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尝试证明第五公设，但不久发现，所有的这种证明都无法逃脱循环论证的错误。于是，他作出这样的假定：在平面上，过直线外一点可以有多条直线不与原直线相交。这是一个与第五公设对立的命题， 如果它被否定，那无异于证明了第五公设。但是，他发现不仅无法否定这个命题，而且将它与绝对几何即与平行公设无关的几何学中的定理一起展开推论，可以得到一系列前后一贯的命题，它们构成了一个逻辑合理，且与欧氏几何彼此独立的命题系统，他称之为“虚几何学”。 这是一个非同寻常的发现，它告诉人们数学允许同时成立两个对立的公理体系，而且这种对立体系具有同样的真理性。
1826年2月23日罗巴切夫斯基以《几何学原理的扼要阐述，暨平行线定理的一个严格证明》为题，宣读了他的关于非欧几何的论文，但这篇革命性的论文没有被理解而未予通过。1829年他将这一卓越发现写进了《论几何学基础》，并在《喀山通报》上发表。以后又用法文发表了《虚几何学》（1837）。用德文写了《平行线理论的几何研究》（1840）。最后一本用俄、法两种文字写的《泛几何学》，在他逝世前一年（1855）发表。
罗氏几何的创立没有及时引起重视，直到他去世后12年（1868）意大利数学家E。贝尔特拉米证明了在欧氏空间的伪球面上有着片断罗巴切夫斯基平面的几何学，这样罗氏几何在欧氏空间的曲面上才得到解释，并在数学上得到确认。罗巴切夫斯基在数学分析和代数学方面也有一定成就，如区分了函数的可微性与连续性的概念，提出了数字系数高次方程近似解法等。
7、希尔伯特：领袖型数学家
希尔伯特是对20世纪数学有深刻影响的数学家之一。他领导了着名的哥廷根学派，使哥廷根大学成为当时世界数学研究的重要中心，并培养了一批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家，如内特、外尔。外尔后来与希尔伯特在数学基础的基本观点上发生了分歧，追随了反对他的直觉主义者布劳威尔。
按时间顺序，希尔伯特的主要研究内容有：不变式理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础，其间穿插的研究课题有：狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值问题、“希尔伯特空间”等。在这些领域中，他都做出了重大的或开创性的贡献。
希尔伯特认为，科学在每个时代都有它自己的问题，而这些问题的解决对于科学发展具有深远意义。在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的着名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。
希尔伯特是一位正直的科学家。第一次世界大战前夕，他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的《告文明世界书》上签字。战争期间，他公开发表文章悼念“敌人的数学家”达布。希特勒上台后，他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策。
由于纳粹政府的反动政策日益加剧，许多科学家被迫移居外国，曾经盛极一时的格廷根学派衰落了，希尔伯特也于1943年在孤独中逝世。
8、罗素：全能型数学家
罗素在很多领域占有一席之地，他是哲学大师，获过诺贝尔文学奖，积极参与反对发展核武器的社会活动中，他的四次浪漫的婚姻经历也为爱情的研究提供了丰富的资料。
