按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页，按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页，按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部！
————未阅读完？加入书签已便下次继续阅读！
与此书一起，同时也藏有一部宣德八年（即李朝世宗十五年，1433）朝鲜
庆州府刻版的《杨辉算法》。从版刻形式等方面来辨识，两部书是相同的，
从而有人推断这部《算学启蒙》也是1433 年朝鲜庆州府刻本。这可能要算
是当今世界上最早的传世刻本。在《李朝实录》中也记有世宗本人曾向当
时的副提学郑麟趾学习《算学启蒙》的史料。
《算学启蒙》传入日本的时间也已不可考，是久田玄哲在京都的一个
寺院中发现了这部书，之后他的学生土师道云进行了翻刻（日本万治元年，
1658，京都）。宽文12 年（1672）又在江户（今东京）出版了星野实宣注
解的《新编算学启蒙注解》3 卷，元禄三年（1690）还出版了著名的和算
家建部贤弘注释的《算学启蒙谚解大成》7 卷。《算学启蒙》对日本和算
的发展有较大的影响。
《算学启蒙》一书在朝鲜和日本虽屡有翻刻，但明末以来，在中国国
内却失传了。清末道光年间罗士琳重新翻刻《四元玉鉴》时，《算学启蒙》
尚无着落。后来罗士琳“闻朝鲜以是书为算科取士”，请人在北京找到顺
治十七年（1660）朝鲜全州府尹金抬振所刻的翻刻本，1839 年在扬州重新
刊印出版。这个本子，后来成为中国现存各种版本的母本。清代对《算学
启蒙》进行注释的有王鉴所著《算学启蒙述义》（1884）和徐凤诰所著《算
学启蒙通释》（1887）。
2。《四元玉鉴》
与《算学启蒙》相比，《四元玉鉴》则可以说是朱世杰阐述自己多年
研究成果的一部力著。全书共分3 卷，24 门，288 问。书中所有问题都与
求解方程或求解方程组有关，其中
四元的问题（需设立四个未知数者）有7 问（“四象朝元”6 问，“假
令四草”1 问）；
三元者13 问（“三才变通”11 问，“或问歌彖”和“假令四草”各1
问）；
二元者36 问（“两仪合辙”12 问，“左右逢元”21 问，“或问歌彖”
2 问，“假令四草”1 问）；
一元者232 问（其余各问皆为一元）。
可见，四元术——多元高次方程组的解法是《四元玉鉴》的主要内容，也
是全书的主要成就。
《四元玉鉴》中的另一项突出的成就是关于高阶等差级数的求和问
题。在此基础上，朱世杰还进一步解决了高次差的招差法问题。
《四元玉鉴》一书的流传和《算学启蒙》一样，也曾几经波折。这部
1303 年初版的著作，在15 和16 两个世纪都还可以找到它流传的线索。吴
敬所著《九章算法比类大全》（1450）中的一些算题，和《四元玉鉴》中
的算题完全相同或部分相同。顾应祥在其所著《孤矢算术》序言（1552）
中写道：“孤矢一术，古今算法载着绝少，。。《四元玉鉴》所载数条。”
周述学所著《神道大编历宗算会》卷三之首曾引用了《四元玉鉴》书首的
各种图式，书中有些算题也与《四元玉鉴》相同，卷十四作为“算会圣贤”
列有“松庭《四元玉鉴》”。可见顾周二人都曾读到过《四元玉鉴》。清
初黄虞稷（1618—1683）《千顷堂书目》记有“《四元玉鉴》二卷”。卷
数不符。梅■成《赤水遗珍》（1761）中曾引用过《四元玉鉴》中的两个
题目，可见清初时此书尚未失传。
乾隆三十七年（1772）开《四库全书》馆时，虽然挖掘出不少古代数
学典籍，但朱世杰的著作并未被收入。阮元、李锐等人编纂《畴人传》时
（1799）也尚未发现《四元玉鉴》。但不久之后阮元即在浙江访得此书，
呈入《四库全书》，并把抄本交李锐核算（未校完），后由何元锡按此抄
本刻印。这是1303 年《四元玉鉴》初版以来的第一个重刻本。《四元玉鉴》
被重新“发现”之后，引起了当时许多学者的注意，如李锐（1768—1817）、
沈钦裴（1829 年写有《四元玉鉴》序）、徐有壬（1800—1860）、罗士琳
（1789—1853）、戴煦（1805—1860）等人，都进行过研究。其中，以沈
钦裴和罗士琳二人的工作最为突出。
1839 年罗士琳经多年研究之后，出版了他所著的《四元玉鉴细草》一
