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念与公式方面的错误应当指出下列各点。卷三“带分母用约分法”节，对
命分的理解有误；倦六“带从开平方法歌”节，由勾股积、勾弦差（股弦
差）求勾股弦各数误用二次方程；卷七“弧矢图”节，所用弧矢公式有误；
卷八“筑堤歌”节，所用堤积公式误；卷十二“较求勾股弦共歌”节，开
门去阈题应求弦而误求股；卷十二末题测海岛高远公式误。
该书诸多材料引自他书。查证确凿者有杨辉《田亩比类乘除捷法》
（1275）、《续古摘奇算法》（1275），顾应祥（1483—1565）《勾股算
术》（1533）、《弧矢算术》（1552）等四种。此外，某些材料与安止斋
《详明算法》（日本今传据明洪武癸丑江西刊本之朝鲜铜活字本）、吴敬
《九章详注比类算法大全》（1450）的内容相同或相近。例如，卷六演段
根源开方图解等内容出自杨书，卷八错误的堤积公式与安书同，卷七错误
的弧矢公式与吴书同，卷三的方圆论说出自顾书。
明代数学的突出成就是珠算的完善与普及。从这个意义上看，《算法
统宗》是明代数学水平的代表。程大位之前的珠算书，今传仅有徐心鲁《盘
珠算法》2 卷（1573）、柯尚迁《数学通轨》（1578）、余■《一鸿算法》
（1584）、朱载■（1536—1611）《算学新说》（1584）等四种。前三种
内容浅显，后一种为音律而作，均非系统的数学著作。《算法统宗》以《九
章算术》的体例、系统的珠算知识对明末乃至清代的珠算普及与传统数学
的研究产生深刻的影响。此外，当时商业、手工业的发展对实用算术（包
括珠算、写算及指算等算法）的需要，万历年间清丈土地的情况，象数学
对数学的影响等在该书中亦有所反映。这些内容可视为经济史料、科学思
想史料予以探讨。
《算法统宗》的版本甚多，至今尚无确切统计。今传有17 卷5 集本、
17 卷4 集本、12 卷本、13 卷本以及各种增删改编本。其中以康熙五十五
年程光绅等翻刻17 卷4 集本为善。日本今传延宝三年（1675）汤浅市郎
17 卷5 集旁训本等版本。
文献
原始文献
［1］（明）程大位：新编直指算法统宗，1716。
［2］（明）程大位：算法纂要，1598。
研究文献
［3］阮元：程大位传，见《畴人传》卷三十一，商务印书馆，1955。
［4］武田楠雄：算法统宗成立■过程，科学史研究，1954，28，29。
［5］严敦杰：明清数学史中的两个论题——程大位和梅文鼎，安徽历
史学报，1957，1，第48—52 页。
［6］钱宝琮：中国数学史，科学出版社，1964。
［7］仲田纪夫：算法统宗■日本数学教育■原点的意义，琦玉大学纪
要（教育），1981，30。
［8］李迪：国内收藏的明刊本与抄本《算法统宗》与《算法纂要》，
见《中国数学史论文集》（二），山东教育出版社，1986。
［9］李培业：算法纂要校释，安徽教育出版社，1986。
［10］严敦杰、梅荣照：程大位及其数学著作，见《明清数学史论文
集》，江苏教育出版社，1990。
［11］李兆华：《算法统宗》试探，自然科学史研究，9（1990），4，
第308—317 页。［12］梅荣照、李兆华：算法统宗校释，安徽教育出版社，
1990。
朱载■。。
戴念祖
朱载■字伯勤，号句曲山人，自号狂生、山阳酒狂仙客，谥号端清。
明嘉靖十五年（ 1536 年）生于怀庆府（今河南沁阳）；万历三十九年四
月七日（1611 年5 月18 日）卒。物理学、天文学、数学。
朱载■是明朝开国皇帝朱元璋的九世孙，郑恭王朱厚烷之子。郑王封
地在怀庆府，即今河南省沁阳县。朱载■11 岁时，册封为郑王世子。
据顺治年间编的《河南通志》载，朱载■从小喜欢音乐、数学，聪敏
过人，“无师授，辄能累黍定黄钟，演为象法、算经、审律、制器，音协
节和，妙有神解”。朱载■自述道：“余少嗜音律，长而益得其趣。”又
云其弱冠之时“数学之旨颇得其要”。
然而，嘉靖二十九年（1550），刚刚15 岁的朱载■却经历了家族内争
嫡夺爵的巨大痛苦。他因而从王子降为平民。事件的发生纯属世宗帝的昏
庸。
朱载■的父亲、郑王朱厚烷“自少至老，布衣蔬食”，且笃信儒家教
义。他与好道教、奢侈至极的世宗帝在观念上有分歧。嘉靖二十七年
（1548），他上书规谏世宗帝，世宗朱厚■不听劝告，反责厚烷有意毁谤。
值此时，厚烷的叔伯夺爵心切，乘机诬告厚烷有叛逆罪。于是，世宗帝将
朱厚烷削爵，禁锢于祖籍安徽凤阳。
《明史·诸王列传》载，“世子载■笃学有至性，痛父非罪见系，筑
土室宫门外，席藁独处者十九年”。即从嘉靖二十九年到隆庆二年（1568）
的19 年间，朱载■离开王府殿堂后，专心攻读、研究学问。嘉靖三十九年
（1560），他写成了音乐上的大型处女作《瑟谱》一书，是书署名“山阳