罗素的家庭中父母双方都是辉格党贵族。他是着名的自由主义政治家约翰。罗素勋爵的孙子。这位勋爵曾三次出任首相，1832年曾提出第一个国会改革法案，后来又被封为罗素家第一代伯爵，罗素本人在他的长兄弗兰克1931年逝世后成为第三代罗素伯爵。罗素4岁前已父母双亡，他是在祖母和家庭教师抚养、教育下长大的。后进入剑桥三一学院并取得数学奖学金，1890年他在三年级时转学哲学，并于1894年取得学位。罗素曾四次结婚，三次离婚。
他因为政治原因曾经两次被判监禁。一次是1918年，因犯了对美军的诽谤罪被监禁六个月（在狱中写成了《数理哲学导论》），另一次是1961年他89岁时，因煽动民众反对政府、支持核裁军运动，在医院被监禁一星期。他的政治观点总是激进的，始终对共产主义怀有敌意。到了晚年，他开始认为共产主义的胜利并不比全面核战争的后果更不幸。他是一个最能打动听众的辩论家，是一个对物理学和社会科学都能阐述得深入浅出的普及者，是一个对他所信仰的自由事业的强有力的鼓吹者。
罗素是当代西方最知名和最有影响的哲学家之一，他在数理逻辑的研究领域曾做出过开创性的贡献，同时他还是一位社会活动家和政论家。由于他多方面的成就，他一生曾获得过多种荣誉，包括1950年的诺贝尔文学奖。在哲学上，他的观点大抵早期是属于新实在主义的，晚年逐渐转向逻辑实证主义。
9、内特：女数学家中的佼佼者
内特是20世纪初德国杰出的女数学家，抽象代数的创始人之一。
与其他数学家不同的是，内特作为一个女性在数学领域做出杰出的贡献不但少见，而且成长过程更加艰难。内特走上数学家之路，主要是她的父亲的影响。父亲的犹太家史和数学家气质综合成了诺特特有的生活环境、成长条件和后来的境遇。由于当时德国妇女不得为大学正规学生，她只能在埃朗根大学和哥廷根大学作为不注册的旁听生攻读数学，最终她于1904年获准注册于埃朗根大学，遂能于1907年在该校获得博士学位。
1916年，内特前往哥廷根，和希尔伯特、克莱因等伟大的数学家一起工作。即使有希尔伯特的努力争取，内特也没能获取讲师资格，原因是她是女的。希尔伯特只能以自己的名义开课、由内特讲课的方式帮助她。直到1919年，37岁的内特才取得授课资格，但从未获官方职位。也就是说，这是个没有薪金的大学最低学位，它只赋予上台讲课的资格，不负责讲课后的报酬，报酬得由前来听课的学生的支付。1922年，哥廷根大学任命她为“非官方副教授”，作为既承认内特表现出的数学才能又不放弃对妇女的歧视政策的一种折衷办法，至此能够获得每月300马克左右的象征性工资。到1933年，内特的不少学生早就当上了教授，而她一直是哥廷根大学的编外人员。
1933年因为纳粹政府驱逐犹太科学家而被迫逃离德国到美国，在布林莫尔学院和普林斯顿高等研究院工作。1935年4月14日，内特因患癌症去世。
10、怀尔斯：谨慎的屠龙者
怀尔斯因解决了350年来悬而未决的费马大定律而闻名世界。
怀尔斯1953年4月11日生于英国剑桥，1971年入牛津大学学习， 1980年获该校博士学位。怀尔斯的一位导师认为他具有两个显着的数学禀赋，一是他优先于一切地要去证明困难的具体定理，而不愿去作优美的无所不包的猜想。；二是他有惊人的能力去吸收大量的极高深极抽象的机制， 并在脚踏实地的问题中贯彻直到得出巨大的成果。
费马大定理又称费马最后定理，是着名法国数学家费马在约1637年写下的一个猜想：对于任意大于2的整数n ； 不可能有非零的整数 a； b； c满足 。350多年很多数学家尝试过解决费马大定理，直到1993年终不能完全证明。
怀尔斯在10岁读贝尔的着作《最后的难题》，开始被费马达定律迷住。曾一度着手证明，但由于毫无进展而转向了椭圆曲线问题。1986年，肯·里贝证明：有一个尚未被证明的猜想，即所谓的谷山…志村猜想，能够导出费马大定理，可要证明这个猜想也决非易事。
