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1．现代数学初创
数学界称“高等微积分”、“高等代数”和“高等几何”为“老三高”，
所谓“新三高”则指抽象代数、拓扑学、泛函分析，它们是现代数学基础理
论的三根支柱，基本上均溯源于19世纪末，奠基于20世纪初，形成于两次
世界大战期间。
（1）泛函分析的诞生
泛函分析数学分支是在19世纪的经典分析和数学的其他分支，如变分
法、微分方程、积分方程、集合论等发展、研究的基础上，于20世纪初产
生，在20年代至30年代间形成的。
泛函分析是研究无限维抽象空间及其分析的学科，可看成是无限维空间
上的微积分学。无限维空间是欧几里得空间的推广。研究具有无限多个自由
度的力学系统的连续介质力学，就要用无限维空间的点来表示系统的状态。
泛函分析的思想最早出现在贝努利和欧勒所研究的最速降线问题中。人
们认为变分法和积分方程是泛函分析的两个源头。
如果说微积分是研究以数x为自变元的函数f（x），那么变分法则是研
究以函数y为自变元的函数J＇y＇。函数y也可被视为“点”。20世纪初，
阿达玛在从事变分法研究时，首先将这种函数的函数J＇y＇称为“泛函”，即
最先提出了泛函数的概念。他的《变分法教程》为泛函分析奠定了一定基础。
这一时期，在研究阿贝尔积分方程以及沃尔泰拉型积分方程的基础上，
瑞典数学家弗雷德霍姆（1866—1927）对积分方程理论又作了更深入的研
究。1904年至1906年，德国数学家希尔伯特在积分方程理论的研究方面完
成了6篇论文，获得了比弗雷德霍姆更富实质性的结果。他利用正交展开将
积分方程求解问题化为无限阶线性方程组的求解问题，并引入无限维欧几里
得空间，给出了这种空间的一些重要概念。他们的工作为泛函分析的建立作
了重要的准备。
也在这一时期，法国数学家弗瑞歇（1878—1973）利用当时集合论的成
果，把函数组成的无限集合作为研究对象，第一次提出了函数空间的概念，
奠定了抽象空间理论的基础。1906年，他把欧氏空间的距离概念抽象化，定
义了度量空间，并利用柯西收敛准则提出完备化思想。后来，在弗瑞歇工作
的基础上便有了“希尔伯特空间”的理论。弗瑞歇的研究指出，泛函可以进
行代数运算，也可以进行分析运算，这就产生了泛函分析。
1922年至1923年，波兰数学家巴拿赫 （1892—1945）提出了范围更广
的一类函数空间——巴拿赫空间的理论。1932年，巴拿赫在《线性算子论》
一书中统一了当时泛函分析的众多成果，成为泛函分析的第一本经典著作。
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之后，泛函分析被结合到许多数学、物理具体问题的研究中，物理问题
如流体力学中的刘维尔—斯托克斯方程，气体动力学方程和玻尔兹曼方程等
的研究，还有量子力学方面。量子力学诞生过程中出现了海森堡矩阵力学和
薛定谔的波动力学两种形式，前者用平方可积序列空间，后者用平方可积函
数空间来描述状态，后来证明，两个空间都是希尔伯特空间，而且彼此等价。
冯·诺依曼为了给量子力学提供严格的数学基础，于1929年至1932年，正
式引入了抽象希尔伯特空间的概念。鉴于物理学中可观察量以及奇异积分方
程、微分方程中出现的重要算子都是无界的，他引入了新的算子概念，给出
了无界自共轭算子、酉算子及正常算子的谱分解，发现了对称算子和自共轭
算子的区别，证明了量子力学体系的数学描述本质上只有一种。冯·诺依曼
系统的、奠基性的工作对量子力学和泛函分析都是重要的。
运用泛函分析的理论和方法于数学、物理问题的研究，又进一步推动了
泛函分析的发展。理论物理学对泛函分析的产生和发展所起的作用，正如微
