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计算方法。这一方法通过建立一种所谓的“单因素模型”来实现。该模型后来被直接推广为“多因素模型”，以图对实际有更精确的近似。这一简化形式使得证券组合理论应用于实际市场成为可能。特别是70年代计算机的发展和普及以及软件的成套化和市场化，极大地促进了现代证券组合理论在实际中的应用。现今在西方发达国家，因素模型已被广泛应用在证券组合中普通股之间的投资分配上，而最初的更一般的马柯威茨模型则被广泛应用于不同类型证券之间的投资分配上，如债券、股票、风险资产和不动产等。
早在证券组合理论在现实世界中广泛传播之前，夏普、林特和摩森三人便同时独立地提出了以下问题：“假定每个投资者都使用证券组合理论来经营他们的投资，这将会对证券定价产生怎样的影响？”他们在回答这一问题时，分别于1964 年、1965 年和1966 年提出了著名的资本资产定价模型（CAPM）。这一模型在金融领域盛行十多年。然而1976 年，理查德？罗尔对这一模型提出了批评，因为这一模型永远无法用经验事实来检验。与此同时，史蒂夫？罗斯突破性地发展了资本资产定价模型，提出所谓的套利定价理论（APT）。这一理论认为，只要任何一个投资者不能通过套利获得无限财富，那么期望收益率一定与风险相联系。这一理论需要较少的假定。罗尔和罗斯在1984 年认为这一理论至少原则上是可以检验的。
二、马柯威茨的均值方差模型
（一）模型概述
前面指出，马柯威茨在1952 年的一篇题为“证券组合选择”的论文中讨论了如下问题：投资者将一笔资金在给定时期（持有期）里进行投资。在期初，他购买一些证券，然后在期末全部卖出。那么在期初他将决定购买哪些证券，资金在这些证券上如何分配？在现代投资理论中，将资金按一定比例投资于若干种证券上称为一个证券组合。因此投资者实际上需要在期初从所有可能的证券组合中选择一个最优的证券组合进行投资。这一问题被马柯威茨称为证券组合选择问题。在考虑这一问题时，马柯威茨指出，投资者的选择应该实现两个相互制约的目标——预期收益率最大化和收益率不确定性（风险）的最小化之间的某种平衡。
马柯威茨在提供证券组合选择方法时，首先通过假设来简化和明确上述两个目标。这些假设是：
假设一：投资者以期望收益率（亦称收益率均值）来衡量未来实际收益率的总体水平，以收益率的方差（或标准差）来衡量收益率的不确定性（风险），因而投资者在决策中只关心投资的期望收益率和方差。
假设二：投资者是不知足的和厌恶风险的，即投资者总是希望期望收益率越高越好，而方差越小越好。
在上述假设和马柯威茨所提供的方法中牵涉两个最基本也是最核心的概念——期望收益率和收益率的方差。期望值和方差本身是两个数学概念。前者反映一个不确定性的变量以不同的可能性（概率）取各种可能值时，其平均取值水平；后者反映不确定性变量的各种可能值的分散程度，在一定意义上也反映了该变量取值的不确定性程度。可见，期望收益率和方差与收益率作为一个不确定性的变量有关。为明确起见，我们给出这两个概念的具体表述。
某投资者对某种证券在未来给定时期的收益率的各种可能状况及其可能性（概率）作出了估计，比如他认为收益率（记作r，它是一个不确定性变量）在期末有几种可能状况，其中取值为x1 的可能性为p1，取值为x2 的可能性为p2？？等等。这一估计结果可用表7。1 表述：
那么该证券在该时期的期望收益率就是未来可能取值的加权平均，其中权数是相应的可能性（概率）。期望收益率记作E（r），即有
而方差则是未来收益可能值对期望收益率的偏离（通常称为离差）的平方的加权平均，权数仍然是相应的可能值的概率。记方差为σ2（r），即有 （7。2）
