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（1888—1971）等在拓扑的这一段发展中都作了许多重要工作。20世纪20
年代末，人们把群和环等抽象代数结构作为拓扑不变量引入，并引进了同调
群、同伦群概念。同调、同伦概念的引进，使拓扑学的内容更加深化。 1939
年到达美国的波兰数学家爱伦堡（1915—）与斯廷罗德（1910—1971）合作，
于1944年将同调论公理化，结束了同调论发展中的混乱局面，推动了拓扑
学的进展。
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这期间，还严格定义了微分流形的概念，并证明了微分流形的一些有关
定理。微分流形是曲线、曲面概念的推广，它们的局部都可以看成是欧几里
得空间，通过不同的方式连接起来就可以连成不同的流形。从局部看，它们
没有什么不同，但这些元件连接方式的不同，在整体上将差别很大。微分拓
扑学就是研究微分流形的拓扑学。40年代后，拓扑学渗透到所有数学领域
中，并影响到物理学、化学和生物学。
历史上的“四色问题”，后来才发现它是一个拓扑问题。所谓四色问题
可以表述为：给平面或球面上的地图着色，只要四种颜色便足够了，就能使
任何两个具有至少一条曲线公共边界的国家都被涂上了不同的颜色。四色问
题也称作“地图问题”，是1852年时，伦敦大学的研究生古斯里 （1831—
1899）提出的。经验使人们觉得这个猜测很有道理，因为还没有一种地图需
要四种以上颜色来着色的，但若少于四种颜色，就肯定不够了。但这个貌似
平常的常识性问题，在暗示这样一个数学定理：将平面任意地细分为不相重
叠的区域，每一个区域，总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而
不会使相邻的两个区域得到相同的数字。所谓“相邻”区域是指有一整段边
界是公共的，两个区域只相遇于一点或有限多个点就不能称其为“相邻”。
古斯里的弟弟将这个猜测告诉了他的老师，当时伦敦大学的教授德·摩
尔根（1806—1871），摩尔根未能提出证明。 1879年，肯普在《美国数学
杂志》上发表了对四色问题的一个“证明”。然而，约十年后，希伍德在伦
敦《数学季刊》上指出了肯普推证中的错误，并给出了他的一个证明。但希
伍德只能证明：用五种颜色给平面或球面上的地图着色是足够的。许多数学
家后来在四色问题上作了工作，虽有一定进展，但均未彻底解决。
直到电子计算机发明之后的1976年，美国伊利诺斯大学的阿佩尔、哈
肯等人，在前人工作的基础上，将问题化为1500个构形，然后逐一证明这
些构形的可约性。他们借助计算机，分析计算了一千多个小时，才证明了这
个世界难题。
1943年至1945年，美籍中国数学家陈省身完成了两项划时代的重要工
作，首创应用纤维丛概念于微分几何学的研究，得出了一系列刻划纤维丛的
陈省身示性类，对拓扑学和微分几何学的发展有重大影响。
2．一些颇有影响的数学学派
第一次世界大战结束到第二次世界大战爆发的20余年里，数学取得了
较大进展，并出现了不少颇有影响的数学学派。如波兰数学学派、德国哥廷
根学派、法国布尔巴基学派、苏联的列宁格勒学派和莫斯科学派等。其中的
哥廷根学派和波兰数学学派在第二次世界大战中受到法西斯希特勒的摧
残，由鼎盛而衰落，对数学界乃至整个科学界都是很大的损失。
（1）波兰数学学派
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波兰数学学派的最初组织者是华沙大学教授雅尼斯柴夫斯基。1918年，
他提出波兰数学家应“为波兰数学赢得特殊地位”，不能“只充当外国数学