积分的产生和发展过程中，经典力学所起的作用一样。物理和数学的这种相
互促进的关系，是现代物理学也是现代数学发展的一个特点。
巴拿赫的《线性算子理论》的出版和冯·诺依曼谱理论的出现，标志着
泛函分析已成为数学的一门独立的分支学科。
在后来的发展中，通过不断地从其他学科所提供的素材中提取自己的研
究对象，并不断充实自己的研究手段，泛函分析又逐渐形成了许多分支，如
算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等。同时，它也
推动了其他学科的发展。在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量
子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中，泛函分析都有重要的应
用。它的观点和方法还渗入不少工程技术学科中。
（2）抽象代数的兴起
以群、环、域为中心的抽象代数学是现代数学的一个重要分支，对整个
现代数学的发展起着重要的作用。
抽象代数源于群论的发展。 19世纪的研究发现，代数所能研究的不仅
是象实数、复数等对象构成的集合，还可以研究向量、矩阵、各种形式的超
复数、变换、替换或置换等对象的集合。
这些不同类型的对象是按照它们的运算特性互相区别的。群、环、域概
念的引进便是为了识别各种集合。
对客观世界中具体的和抽象的对称性的研究产生了群的概念。最早出现
的群是变换群，即指一些变换的集合。19世纪人们研究方程根的置换群、函
数的变换群等，它们的元素都是具体变换。后来，它们的共同特征被抽象出
来，又用符号代替具体变换，便逐渐形成了抽象群论的研究。 20世纪初，
群的抽象公理系统就已给出。之后，群论的研究沿着各个不同的方向展开，
例如，群分解为单群、可解群的问题；找出给定阶的有限群的全体等。
域论的创始人是伽罗华 （1811—1832）。他的域是一种数的集合，如有
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理数域、实数域、复数域等。后来，在代数数域和代数函数域深入研究的基
础上形成了代数数论和代数函数论。 1910年，德国数学家施泰尼茨（1871
—1928）发表的《域的代数理论》，奠定了域论的基础，成为抽象代数的一
个重要里程碑。他提出素域的概念，定义了特征数为P的域，证明每个域可
由其素域经添加而得。著名数学家希尔伯特曾对代数数域理论作过重要总
结，并提出一些猜想。这些猜想后来陆续由创立类域论的日本数学家高木贞
治 （1875—1960）和奥地利数学家阿廷（1898—1962）所解决。
环论是抽象代数中最深刻的一个部分。而最显著地改变代数学面貌的分
支则是交换环论中的理想论。
环和理想的抽象理论是20世纪才出现的。韦德伯恩（1882—1948）在
《论超负数》一文中，研究了线性结合代数，这种代数实际上是环。
环和理想的系统理论是由女数学家爱米·诺特（1882—1935）给出的。
这位伟大的女数学家，是抽象代数的奠基人，一般理想论的创立者。
诺特出生于德国埃尔兰根的一个犹太人家庭，父亲马克思·诺特也是著
名的数学家。 1900年，诺特进入仅有2名女生的埃尔兰根大学。 1907年，
获博士学位，论文题目是《三元双二次型不变量的完全系》。期间，她还到
哥廷根大学听课，得到希尔伯特、闵科夫斯基（1864—1909）、克莱因（1845
—1918）等数学大师的教导。
1916年，受希尔伯特和克莱因的邀请，诺特到哥廷根工作，帮助他们进
行与广义相对论有关的研究。因为她通晓微分不变量理论，因此作了许多出
色的工作。但是诺特一直没有在哥廷根大学获得应有的职位，只能在以希尔
伯特名义开设的讲座中讲课，希尔伯特几次为她争取讲师的职位，但是，当