书，影响广泛。罗氏对《四元玉鉴》进行了校改并对书中每一问题都作了
细草。但是他对此书关键问题（四元消法和级数求和）的理解，尚有需进
一步研究者。与罗士琳同时，沈钦裴也对《四元玉鉴》作了精心的研究，
每题也作了细草，经对比，沈氏《细草》比罗氏《细草》要更符合朱世杰
原意。沈氏《细草》仅有两种抄本传世（其中一种是全本），现均收藏于
北京图书馆。
清代数学家李善兰曾著有《四元解》（1845），但此书是作者以已意
解四元方程组，对了解朱世杰原意帮助不大。其后陈棠著《四元消法简易
草》（1899），卷末附有“假令四草”的“补正草”，对理解朱世杰四元
术是有帮助的。
日本数学史家三上义夫在其所著《中国及日本数学之发展》（Thedevelopment of mathematics in China and Japan，1913）一书中将《四
元玉鉴》介绍至国外。其后康南兹（E。L。Konantz）和赫师慎（L。Van Heé）。。
分别把《四元玉鉴》中的“假令四草”译为英法两种文字。1977 年华裔新
西兰人谢元祚（J。Hoe）将《四元玉鉴》全文译成法文，并写了关于《四元
玉鉴》的论文。
朱世杰的数学成就可简述如下：
1。四元术
四元术是在天元术基础上逐渐发展而成的。天元术是一元高次方程列
方程的方法。天元术开头处总要有“立天元一为××”之类的话，这相当
于现代初等代数学中的“设未知数x 为××”。四元术是多元高次方程列
方程和解方程的方法，未知数最多时可至四个。四元术开头处总要有“立
天元一为××，地元一为○○，人元一为△△，物元一为**”，即相当于
现代的“设x，y，z，u 为××，○○，△△，**”。天元术是用一个竖列
的筹式依次表示未知数（x）的各次幂的系数的，而四元术则是天元术的推
广。按莫若为《四元玉鉴》所写的序言所记述，四元式则是“其法以元气
居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上，阴阳升降，
进退左右，互通变化，错综无穷”，此即在中间摆入常数项（元气居中），
常数项下依次列入x 各次幂的系数，左边列y，y2，y3，。各项系数，右边
为z，z2，z3，。各项系数，上边为u，u2，u3，。各项系数，而把xy，yz，
zu，。，x2y，y2z，z2u，。各项系数依次置入相应位置中（如图1）。例
如：x＋y＋z＋u=0，即可以下列筹式表示（如图2）。而（x＋y＋z＋u）
2=A，即可以图3 所示之筹式表示之，即将
y4u4 y3u3 y2u4 yu4 u4 zu4 z2u4 z3u4 z4u4
y4u3 y3u3 y2u3 yu3 u3 zu3 z2u3 z3u3 z4u3
y4u2 y3u2 y2u2 yu2 u2 zu2 z2u2 z3u2 z4u2
y4u y3u y2u yu u zu z2u z3u z4u
y4 y3 y2 y 无z z2 z3 z4
xy4 xy3 xy2 xy x xz xz2 xz3 xz4
x2y4 x2y3 x2y2 x2y x2 x2z x2z2 x2z3 x2z4
x3y4 x3y3 x3y2 x3y x3 x3z x3z2 x3z3 x3z4
x4y4 x4y3 x4y2 x4y x4 x4z x4z2 x4z3 x4z
图 1
（X＋Y＋Z＋U）2=X2＋Y2＋Z2＋U2＋2XY＋2XZ＋2XU＋2YZ＋2YU＋2ZU
中的2xy，2yz。等记入相应的格子中，而将不相邻的两个未知数的乘积如
2xu，2yz 的系数记入夹缝处，以示区别。图3 即是《四元玉鉴》书首给出
的“四元自乘演段之图”（为了方便，我们用现代通用的阿拉伯数码代替
了原图中的算筹）。如此记写的四元式，既可表示一个多项式，也可以表
示一个方程。
四元式的四则运算如下进行。
（1）加、减：使两个四元式的常数项对准常数项，之后再将相应位置
上的两个系数相加、减即可。
（2）乘：
1）以未知数的整次幂乘另一四元式，如以x，x2，x3，。乘四元式，
则等于以该项系数乘整个四元式各项再将整个四元式下降，以x 乘则下降
一格，x2乘则下降二格。以y 的各次幂乘则向左移，以z 乘则右移，以u
乘则上升。
2）二个四元式相乘：以甲式中每项乘乙式各项，再将乘得之各式相加。
