满足等式
第四部分固定收益证券
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w×2＋（ 1…w）×11＝6
这意味着w ＝ 5 / 9，现在管理者必须把11 000 美元投资中的11 000 ×5 / 9 ＝
6 111 。 11 美元用来买零息票债券，这需要把年息票利息5 0 0美元全部再投在零息票债
券上，再通过出售部分永久年金补充购买111 。 11 美元零息票债券以保持头寸的利率
免疫状态。
当然，资产组合的再平衡会带来买卖资产的交易成本，所以，不可能不断地进行
资产组合的再平衡。实际上，资产组合的管理者要在需要不断再平衡以获得很好的免
疫功能和调整频率尽可能的低以控制交易成本之间寻求一个适当的折衷方案。
概念检验
问题4：如果利率降到8％，第二年的利率免疫权重应为多少？
16。2。5 现金流的匹配与贡献
与免疫有关的问题似乎有一个简单的解决办法，为什么不只购买零息票债券来为
预期的现金支出提供恰好足够的款项呢？如果我们遵循现金流匹配（cash flow
m a t c h i n g）的原则，我们就能在利率变动时使资产组合自动免疫，因为债券的现金流
收入与负债的支出恰好相互抵销。
在多期基础上的现金流匹配即贡献策略（dedication strategy ）。在这种情况下，
管理者或选择零息票债券或选择息票债券以使每一期提供的总现金流可以与一系列负
债相匹配。贡献的长处在于它是一个一劳永逸消除利率风险的方法。一但现金流匹配
了，就不必去再平衡。贡献化的资产组合可以提供必要的现金来支付公司的债务，而
不管利率的最终变化。
现金流匹配并没有得到广泛的运用，可能是由于它对债券选择的严格要求。免
疫…贡献策略吸引着那些不希望对利率常规变动打赌的公司，而这些公司可能会利用他
们认为价值被低估的债券来免疫。然而，由于现金流匹配给债券选择过程加了很多限
制，不可能仅靠被低估价值的债券来实施贡献策略。为了获得更高的收益，公司放弃
了准确、容易的贡献策略，而是选择被低估价值的债券进行资产组合。
有时，现金流匹配是不可能的。例如，养老基金必须向现在与未来的退休人员不
断地支付现金流，为了使养老基金的现金流匹配，它们就必须购买到期期限为上百年
的固定收入证券。这样的证券并不存在，因此也就难以实施准确的贡献策略了。
概念检验
问题5：交易成本的增加对贡献与免疫策略的吸引力有什么影响？
16。2。6 关于常规传统免疫的其他问题
如果回顾一下等式1 6 … 1中的久期，将会注意到它用债券的到期收益率来计算每次
息票支付时间的权重。根据这一定义和恰当运用到期收益率的限定条件，不难得出结
论，只有当收益曲线是平坦的，所有支付均以同一利率折现时，久期的概念才是严格
有效的。
如果收益曲线不平坦，那么久期的概念就必须修正，用C Ft的现值代替C Ft/ （ 1＋y）t ，
这里每一现金流的现值都是根据从收益曲线得出的与这一特定现金流相应的适当利率
来折现的，而不是根据债券的到期收益率来折现。而且，即便有了上述修正，久期匹
配也只有当收益曲线平行移动时实现资产组合的利率免疫。显然，这种要求是不现实
的。结果，为了使久期概念一般化，作了许多理论工作。多因素的久期模型已经被发
展出来，它除了允许收益曲线有水平移动外，还允许它有倾斜和扭曲的形状（我们将
在本章末尾介绍这一研究的有关文献）。但是，这些增加了复杂性的模型并没有明显
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第16章固定收入资产组合的管理
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地表现出拥有更高的效力＇ 1 ＇。
最后，在通货膨胀的条件下免疫不是一个恰当的目标。免疫基本上是一个名义上