时大学评议会里对妇女持歧视观点的人们却极力反对。直到第一次世界大战
结束，德国成为共和国，诺特才当上讲师。
1919年至1922年，诺特潜心研究环中的理想论。当她开始工作时，环
和理想的许多结果已经给出，但是，正是她赋予这些结果以适当的确切的表
述，得到环和理想的抽象、系统的理论。诺特把多项式的理想论包括在一般
理想论之中，为代数整数的理想论和代数整函数的理想论建立了共同的基
础。 1926年，她在环和理想方面深入的总结性的工作，基本完成。因此，
一般将抽象代数的形成时间定为1926年。
荷兰数学家范德瓦尔登（1905—）于1924年至1925年师从爱米·诺特。
1927年，他极其成功地阐述了诺特的理论，对诺特的思想进行了透彻的解
释，后来写成《近世代数学》一书，总结了以诺特为代表的哥廷根代数学派
以及其他代数学家的成果。此书当时即风靡世界，至今仍被视为是抽象代数
最好的入门书之一。
诺特以她在代数和数论方面的卓越成就，在数学界赢得很高的声誉。
1933年，作为犹太人的诺特和其他五位教授一起被纳粹当局点名离开哥廷
根。她后来不得已而远渡重洋，去了美国，1935年因病逝世。爱因斯坦赞扬
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诺特说：“诺特女士是自妇女受到高等教育以来，最重要的，最富于创造性
的天才”。
（3）拓扑学的发展
拓扑也是19世纪数学的发展结晶出的一个新的数学分支。拓扑的前称
是位置分析，是研究几何图形在被弯曲、拉大、缩小或任意形变下仍然保留
的那样一些性质（这种性质也称拓扑性质）。而对“任意形变”应加的限制
是，在图形变换过程中，原来不在一起的点不能粘在一起，原来在一起的点
也不能分开，每点附近的点经变换后仍在该点附近。这种变换和它的逆变换
都是连续的一一对应，就称为“同胚”。在拓扑学中，一个图形与稳定同胚
的图形成为拓扑等价。拓扑学就是研究不同图形的拓扑性质以及拓扑分类等
问题。
照20世纪的理解，拓扑分成两个有些分立的部分，即点集拓扑和组合
拓扑 （或代数拓扑）。前者把几何图形看作点的集合，又把整个集合看作是
一个空间；后者把几何图形看作是由较小的构件组成的。在研究那些极广泛
的几何结构时，组合拓扑也要用点集拓扑的概念。
法国数学家弗雷歇在1906年发表的博士论文中，把函数作为一个“点”
来看，并把函数收敛描绘成点的收敛，这就把康托尔 （1845—1918）的点集
论和分析学的抽象化联系了起来。弗雷歇在函数所构成的集合中引入距离的
概念，构成距离空间，展开了纷性距离空间的理论。点集拓扑学是在弗雷歇
工作的基础上产生的。希尔伯特空间、巴拿赫空间的引入以及泛函分析的兴
起，进一步推动了点集拓扑的形成和发展。
19世纪末，组合拓扑中发展得较为完善的唯一区域是闭曲面理论。最先
系统地一般地探讨几何图形组合理论的是彭加勒（1854—1912），他被公认
为是组合拓扑学的奠基人。 1895年至1904年间，他发表了一系列有关的
论文。彭加勒把点、线段、面等推广为标准构件——单形，把所有图形都分
解为单形的组合——复形，并引进了流形、边缘、链、贝蒂数、挠系数、示
性数等概念，另在区别复形时，引进了复形的基本群（也称为彭加勒群或第
一同伦群）。他的工作对拓扑学的形成和发展起了相当重要的作用。
这位杰出的数学家同时还是一位杰出的物理学家，他数学方面的著作涉
及几乎所有的基本领域，物理学方面的工作也涉及到动力学、流体力学、电
磁理论、理论物理以及天文学等诸方面。
通过研究函数论问题对拓扑产生兴趣的布鲁温和美国数学家亚历山大
（1888—1971）等在拓扑的这一段发展中都作了许多重要工作。20世纪20
年代末，人们把群和环等抽象代数