在明确了上述两个概念之后，我们来看看马柯威茨所给的两个假设意味着什么。根据假设一，证券或证券组合的特征完全由期望收益率和方差来描述。在图形上，以方差为横坐标、以期望收益率为纵坐标建立一个坐标系，那么每一种证券或证券组合由平面上的一点来表示。假设二则设定了判断点的“好”与“坏”的标准。由于投资者被假定偏好期望收益率而厌恶风险，因而在给定相同方差水平的那些组合中，投资者会选择期望收益率最高的组合。而在给定相同期望收益率水平的组合中，投资者会选择方差最小的组合。这些选择会导致产生一个所谓的有效边界。
所谓马柯威茨均值方差模型就是在上述两个假设下导出投资者只在有效边界上选择证券组合并提供确定有效边界的技术路径的一个数理模型。
马柯威茨的假设并没有对所有证券之间的比较作出限定。马柯威茨认为最终的比较依赖于每个投资者对收益和风险（方差）的偏好个性。也就是说，在通过马柯威茨方法确定出有效边界（相应地确定有效组合）之后，投资者须根据其个人对均值和方差的更具体、精细的偏好态度（用无差异曲线来描述）在有效边界上选择他看来最满意的点（即最满意的证券组合）。该点是投资者的无差异曲线与有效边界的切点。
（二）有效边界
前面指出，在马柯威茨均值方差模型中，每一种证券或证券组合可由均值方差坐标系中的点来表示。那么所有存在的证券和合法的证券组合在平面上就构成一个区域，这个区域被称为可行区域。可行区域的图形看起来像什么呢？也就是说，它会具有一些什么特征呢？
首先应指出，在我们的讨论中通常将方差改为标准差（即方差σ2（r）的算术根σ（r））作为横坐标。这时可行区域本身形状有些变化，但对应的组合并不改变，有效边界对应的有效组合也不改变，因而这种改变并不引起本质变化。
我们不妨先看一看市场只存在两种证券的情形，如图7。1 中的A 和B。
由证券A 和证券B 建立的证券组合将位于连接A 和B 的直线或某一条弯曲的曲线上。连线的弯曲程度由证券A 和证券B 的收益率之间的联动关系所决定，证券间的联动关系由相关系数ρ来衡量，ρ的取值总是介于…1 和 1之间。ρ的值为正，表明两种证券的收益有同向变动倾向；ρ的值为负，表明两种证券的收益有反向变动倾向；ρ的值为零，表明两种证券之间没有联动倾向。ρ=1 和ρ=…1 是两种极端情形：前者表明两种证券间存在完全同向的联动关系；后者表明存在完全反向的联动关系。如图7。1，随着ρ值的下降，连线弯曲得越厉害。由于ρ由A 与B 的关系所决定，A 与B 的组合形成的直线或曲线也由A 与B 的关系所决定，而与建立的具体组合无关。但不同组合在连线（直的或弯曲的）上的位置与具体组合中投资于 A 和 B 的比例有关。
当只允许购买A 和B 而不允许卖空任何一种证券时，合法的组合便是那些落在连线上介于A、B 之间的组合。因而可行域是A 与B 的连线上的实线部分。这一直线或曲线称为证券A 与B 的结合线。
当存在的证券超过两种时，证券组合的可行域就会是平面上一个真正的区域。如图7。2，三种证券A、B、C 在不允许卖空的情形下所有可能的组合布满了三条结合线（每两种证券形成）围成的区域。为什么会如此呢？很容易理解，区域内每一点可以通过三种证券的组合来得到。例如，Z 点可通过B与某个 A 和 C 的组合 D 的再组合得到。
当允许卖空时，A、B、C 三种证券的组合的可行区域便不再是一个有限
区域，而是一个包含该有限区域的无限区域，如图7。3。
当存在的证券超过三种时，可行域的特征与三种证券情形没有本质区别。总体上，可行域可能是有限区域也可能是无限区域，这依赖于对建立组合的限制条件，比如是否允许卖空。但无论如何，可行域的左边界总是向外凸的（允许线性部分），不会出现凹陷，如图7。4。
我们知道投资者选择证券组合相当于要在可行域中选择他认为最满意的点。
根据马柯威茨均值方差模型的假设，在给定相同期望收益率水平的组合中，投资者会选择方差（从而标准差）最小的组合。在每一个给定的可能的期望收益水平下，均有一个相应的方差最小的组合。这些组合在图形上恰好构成可行域的左边界，如图7。5。