1986年怀尔斯得知里贝的结果后，重新燃起了研究费马大定律的热情。潜心7年，终于在1993年6月23日上午10点半左右在英国剑桥大学牛顿研究所，在连续三天的讲演的最后， 概述证明了谷山－志村猜想的一大部分，从而证明了费马大定理。这一结论立刻震动了世界，有人称他为“世界的屠龙者”，尽管只有极少的数学家能够理解这个技术性很强的证明。
但数月后，怀尔斯的证明逐渐被发现有问题。。怀尔斯继续进行非常艰苦的多种证明尝试， 在一位同事的帮助下，1994年9月怀尔斯最终完成了历史性长篇论文“模椭圆曲线和费马大定理”。论文于19995年发表在《数学年刊》上。怀尔斯的论文迅速得到国际数学界的承认，他因此于1996年获得沃尔夫奖，成为最年轻的沃尔夫奖获得者。
注：
1、王青建，数学是什么，《自然辩证法研究》，2000（1）。
2、GH哈代，李文林译，一个数学家的辩白，江苏教育出版社，1996年。P124…126。
自牛顿以来的科学家
第四篇 不同类型的科学家（下）
第23章 政治与社会活动家型科学家
我不同意您（冯·劳厄）的看法，以为科学家对政治问题—在较广的意义上来说就是人类事务—应当默不作声。德国的情况表明，这种克制会导致：不做任何抵抗就把领导权拱手让给那些盲目的和部负责人的人。这种克制岂不是缺乏责任心的表现吗？ ——爱因斯坦《爱因斯坦文集第三卷》
科学是一种特殊的社会现象，与社会有着不可分割的联系。科学处于萌芽时期时，科学是不自觉和经验的东西，没有上升为社会现象。到了文艺复兴时期，自然科学开始发展，人们开始强调用科学改造自然和造福人类。到19世纪，科学走向职业化和专门化，科学技术开始规模地应用到人类生活和生产之中，特别是科学技术成为生产力，推动着产业革命，科学开始作为一股强大的社会力量促进着社会变革。到了20世纪，科学技术更加与社会密不可分：科学研究与产业经济广泛结合；科学技术成果大量用于军事目的；国家之间的竞争在某种程度上主要是科技实力的竞争；国家增加了对科技的投入，科研组织健全，有国家科研机构、企业科研机构、高校科研机构；国际科技合作成为国家关系的一种表现形式，跨国研究机构促进经济全球化发展，此时科学处于社会的全面监督之下，科学研究已远不是科学技术本身的事，而是越来越多取决于科学之外的目的。
科学与社会的关系包括科学对社会的影响和社会对科学的影响。前者是指，社会的各个方面如经济、政治、军事、文化、教育、艺术、宗教、伦理等要受到科学的影响。科学既可以通过技术作用于人类的物质生活，也可以意识形态的方式直接作用于人类的精神生活；科学技术既可造福于人类社会即科技产生正面效应，也可有害于人类社会即科技产生负面效应。后者是指，科学的发展受到社会的各个方面的制约：物质生产，社会政治活动，社会制度，军事斗争等等，科学在多种社会因素作用下向前发展；社会因素对科学的推动可能是促进的，也可能是阻碍的。
人们认识到，科学技术在给人类带来福祉的同时，也造成了许多新的问题。所谓科学技术带来的危害，更确切地说，是科学的局限性和技术的负效应。科学的任务是揭示事物的真相和原理。但就某一阶段的科学而言，它只能揭示事物的部分真相和原理，科学需要不断发展。所以科学又总是存在着局限性。技术的负效应主要体现为技术本身的负效应和技术应用失误产生的技术报复效应。随着科学技术的发展，人工制造的工业系统、技术系统等等，越来越复杂。复杂系统中一个个微小的问题，能以设计者预料不到的形式，结合到一起，造成出乎意料的失误，即产生技术报复效应。技术本身具有的负效应，需要法律、伦理加以规范和引导，使之更好地造福于人类。
在科技与社会关系日益紧密的今天，科学家不可避免地要为科技的后果承担其社会责任来。问题的关键是科学家（包括纯科学家、应用科学家和技术专家）在多大程度上承担责任、承担什么样的责任和如何来承担责任。
1、社会责任与三种类型科学家
通过对科学家对社会责任的态度分类，可以科学家分为3类，一是相对责任型，二是价值中立型，三是绝对责任型。同样地，科学家对于科学之