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勾股（第九章）：主要讲勾股定理及其应用，并提出了一般二次方程的
解法问题。
《九章算术》成书后，一直是中国古代的数学教材，在民间也广泛流传，
成为中国数学著作中影响最大的一部。另外，它对世界数学也产生了很大的
影响，它曾经流传到朝鲜和日本，推动了朝鲜和日本的古代数学的发展。苏
联、日本、德国、英国等国都有它的原文译本，受到各国学者、专家的重视，
在世界数学史上成为与《几何原本》相提并论的重要著作。
它的伟大，在于它总结了中国古代从西周一直到东汉的数学成果，并初
步地形成了中国的数学体系，这可以从它的内容中反映出来：
在算术上，它的成就是比较完整地讲解了分数计算方法，包括四则运算、
通分、约分、化代分数为假分数等；各种比例问题的解决；“盈不足”问题
的出现及解决；以及解释一些数学难题等。该书中所用的步骤和方法大体与
现代的一致，这是世界上第一次系统的叙述分数运算，比西方要早得多。书
中在解比例问题时出现了单比例公式：
所有数×所求率
所求数=
所有率
另外还有复比例和连比例等方面的内容，已包括了现代算术中的全部比
例的内容，形成了一个完整的系统。到6世纪时古印度才出现类似的“三率
法”，而欧洲更晚。书中还出现了盈不足问题以及统一的计算公式：
a b
… Page 30…
把《九章算术》与《几何原本》相比较，我们发现：《几何原本》是以
形式逻辑的方法贯穿全书，以几何内容为主，略有一点算术内容，没有应用
问题。而《九章算术》则以问题的性质来进行分类编排，包含了算术、代数、
几何等中国古代数学的全部内容，并以应用为主。这两本书代表了东西方数
学的不同风格，在数学发展史中占有着同等的地位。
（2）中国数学的黄金时代
《九章算术》的问世，标志着中国古代数学体系已初步形成。在这个基
础上，魏晋南北朝时期（公元3—6世纪），数学又得到长足发展，取得了许
多辉煌的成就，对《九章算术》的检验、赵爽的《周髀算经注》、刘微的《九
章算术注》及其他成就都极为重要，而祖冲之父子的贡献更将这一时期的数
学推向高峰，使之成为中国数学发展史上的黄金时代。
①赵爽与 《勾股圆方图注》
赵爽（约公元3—4世纪）是我国历史上著名的数学家，他在数学方面的
成就，主要体现在《周髀算经注》一书中，其中尤以《勾股圆方图》最有价
值。《勾股圆方图》是作为《周髀算经》的注文而存于书中的，全文只有530
余字，但却包含着很重要的内容。赵爽在《图》中利用图形的移补凑和而面
积不变法 （称为演段术）（图见右），第一次从理论上证明了勾股定理，
并解出勾、股、弦及其和差互求问题36种中的24种。另外，图中还有二次
方程的问题，赵爽得出了与“韦达定理”类似的结果，
2 2 2c
… Page 31…
公元263年，他注《九章》时，对所有的命题都给出了证明或说明。正是利
用割补术，他创造了一条关于计算体积的定理，为我国球体体积的研究奠定
了基础。
第七、创造了“割圆术”，指出过去的圆周率近似值的粗疏。在《方田》
中，运用“割圆术”系统，严密地利用内接正多边形的面积无限逼近圆面积
的办法来求圆周率，他为此计算到内接正3072边形，由此求得圆周率近似值
3927
为π＝ = 3。1416这一数值已相当精确，比欧洲早1，000余年。在此
1250
过程中，他创立并使用了极限，他说：“割之弥细，所失弥小，割之又割，
以至不可割，则于圆合体而无所失矣。”
第八、《九章算术注》的最后一部分《重究》，总结和研究了古代劳动
人民的测量术，发展了“二重差方法”，将相似三角形的性质进一步阐述，
并广泛应用。这种重差术的出现，表明了刘徽在测量上的造诣之深，远远超
过当时世界各国数学家的水平。唐代以后独立成书，称为《海岛算经》。
第九、在继承前人成就的基础上，利用图形对勾股定理进行系统多角度
地证明，并将它推而广之。
刘徽注解《九章》，并在数学的许多方面作出卓越贡献，这是空前的壮
举，这使他在中国数学史和世界数学史上永耀光采。
③六部算经
与刘徽同时代，我国曾出现6部有影响的数学著作，它们是约于公元四
五世纪成书的《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张邱建算
经》、《五经算术》和《数术记遗》。但这些书的作者履历和编写年代不很
清楚。这些书较全面地介绍了当时中国在
数学上的成就，影响较大，后来都被列入唐初十部算经之中。特别值的
注意的是《孙子算经》，该书约成书于公元四五世纪，提出了“物不知数”
的问题，兼作了解答。《孙子算经》卷下记载：“今有物不知其数，三三数
之剩二、五五数剩三，七七数之剩二，何物几何？答曰：二十三。”后经南
宋秦九韶发展成为一次同余式理论，被称为“中国式的剩余定理”。在欧洲
直到1801年德国人高斯才提出同一定理。
④祖冲之父子的贡献
祖冲之（公元429—500年），字文远，今河北涞水县人，曾在南朝刘宋
政权任从事史、公府参军等职，长期从事天文历法和数学研究，公元463年
制成《大明历》，对前人历法进行了修改。在萧齐政权曾任长水校尉等职。
对机械制造感兴趣，曾制造了指南车、千里船、水碓磨、欹器、刻漏及其他
运输机械。他还在古籍研究上有一定贡献。但他最大的成就是在数学方面。
