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而苏联的概率论学派为现代概率论的发展作了许多工作。第二次世界大战后
形成三个概率论研究中心，苏联学派是当时最强的一个，其余两个分别在法
国和美国。
这一时期中，苏联的泛函分析学派和代数学派等，都有过出色的工作，
苏联的数学家在许多数学领域中作出了突出的贡献，例如，提出索波列夫空
间，解决希尔伯特第七个问题，关于解析函数边值理论的工作，提出对偏微
分方程的分类等。
第二次世界大战前，美国数学人才的培养要依赖欧洲，每年都有大批留
学生到法国巴黎和德国的哥廷根求学。 30年代起，美国出现了一批重大的
数学成果和国际上一流的数学家。希特勒上台后，犹太人和进步知识分子受
到迫害，欧洲的许多数学人才来到了人才政策宽松的美国，大大推动了这里
的数学和其他科学的发展。
3．应用数学的发展
近、现代数学中，把那些由数学学科本身内在的矛盾而推动发展的数学
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分支，即数学基础理论称为纯粹数学，而把解决生产和生活实际需要的数学
理论称为应用数学，后者在纯粹数学与其他科学技术之间起桥梁作用。
20世纪上半叶，应用数学领域的突破性发展，集中表现在运筹学与自动
控制方法的创立，以及第一台电子数值积分机和计算机的研制，它们都是应
战争的需要而产生的。有关计算机的研制和诞生的过程本书已有专章叙述。
早在1938年，英国空军就有了飞机定位和控制系统，并在沿海设立了
几个雷达站，以便监视敌机的动向。在后来的一次空防大演习中，他们发现，
这些雷达送来的信息，必须加以协调和关联，才能改进作战效能。为了解决
这一问题，英国空军成立了运筹学小组，从事警报和控制系统的研究，以便
更合理地布局，有效地发挥雷达等先进的设备的作用，实现用少量战斗机压
倒多数的德军战机的目的。此后的两年里，这个小组的任务扩大到防卫战斗
机的布置，以及对某些战事的结果进行预测等方面。运筹学的英文
Operations Research，原意是指作战研究。英国物理学等方面的不少专家
也参加了这一方面的研究。
运筹学工作者在第二次世界大战中研究并解决了战争中出现的许多课
题，如有效地训练技术员和战斗员，以最少人力取得最佳效果的问题；武器
兵力的配备部署问题，如适当配备护航舰队以减少船只受潜艇攻击的损失；
改进深水炸弹的投放，提高对德国潜艇的攻击率等；还有军需物品的运输、
装备性能的估价等问题。
美国后来也着手研究运筹学，并在太平洋战争中得到应用，收到了很好
的效果。
由于运筹学和自动控制技术在战争中的应用，实现了作战科学化，有力
地增强了盟军对法西斯势力的威力。
此外，在第二次世界大战中，以运筹学为基础的检验产品质量的质量管
理工作也逐步开展，这一方面的成果在战后的企业生产中发挥了很大作用。
第二次世界大战结束时，英国、美国和加拿大等国的军队中，运筹学工
作者有700多人。大战结束后，原来在军队中从事运筹学工作的人在英国成
立了一个民间组织——运筹学俱乐部，定期讨论如何将运筹学民用化的问
题，并取得一定成果。1950年，第一份运筹学杂志《运筹学季刊》在英国创
刊。 1952和1953年，美国和英国分别成立了运筹学学会。
运筹学后来在运输、建筑、纺织、钢铁、煤炭、农业等各个经济部门得
到了初步的应用。随着这门学科应用和研究的深入与发展以及研究成果的汇
集，逐渐形成了运筹学的系统理论。
1959年，国际上成立了运筹学会联盟。中国于1980年成立了运筹学会，
并于1982年加入世界运筹学会联盟。
随着运筹学研究的日益广泛和深入，虽然出现了各种对运筹学的理解和
定义，但一般地认为，运筹学是研究经济活动和军事活动中能用数量来表述
的有关营运、筹划与管理等方面问题的一个主要的应用数学分支，为一切执
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行部门对他们控制下的业务活动采取对策时，提供数量上根据的科学方法。
利用运筹学解决千差万别的实际问题时，常常从以下的几个方面进行考
虑。首先是确定目标，搞清楚所提出的任务要达到的目的，还必须弄清或预
测随时间的推移，决策者的认识和管理人员的水平是否发生变化，如何变
化。一般来说，任务都是有时间性的，用于特定任务的人力、物力、财力都
是有限的。因此，确定目标后，必须制定切实的方案，订出几个大的步骤和
完成各步骤的时间。之后，是建立模型，对于一个大型的复杂问题，可考虑
将它分成若干小型的能独立进行的活动，收集有关的数据，确定问题所涉及
的各种因素，搞清楚哪些是给定的，哪些是可以改变的（即变量），哪些是
可以控制的，哪些是不确定的，并设法建立这些因素之间应满足的各种关
系，建立某种准则以衡量所作出的决策的效果。在模型初步确定之后，就要
考虑所采用的解法以及对随机因素的处理等，解法或模拟或用理论演算方
法，也可以利用运筹学发展过程中已形成的算法。
运筹学后来形成许多分支学科，如对策论、规划论、排队论、搜索论、
库存论、最优化方法、质量控制等分支。一个大型复杂的运筹学问题往往可
以分成若干子问题，每个子问题可能属于不同的分支。这里简略介绍几个分
支。
对策论又叫博弈论。它的创始人是美籍匈牙利科学家冯·诺依曼，他的
著作《对策论与经济行为》是这门学科形成的标志。对策论是应用数学方法
来研究有厉害冲突的双方在竞争性活动中是否存在着制胜对方的最优化策