中心的仆从和顾客”，并提出三条措施：一是集中人力于某一领域，如集合
论、拓扑学等；二是创办一个杂志，专门刊登集合论等方面的文章，使之达
到国际一流水平；三是创造一种适合数学研究的气氛，即创造一个生产数学
的锻炉。波兰后来在华沙和里沃夫形成了专攻集合论、拓扑学和泛函分析的
队伍，许多成果是世界一流的。他们先后创办了《数学基础》和《数学研究》
杂志，获得极大成功，并赢得国际声誉，吸引了世界一流数学家的来稿，同
时把波兰数学界的成果交流到国外。《数学研究》杂志专登泛函分析方面的
文章。波兰学派中里沃夫学派的领导人之一是著名数学家巴拿赫，他在泛函
分析等方面的工作在数学界以深刻和概括著称。第二次世界大战中，波兰被
希特勒法西斯占领。2/3有学位的数学工作者在战争中丧失生命；巴拿赫迫
于生计而改行到生物试验中心工作，1945年病逝；劫后余生者后来不少去了
美国。
（2）哥廷根数学学派
20世纪初，数学大师高斯、黎曼（1826—1866）等曾执教过的哥廷根大
学就已成为世界数学的中心。哥廷根学派中有杰出的数学家希尔伯特、闵科
夫斯基、克莱因（？—1918）和在抽象代数的创立过程中作出了重要贡献的
女数学家埃米·诺特等。
希尔伯特是20世纪最伟大的数学家之一，他对数学的贡献是多方面。
他早期的研究领域涉及代数不变式问题、代数数域论等，孕育了女数学家爱
米·诺特为代表的抽象代数学派。后来，他在变分法、积分方程、泛函分析、
物理学等领域均作出了突出的贡献。在世纪之交的1900年，他发表了著名
数学演讲，列出了23个在新的世纪里数学家应当努力解决的问题，为新世
纪中的数学发展揭开了充满挑战性的、光辉的一页。这些问题在相当程度上
左右和导引了20世纪数学的发展和研究方向。
克莱因于1872年发表的“爱尔兰根纲领”演讲，总结了各种新几何学
的发展，指出其结构上的一般原则，并用变换群的观点作为几何学分类的基
础，带来了一次深刻的思想变革。
闵可夫斯基曾是爱因斯坦在苏黎士时的老师，后来任哥廷根大学的数学
教授。1907年，他首创四维时空理论，在通常的三个空间坐标的基础上，引
进了第四个坐标 ict，用四维坐标描述时空中发生的事件及事件的变化规
律，将爱因斯坦狭义相对论表述成非常简洁、优美的数学形式。闵可夫斯基
的工作引起了科学界对爱因斯坦所进行的相对论革命的注意，他还十分有预
见性地指出，爱因斯坦的思想对近代人们的思维将产生深远的影响。
哥廷根大学数学系的办学传统中有几个“一”：一间开架阅览室，一条
陈列数学模型的走廊，每周一次讨论班等。学派的组织者强调纯粹数学和应
用数学并重，强调人才培养和国际学术交流等。30年代，希特勒迫害犹太人
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的黑色恐怖笼罩了哥廷根，几乎所有的哥廷根学派成员都被迫移居美国，哥
廷根学派完全衰落了。抽象代数的奠基人、女数学家诺特于1933年去了美
国。最后被迫离开哥廷根的，是希尔伯特的接班人、数学家柯朗。他曾是希
尔伯特的助教，后来接任了希尔伯特的职务，20年代写有大量论文，他的《数
学物理方程》第一卷，是20世纪数学名著之一。柯朗在筹建哥廷根数学研
究所中有突出贡献。在希特勒的全国性“排犹活动”中，祖籍犹太人的柯朗
也难于幸免。 1934年8月，应纽约州立大学的聘请，柯朗抵达美国。第二
次世界大战中，柯朗领导的纽约州立大学战时应用数学小组，发挥了很大作
用，在水下声学和爆炸理论、喷气机设计、超音速空气动力学等方面均有出
色成果。柯朗还把建设哥廷根数学研究所的经验带到美国，用自己的才华又
建立了另一所数学研究所——纽约大学数学研究所，使纽约大学成为美国的
两大数学中心之一。
（3）法国布尔巴基学派
法国布尔巴基学派诞生于1939年。自那一年起，有一套丛书《数学原