他给 《张章》和刘徽的《重差》作过注，并著有《缀术》一书。
祖冲之的儿子祖暅，博学多才，曾两次建议梁朝政府推行 《大明历》，
撰有《天文录》30卷、《漏刻经》1卷、《缀术》6卷（与祖冲之的《缀术》
同名），继承和发扬光大了祖冲之在数学方面的成就。
他们的成绩非常显著，主要有：
第一、圆周率的计算。根据《隋书·律历志》的记载，祖冲之是在前人
的基础上进行了更为精密的计算。他以一丈作为圆的直径，并把它为分一亿
份，一份为一忽，计算出圆周长应在3丈1尺4寸1分5厘9毫2微7忽和
3丈1尺4寸1分5厘9毫2微6忽之间。即
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3。1415926＜π＜3。1415927将圆周率精确到小数点后第7位数字，这比
西方早了近千年。祖冲之在进行计算时，给出了两个分数值的圆周率，即
355
密率（精确值）π＝ ＝3。1415927
113
22
约率：π= = 3。14。
7
又称“祖率”，也比西方早了1，000多年。
第二、球体体积的计算。祖冲之父子完全采用刘徽计算球体体积的方法，
用牟合方盖 （即立方体内切球）来计算。为使问题简化，他们仅用1/8的立
方体和所含的1/8的方盖。如图：
（a）为边长为r的立方体，为球的外切正方体的1/8。我们以o为球心，
r为底圆的半径，按把立方体截为圆柱体的一角的方法，从横竖两面把立方
体截开，成为图中（b）、（c）、（d）、（e），其中（b）为1/8弁合方盖。
再把这四部分仍合成为立方体，在高为h处横截这个立方体，得出图 （f），
则在直角三角形ABC中，AB为半径r，BC高为h。AC为1/8牟合方盖被截面
（正方形）一边的长（设为a），则
AC2
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四、世界古代后期的农学
世界古代后期是农业科学技术体系形成时期。仍处于奴隶制社会的古罗
马民族继承和发扬地中海文明，在农业科技领域里取得了重大的进步。铁器
农机具的改进，使新的生产工具不断增加，满足了农业生产发展的需要，减
轻了劳动强度，提高了作业效率。在耕作方法和物种等方面都有所创新。尤
其是在农业生产理论上颇有建树。政治家、农学家加图撰写了《农业志》、
瓦罗著《论农业》，科普美拉写《论农务》，对农业生产管理和农业生产技
术进行了系统的总结，形成了农业生产理论。
在东方，中国自春秋末年进入封建社会以来，随着秦汉的统一和经济的
繁荣，作为封建经济之本的农业也有重大发展。劳动人民在继承前代农业生
产技术的基础上，不断总结经验，丰富作物品种、改进和发明先进的耕作方
法，涌现了以贾思勰为代表的古代农学家，并为后人留下了闻名于世的农业
专著《齐民要术》，将中国农学技术和理论水平推向了新的高峰。
亚洲的塞琉古、古印度的孔雀王朝，日本的农业也都各有千秋，生产技
术水平得到不同程度的提高，为后世农业的发展和新技术的应用做出了贡
献。
1。古罗马的农业发展
公元前2世纪时，罗马的农业获得了长足的发展，雷提城地方出现了双
轮犁、水磨，一些地方出现了打谷装置。到罗马帝国时代，地中海文明区的
奴隶制已持续了3000年，继埃及、巴比伦青铜文明之后，波斯、希腊的铁器
时代亦经历了长时期的发展。罗马在他们之后兴起并集其大成，标志着古代
世界的生产力已达到最高水平。在社会稳定、生产发展的总形势下，各地联
系的加强，生产经验的交流，以及科技成果的应用，都促进了生产工具的改
进与生产技术的提高。这时在希腊和意大利出现了带轮的重型农具，前部有
两个小轮，需用2头甚至4头牛来牵引，但因重心提高，能较准确地调节耕
地深度、打碎土块、平整土地，标志着农具的一大改进。在高卢出现了收割
机，配有切割刀的柜式轮车，将切割刀置于车前，利用一定的装置使牲畜（如
牛、马等）能从车后推车前进。这类收割机显然是古代使用的最先进的（机
器）工具。除了农用机器外，与农业相关的各种机器工具还广泛用于其它社
会行业，如：水力工具——水轮机、水磨等用在矿业、磨粉业和纺织业等行
业中。西班牙还出现了连续8个水轮机的梯级磨房，水力技术大有发展。建
筑业中有了交滑车，起重机等。采用人力踏轮、牲口牵引等方式，行业中已
有完备的排水机械、提升机械等。远航货船的船头有了起重机及铰链 （复滑
车），桅杆采用护桅索加固。这反映了古代最高水平的造船技术已经出现。
这一时期，自动出水机、升降机、计程车等机械工具也广泛使用。帝国末期
还出现了水轮机、即用戽斗来替代水下式水轮机，铁、木料做的箕斗，隔板
并不与水轮辐条垂直，而是向水轮辐条倾斜，并将水充满，这大大提高了农
业生产效率。另外，1世纪时，罗马帝国曾使用云母装配成的温床，为宫庭
生产黄瓜等蔬菜，以满足生活需要。
罗马时代的农业发展主要在行省。那时，希腊地区出现了宽铧带轮的犁、
高卢出现了割谷器，水磨（最早出现于小亚细亚地区，公元1世纪传到西方）
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已广泛使用。埃及还出现了用牲畜牵引转动的扬水车。耕作方面，出现了轮
作制、豆类植物修养地力的原理已被掌握。北非的突尼斯一带地方这时已被
开垦成肥沃的土地，广泛种植葡萄、橄榄、大麦、小麦等。由于大量筑堤修
渠使灌溉系统得到很大地改善，大面积的沙漠变成良田，