的概念，它只对名义上的负债有意义。用名义资产，譬如债券，来对一个会随价格水
平一起增长的负债进行利率免疫是没有意义的。例如，如果你的孩子1 5年后会上大学，
那时的学费预计一年为15 000美元，锁定15 000美元的最终价值，通过资产组合进行利
率免疫，这并不是一个合适的降低风险的策略，因为学费的负债会随现实的通胀率变
化，而资产组合的最终值却不会。最终，学费的负债不一定会与组合的资产值相匹配。
在这一说明中值得指出的是，免疫策略对于那些认为零风险资产组合是过度保守
的投资者来说并不十分适用。完全免疫对资产组合管理者而言是一种相当极端的头寸
选择。
16。3 凸性
在固定收入资产组合管理中，久期显然是一个关键的工具，关于利率对债券价格
的效应的久期法则仅是一种近似表达。等式1 6 … 2或它的等价物，等式1 6 … 2 '（我们将重
复表述如下）说明债券价格变化的百分比约等于债券收益变化的久期修正值：
DP/P＝…D*Dy （ 1 6 … 2 ）
这个规则以为债券价格变化的百分比直接与债券收益变化成比率。如果确实是这
样，债券价格变化的百分比作为它的收益变化的函数的图形将是一条直线，它的斜率
等于…D*。我们从图1 6 … 1中也看到，马尔凯尔五法则（特别是法则2）的更一般的表达
有债券价格与收益之间的关系不是线性的。久期法则虽然是债券收益较小变化的良好
近似表达，但是，它并不能对较大程度的变化作出精确的说明。
实际价格变化
久期近似值
到期收益率的变化（％）
图16…6 债券价格凸性
图1 6 … 6表明了这一点。像图1 6 … 1，图1 6 … 6说明债券价格变化的百分比是对债券到
期收益率变化的反应。曲线是3 0年期限、8％息票率、最初以8％的到期收益率出售的
债券价格变化的百分比；直线是久期法则预期的债券价格变化的百分比。债券初始收
益修正久期是11 。 2 6 年，所以直线是等式…D*Dy＝…11 。 2 6×Dy的图形。请注意，两条线
在初始处相切。因此，对于债券到期收益率的小变化，久期法则是准确的。但是，对
于到期收益率的大变化，在两条线之间有一不断扩大的“间隔”，这表明久期法则越
＇1＇ G。 O。 Bierwag； G。 C。 Kaufman； and A。 Toevs； eds。； Innovations in Bond Portfolio Management： Duration
Analysis and Immunization （Greenwich； CT： JAI Press； 1983）。
第四部分固定收益证券
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来越不准确。
从图1 6 … 6中还可以看到，近似久期（直线）总是低于债券的价值。当收益率下降
时，它低估债券价格的增长程度；当收益率上升时，它高估债券价格的下跌程度。这
是由真实价格关系的曲率决定的。曲线的形状，譬如价格…收益关系的形状是凸的，价
格…收益曲线的曲率就称作债券的凸性（c o n v e x i t y）。凸性一般被认为是债券的理想特
征：当债券收益下降时，债券价格以更大的曲率增长；当债券收益增长时，债券价格
则以较低的曲率降低。例如，在图1 6 … 7中，债券A与债券B在初始处有相同的久期：它
们的价格作为利率变化的函数成比率变化的图形相切，这意味着它们对收益变化的敏
感程度相同，至少对较小的收益变化的敏感程度相同。但是，债券A比债券B的图形更
凸，这表明在利率有一较大变化时，有更大的价格增长或较小的减少。当然，如果凸
性是理想的，它不会是免费的，投资者可能不得不对更具凸性的债券付出更多，并接
受一个较低的到期收益率。
到期收益率的变化（％）
债券A
债券B
图16…7 两种债券的凸性