略，以及如何找出这些策略等问题。后来发展为，不仅考虑只有两方参加的
竞争性活动，还考虑多方参加的竞争性活动，而且，在这些活动中，参加者
不一定是完全对立的，允许某种联盟出现。对策论可应用于军事斗争研究以
及人类改造自然的活动的研究中。
规划论是研究计划管理工作中有关安排和估值的问题，是因解决物资调
运问题的需要而产生的，包括线性规划、非线性规划和动态规划等分支。前
苏联的康托诺维奇、美国的丹西格在规划论的创立和发展中作了很多有价值
的工作。康托诺维奇于1939年撰写的《生产组织与计划中的数学方法》是
规划论的第一部成形著作；丹西格则首创了解决线性规划问题的“单纯形
法”，使得线性规划成为规划论以及整个现代应用数学中最成熟的分支之
一。规划论研究的一个典型问题是所谓的“运输问题”，即把数量和单位运
价都已给定的某种物资从一处运到另一处，要求在供销平衡的条件下定出流
量和流向，使总运费为最少。通常把必须满足的条件称为“约束条件”，把
衡量指标称为“目标函数”。如果目标函数和描述约束条件的方程都是线性
的，则称所规划的问题为“线性规划”，否则为“非线性规划”。如果所考
虑的问题与时间有关，则是“动态规划问题”。
排队论亦称“公用事业理论中的数学方法”或“随机服务系统理论”，
主要研究随机性的拥挤现象。例如，用户或顾客多时就会出现排队问题，等
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待时间长短、排队长度等概率性问题就是排队论要研究的。最早的著述是丹
麦数学家爱尔朗于1908年发表的《排队论在丹麦电话系统中的使用》。排
队论也正是起源于有关自动电话的研究。在自动电话系统中，由于通话时间
的长短和叫号次数的多寡都是不确定的，因此，如果增加线路，通话成功的
机会增大了，但线路闲着的机会也同时增大了，也就是说，服务质量和设备
利用率之间有了矛盾。这一类矛盾现象的研究可用于机场、码头、车站等的
设计和调度中。例如，城市的公共汽车问题，在车站候车的人时多时少，调
度部门应派出多少辆车，如何派法，才能既保证汽车公司的收入，又使乘客
比较满意。又如，一个百货商店应安排多少售货员，一个工厂应有多少维修
人员等。这些都是存在某种随机性排队现象的问题。
最优化方法是研究工程技术、国防科学以及工商业贸易中如何利用现有
的人力、物力，使完成任务的质量最好、时间最节省、费用最少的问题。“优
选法”是最有典型意义的方法。这一分支在40年代以后有很大发展。
第二次世界大战期间，英国、美国和苏联的数学家应战事的需要，研究
雷达与高射炮配合射击敌机的问题。他们把随机过程的预测理论应用到火炮
自动控制上。为了准确地射击敌机，需要在极短的时间内计算并预测出它的
位置和速度，并及时校正火炮的方位和仰角，这种需求促进了自动控制方法
的进步，并促使了电子计算机的诞生。
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五、现代化学的进展
1．物理学革命对现代化学的影响
19世纪末至20世纪初的物理学革命，特别是量子物理领域的革命对化
学的发展产生了深刻的影响。而现代化学中具有重大意义的新突破，则是量
子化学的建立。它给20世纪的化学带来了巨大的变革。
1913年，丹麦物理学家玻尔深入细致地研究了大量精确的光谱数据和描
述谱线规律的经验公式，在卢瑟福原子模型的基础上引入普朗克的量子概
念，将量子概念用于电子轨道和角动量，并结合了当时物理学前沿的一些最
新研究成果，提出了原子结构的量子化轨道理论。 1916年，德国化学家考
塞尔 （1888—1956）和美国化学家路易斯（1875—1946）将玻尔的这种新理
论用于研究离子键和共价键的形成。路易斯提出两个原子可以共有一对或多
对电子，而共用电子对的结合方式称为共价键。考塞尔认为，金属元素的外
层电子一般比4个少，容易失去电子成为带正电的阳离子；非金属元素的外
层电子一般比4个多，容易获得电子成为带负电的阴电子，失去或得到的电
子数，是元素的正原子价数或负原子价数。他们的工作奠定了量子化学的基
础。
1926年1月至6月，薛定谔以《作为本征值问题的量子化》为总标题，
连续发表了四篇论文，完成了波动力学的创立工作。而波动力学和海森堡的
矩阵力学统称量子力学。1927年，德国人海特勒（1904—）和美籍德国人伦
敦 （1900—1954）首先采用薛定谔的波动力学方程来研究氢分子，阐述了共
价键的形成和作用，取得了量子化学的第一批成果。他们的价键理论认为，
分子中电子的运动是集中在两个原子核之间的，只要它们自旋反平行，就可
以两两偶合成类似电子桥似的化学键。这种新概念解释了化学领域中许多过
去未能解释的现象，并能较好地与实验结构相符合，初步实现对化学键形成
过程的定量研究。但这种价键理论还有一些不能解释的化学现象。
1931年，美国人鲍林（1901—）等从电子具有波的性质，而波可以迭加
的观点出发，提出杂化轨道理论，认为碳原子和周围电子成键时，所用的不
是原来的纯粹轨道，而是经过迭加混杂而得到的“杂化轨道”，圆满地解释
了碳四面体结构的价键状态。
30年代，还提出另一种新的化学键理论——分子轨道理论，认为原子形
成分子后，个性消失，因而应着重研究分子中某个电子运动的规律，用电子
波函数来描述化学键的本质。分子轨道理论和海特勒等的价键理论相比可以
解释更多的化学现象。
50年代，一种新的价键理论即配位场理论，发展了起来，在解释络合物
的性能