（3）除（仅限于用未知数的整次幂来除）：等于以该项系数除四元式
各项系数之后，整个四元式再上、下、左、右移动。上述四则运算也就是
莫若《四元玉鉴》序言中所说的“阴阳升降，进退左右，互通变化，错综
无穷”。在当时中国数学尚缺少数学符号的情况下，朱世杰利用中国古代
的算筹能够进行如此复杂的运算，实属难能可贵。
朱世杰四元术精彩之处还在于消去法，即将多元高次方程组依次消
元，最后只余下一个未知数，从而解决了整个方程组的求解问题。其步骤
可简述如下：
1）二元二行式的消法
例如“假令四草”中“三才运元”一问，最后得出如下图的两个二元
二行式，这相当于求解
。 （7 ＋ 3z …z2 ）x ＋ （…6 …7z …3z2 ＋ z3） = 0，
。 （13 ＋ 11z ＋ 5z 2 …2z3）x ＋ （…14 …13z …15z2 …5z3 ＋ 2z4） = 0；
或将其写成更一般的形式
ìAx ＋ A = 0，
10
Bx ＋ B = 0，
。 10
其中A0，B1和A1，B0分别等于算筹图式中的“内二行”和“外二行”，都
是只含z 而不含x 的多项式。朱世杰解决这些二元二行式的消去法即是“内
二行相乘、外二行相乘，相消”。也就是
F（z）=A0B1…A1B0=0。
此时F（z）只含z，不含其他未知数。解之，即可得出z 之值，代入上式
任何一式中，再解一次只含x 的方程即可求出x。
2）二元多行式的消法
不论行数多少，例如3 行，则可归结为
í
A x2 ＋ Ax ＋ A = 0， 1
。 2 10 （）
B x 2 ＋ Bx ＋ B = 0。 （）
。 210 2
以A2乘（2）式中B2x2以外各项，再以B2乘（1）式中A2x2以外各项，相
消得
C1x＋C0=0。q （3）
以x 乘（3）式各项再与（1）或（2）联立，消去x2项，可得
D1x＋D0=0。 （4）
（3），（4）两式已是二元二行式，依前所述即可求解。
3）三元式和四元式消法
如在三元方程组中（如下列二式）欲消去y：
Ay ＋ Ay ＋ A = 0， （）
。 2210 5
í 2
。 By ＋ B y 1 ＋ B = 0， 6
20 （）
式中诸Ai，Bi均只含x，z 不含y。（5），（6）式稍作变化即有
（A y 2 ＋ A ）y ＋ A0 = 0， 7
ì 1 （）
í
（B y 2 ＋ B ）y ＋ B0 = 0。 8
。 1 （）
以A0，B0与二式括号中多项式交互相乘，相消得
C1y＋C0=0。（9）。。
（9）式再与（7），（8）式中任何一式联立，相消之后可得
D1y＋D0=0。（10）。。
（9），（10）联立再消去y，最后得
E=0，。。 （11）
E 中即只含x，z。再另取一组三元式，依法相消得
F=0。（12）。。
（11），（12）只含两个未知数，可依前法联立，再消去一个未知数，即
可得出一个只含一个未知数的方程，消去法步骤即告完成。
以上乃是利用现代数学符号化简之后进行介绍的，实际上整个运算步
骤都是用中国古代所特有的计算工具算筹列成筹式进行的，虽然繁复，但
条理明晰，步骤井然。它不但是中国古代筹算代数学的最高成就，而且在
全世界，在13—14 世纪之际，也是最高的成就。显而易见，在一个平面上
摆列筹式，未知数不能超过四元，这也是失世杰四元术的局限所在。
在欧洲，直到18 世纪，继法国的■．贝祖（Bézout，1779）之后又有
英国的J．J．西尔维斯特（Sylvester，1840）和A。凯莱（Cay…ley，1852）
等人应用近代方法对消去法进行了较全面的研究。
2．高阶等差级数求和
在中国古代，自宋代起便有了关于高阶等差级数求和问题的研究。在
沈括（1031—1095）和杨辉的著作（1261—1275）中，都有各种垛积问题，
这些垛积问题有一些就是高阶等差级数问题。另外，在历法计算过程中，
特别是在计算太阳在黄道上的精确位置时，要用到内插法。在宋代历法中，
已经考虑并用到三次差的内插法。这也是一种高阶等差级数的求和问题。
朱世杰在《四元玉鉴》中又把这一问题的研究进一步深化。据研究，
朱世杰已经掌握了如下一串三角垛的公式，即
茭草垛
1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 。 ＋ n = r = nn ＋ 1
（），