本》开始陆续出版，作者署名N·布尔巴基。这一套丛书从一般的基本定理
开始，逐步深入各种各样的数学专门领域，是关于现代数学的综合性丛书，
被许多人阅读和引用，在研究“结构”方面颇有影响。
布尔巴基应作为20世纪中最有影响的数学人物之一被载入史册。然而，
实际上并没有N·布尔巴基这么个人。后来，人们才了解到，布尔巴基只是
一个非正式的数学家集体所使用的笔名。这个笔名的来历与法国的一位将军
C．布尔巴基（1816—1897）有关。南希城有这位将军的塑像，而布尔巴基
学派中的许多人住在这个城市。
布尔巴基班是由1924年进入巴黎高师数学系的一群年青人发起的。他
们的授课老师中，不少人在数学方面卓有成果，如以波莱尔可测函数等著称
的波莱尔（1871—1956）、勒贝格（1875—1941）和以解析函数正规族出名
的蒙戴尔等。 1927年，受到当时现代数学蓬勃初创的鼓舞和范德瓦尔登整
理代数学的著作《近世代数》的启示，他们决心组织起来，把数学重新整理
一遍。于是，便有了布尔巴基学派的开端。他们的固定成员有10名，平时
分散各地，每三个月聚会三天，每天下午有两个演讲共三个小时，其余时间
是讨论、交谈。早期的布尔巴基班以讨论时短兵相接，激烈地展开批判反批
判而著称，局外人有“疯子集会”的印象，但这也正是他们能保持生命力，
取得成功的原因之一。
到1972年，《数学原本》丛书已出版34卷，而且仍在继续撰写和出版，
布尔巴基集体仍保持着活力。集体中的成员到了50岁则必须退出，但仍可
以参加聚会、讨论和发表意见。老成员退出集体后，发表东西就要用他们自
己的名字来署名。该组织的成员曾有不扬名的誓言，但后来他们的名字对于
数学界已是不公开的秘密了。布尔巴基学派的较早期成员中有狄多涅（1906
—）、韦尔 （1906— ）、舍瓦莱（1909— ）、德萨特，波兰人爱伦伯格
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（1913—）是唯一的外籍人。第二次世界大战后，系统地发展了广义函数论
的施瓦兹（1915—）等人的参加，为学派更深入的研究作出了很大贡献。这
一数学学派在代数拓扑学、代数几何学、代数数论、群论、泛函分析等方面
都颇有影响。
（4）崛起的苏联数学学派
苏联20年代后发展起来的列宁格勒函数论学派中，最著名的是康托诺
维奇 （1912—），他在集合论、半空间泛函分析、泛函近似计算方面有突出
贡献，另外，他还于1939年撰写了规划论的第一部成形著作《生产组织与
计划中的数学方法》，发展了有利于国民经济的规划理论，荣获诺贝尔经济
学奖。莫斯科学派于20年代之后发展迅速，学派中最著名的人物是柯尔莫
哥洛夫（1903—）。他最初致力于三角级数、逼近论、测度论等方面的研究，
后来又涉及了拓朴学、力学和逻辑等，而最杰出的工作在概率论方面。
概率论是研究偶然、随机现象的规律性的数学理论。 17世纪中叶产生
的古典概率论，其主要工具是排列组合理论。概率论与解析方法相结合后引
出了正态分布、大数定理和最小二乘法。概率论的一个重要分支是随机过
程。 1906年，俄国数学家马尔科夫（1856—1922）研究随机过程，首先提
出了马尔科夫过程，其大意是：一个体系将来的发展只与体系现在的状况有
关，而与体系过去的历史无关，液体中粒子的无规则运动——布朗运动就是
马尔科夫随机过程的一个典型例子。
柯尔莫哥洛夫于 1939年将概率论公理化，巧妙地将实变函数论、测度
论和集合论用于概率论的研究。在极限定理和随机过程的研究中柯尔莫哥洛
夫也取得了重大成果。 20世纪20至30年代，被称为是概率论的英雄时代，
而苏联的概率论学派为现代概率论的发展作了许多工作。第二次世界大战后
形成三个概率论研究中