另一方面，在给定相同方差（从而给定了标准差）水平的组合中，投资者会选择期望收益率最高的证券组合。对每一个给定的可能的方差水平，都有一个相应的期望收益率最高的组合，这些组合在图形上恰好构成可行域的上边界，如图7。6。
综合上述两个方面，投资者实际上会选择位于可行域的左边界和上边界的公共部分，也即在左边界的顶部，选择他的证券组合。我们将可行域的左边界的顶部称为有效边界。有效边界上的点所对应的证券组合称为有效组合。如图7。7，图中边界上实线部分即为有效边界。其中A 点非常特殊，它是左边界顶部和底部的交界点。这一点代表了所有可行组合中方差最小的组合。
（三）选择最优的证券组合
从前面的分析可以知道，在马柯威茨的假设下，投资者总会在有效边界上选择他们的证券组合，但不同的投资者会在有效边界上选择不同的在他看来是最优的证券组合。原因是马柯威茨的假设没有对投资者的偏好个性作出任何限定，而投资者会根据自己对期望收益和方差（风险）的更具体明确的偏好态度对有效边界上的组合进行比较，作出最终选择。
1。无差异曲线
马柯威茨的假设并未明确限定下述情况的两种组合 A 和B 之间的优劣：E（rA）＜E（rB）且σA＜σB
如图7。8，证券组合B 虽然比A 承担着较大的风险，但它却同时带来了更高的期望收益率，这种期望收益率的增量可认为是对增加的风险的补偿。
由于不同投资者对期望收益率和风险的偏好态度不同，当风险从σA 增加到σB 时，期望收益率的增量E（rB）…E（rA）是否满足他们个人的风险补偿要求将因人而异。因此，按照投资者各自不同的偏好态度对上述两种证券组合进行比较将会得出完全不同的比较结果：
投资者甲认为，增加的期望收益率恰好能够补偿增加的风险，所以A 和B 两种证券组合对他来说满意程度相同，因而两种组合中选择哪一种都无所谓。
投资者乙认为，增加的期望收益率不足以补偿增加的风险，所以B 不如A 更令他满意，即在他看来宁愿选择证券A。
投资者丙认为，增加的期望收益率超过对增加的风险的补偿，所以B 更令他满意。因而在两种组合中，他宁愿选择证券B。
在同样的风险状态下，对期望收益率的补偿要求越高，表明投资者对风险越厌恶。比如上述三位投资者中，乙最厌恶风险，甲次之。
对一个特定的投资者而言，任意给定一个证券组合，根据他对期望收益率和风险的偏好态度，即按照期望收益率对风险补偿的要求，可以得到一系列满意程度相同的（无差异）证券组合。所有这些组合在均值方差（或标准差）坐标系中形成一条曲线，这条曲线就称为该投资者的一条无差异曲线。
比如在图7。9 中，某投资者认为经过A 的曲线上的点（代表的组合）具有相同的满意程度，那么这条曲线就是该投资者过A 的一条无差异曲线。有了这条无差异曲线，对该投资者而言，任何证券或证券组合均可与证券组合A进行比较：位于这条无差异曲线上的点（组合）与组合A 无差异，如B；位于该无差异曲线上方的组合，如C，比组合A 更满意（同样，比无差异曲线上的任何组合更满意）；相反位于过A 的无差异曲线下方的组合，如 D，则不如A（及无差异曲线上的任何组合）更满意。
当在均值方差坐标系中，将某投资者认为满意程度相同的点连成无差异曲线时，我们便得到无穷多条无差异曲线。所有这些无差异曲线的全体便称为该投资者的无差异曲线族。有了无差异曲线族，该投资者能够对所有的证券或证券组合进行比较：同一条无差异曲线上的组合满意程度相同；无差异曲线位置越高，该曲线上的组合的满意程度越高。如图7。10，从无差异曲线l4 到l1，逐条曲线上组合的满意程度依次上升。
其次，无差异曲线满足下列特征：
（1）无差异曲线向右上方倾斜；
（2）无差异曲线随着风险水平增加越来越陡；
（3）无差异曲线之间互不相交。
上述三个性质源于我们对投资者的期望收益率和风险的偏好