凸性意味着债券的价格…收益曲线在更高收益率时会变得平缓，即斜率是较低的
负值。因此，我们可以让凸性作为价格…收益曲线斜率变化率的合适的表达，也是债券
价格的部分表达＇ 1 ＇。作为一个实际的法则，我们将看到有更高凸性的债券显示出价格
收益关系有一更高的曲率。不可赎回债券的凸性（如图1 6 … 6）是正的：有更高收益率
时，斜率将增加（即变得较低的负值）。
凸性允许我们改进随债券价格变化而变化的久期近似值。考虑到凸性，等式1 6 … 2
可以修正如下＇ 2 ＇：
DP/P＝…D*Dy＋1 / 2×凸性×（cy）2 （ 1 6 … 3 ）
等式右侧第一项与等式1 6 … 2的第一项是相同的，第二项是由于凸性引起的修改。注意，
＇1＇ 我们在前述中曾指出，在等式1 6 … 2中修正久期可以写成dP/P＝…D* dy。因此，D*＝…1 /P×dP/ dy是价
格…收益曲线的斜率，它作为债券价格的部分表达。同样，债券的凸性等于价格…收益曲线除以债券价
格的二阶导（斜率的变化率）：1 /P×d2P/ dy2。期限为n年，每年支付一次息票的债券凸性公式如下
凸性＝1 / ＇P×（ 1＋y）2＇ 。（n） ｛ ＇ C Ft/ （ 1＋y）t＇ （t2＋t） ｝
t =1
这里，C Ft为在时期t付给债券持有人的现金流，C Ft或者代表了到期前的息票利息的支付，或者是到期
的本息支付。
＇2＇ 运用凸性规则，一定要用数字而不是百分比来表达利率。
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第16章固定收入资产组合的管理
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对于有一正的凸性的债券，不管收益率是上升还是下降，第二项是正的。这一见解与
前面刚刚提及的久期规则有关，久期规则表明当收益率变动时总是低估债券的新价值。
把凸性考虑进来的等式1 6 … 3更精确了，它预测的债券价值将比等式1 6 … 2的预测值总是
高些。当然，如果收益率变化很小，等式1 6 … 3中的凸性这一项要乘以（Dy）2，得出的积
会很小，使久期的近似值不会有什么增加。在这种情况下，久期规则给出的线性近似
将是足够精确的。因此，凸性在利率有一很大的潜在变化时才会作为一个更重要的实
际因素。
凸性是我们先前提及的利率免疫例子中导致小误差的原因。例如，回到图1 6 … 5中，
我们将看到，有相同久期的一次性支付负债与息票债券投资在利率变化很小时可以很
好地获得利率免疫的效果。但是，当利率有一较大变化时，两条价格曲线开始分开，
这意味着收益率的变化导致了小额剩余的产生。这是由于息票债券具有更大的凸性。
现在我们利用一个数字的例子来说明凸性的效应。图1 6 … 6中的债券的到期期限为
3 0年，息票利率为8％，出售时的初始到期收益率为8％。由于息票利率等于到期收益
率，债券以面值，即1 000 美元出售。在初始收益率时债券的修正久期为11 。 2 6 年，它
的凸性为2 1 2 。 4 （这可以由页下注＇ 1 ＇中的公式证明）。如果债券的收益率从8％增至1 0％，
债券价格将降至8 11 。 4 6美元，下降1 8 。 8 5％。久期法则，等式1 6 … 2将对价格作出预测
DP/P＝…D*Dy＝…11 。 2 6×0 。 0 2＝…0。225 2，或…2 2 。 5 2％
这比债券价格的实际下降幅度大很多，而运用等式1 6 … 3所表达的久期…凸性规则，得出
的结果会更精确＇ 1 ＇：
DP/P＝…D*Dy＋ 1 / 2×凸性×（Dy）2
＝…11 。 2 6×0 。 0 2＋1 / 2×2 1 2 。 4×（ 0 。 0 2 ）2
＝…0。182 7，或…1 8 。 2 7％
这个结果与实际的债券价格变化十分接近了。
注意，收益的变化很小，譬如