酒狂仙客”，自号“狂生”。在他“席藁独处”的岁月里，他还写了许多
歌词，对当时的社会现实作了揭露和诅咒。他借孔圣人之口，骂钱、骂势、
骂各种吃人的“鬼”。其言行与其号相吻合。他在《醒世词·平生愿》中
写道：“再休提无钱，再休提无权，一笔都勾断。”“种几亩薄田，栖茅
屋半间，就是咱平生愿。”
世宗帝卒，穆宗帝朱载■登基。在改朝换代、大赦天下之时，隆庆元
年（1567）复郑王朱厚烷爵位，并复载■世子冠带。
万历十九年（1591），朱厚烷卒。按理，载■当嗣爵位。然而，他从
万历十九年到三十四年（1606）累疏恳辞，要让出国爵。经过这15 年7
次奏疏之后，终于获准。谁也料想不到，他将爵位让给当年诬告他父亲有
叛逆罪的族叔家系之中。一个封建时代的王子，如此高风亮节，令人肃然
起敬！他19 年受难，15 年让爵，是一个真正的人，伟大的人。
自1560 年《瑟谱》成书到1581 年，经过20 年的努力，朱载■终于完
成了《律学新说》、《算学新说》、《历学新说》、《乐学新说》、《律
吕精义》等书的初稿，在科学和音乐学上作出了许多重要发现。流传至今
的著作约60 余卷上百万字，其中大部分收集在《乐律全书》之中。这些著
作涉及音律学、数学和珠算、天文历法、计量学、物理学、音乐学、乐器
制造、乐谱和舞谱、文学、绘画等丰富内容。从1595 到1606 年，朱载■
又用了10 年时间，全力从事雕版、印刷自己的著作。这些雕版印书即是我
们现在还能读到的《乐律全书》。
由于雕版印书的劳累和让爵年间的是非缠绕，朱载■从1606 年起宿疾
举发、连年未瘳。让出国爵后，他迁居怀庆府城外，自称道人。晚年务益
著书，过着纯学者式生活。
朱载■的学术成就主要表现在以下几方面。
1．创建十二平均律
朱载■处在我国的资本主义初次萌发于坚实的封建土壤的时代，当时
的城市发展，促使音乐、戏剧、舞蹈、说唱和器乐等整个艺术的空前繁荣。
这个时代要求解决音乐上的旋宫理论和统一音高标准。顺应了时代的需
要，朱载■涉足了自然科学和艺术科学的广泛领域，攀上了一个又一个科
学高峰。
创建十二平均律，并在数学上找到解决它的方法，是朱载■在科学和
音乐文化上的伟大成就之一，其时间要比获得同一成果的欧洲数学家S．斯
蒂文（Stevin）约早20 年。
在朱载■之前的近千年间，无论中外，人们都在探索音乐上的旋宫问
题。但是，基于三分损益法或五度相生法，连续进行12 次运算之后，并不
能返相为宫。解决这个问题成了摆在人们面前的最难的科学和音乐学的课
题之一。我们现在知道，在一个八度内设定12 个半音，建起12 个相等音
高的“梯级”，问题就全部解决了。可是，在朱载■的时代，要产生这样
的科学概念并非容易，更何况当时还没有求解等比数列的数学方法。
上述设想也就是我们今天所说的十二平均律，因为在一个八度内12
个半音的音高相等。在音乐理论上解决旋宫问题的必然而且唯一的结果是
发现十二平均律。朱载■称它为“新法密率”。他彻底探查了前人走过的
各种道路，自己又经过反复实验和摸索，终于使他领悟到从数理上旋宫的
可能性，并找到了解决它的科学方法。
朱载■设定清黄钟的弦长为1 尺，低八度的黄钟弦长为2 尺。也就是，
他按照中国传统，以弦线长度的比例2 为八度音高的数值。他摒弃了历代
惯用的三分损益法，而是将八度音程的弦长比开12 次方，得到■
=1。059463。。朱载■称这个数值为“密率”。或“应钟律数”。然后，他
又将八度值2 除以“密率”，累除12 次。这就得到了相应于平均律中八度
内12 个半音的音高数值。因此，朱载■的“新法密率”实际上就是以■为
公比的等比数列。
朱载■以文字叙述的方式将十二平均律的计算方法表述为
Tn ／Tn＋1 = 122，（n=0 ，， 12，。，12）
当n=0 时，T1 为黄钟；当n=1 时，T2 为大吕；。。当n＝12 时，T13
为清黄钟。在《算说新说》、《律吕精义·内篇·不用三分损益第三》中，
朱载■明白无误地表述了这个公式。他按照音高顺序，将倍、正、半共36
律的计算方法全都列出来了。其中的数字都是25 位数，而今天的袖珍电子
计算器也只有十位数。可见他作学问的认真和所费劳动之巨。
朱载■将十二平均律定义为：
“创立新法，置一尺为实，以密率除之，凡十二遍。”
“十二律黄钟为始，应钟为终，终而复始，循环无端。。。是故各律
皆以黄钟。。为实，皆以应钟倍律数1．059463。。为法除之，即得其次
律也。”（省略号为25 位数字）
欧美国家近年出版的《新格罗夫音乐和音乐家辞典》和《物理学辞典》
分别将十二平均律定义为：“这个最简单的方法是要为半音选择一个正确
的比例，然后把它运用十二次。”“平均律的半音音阶在一个八度中有十
三个音，任何相邻两音之间的音程是■。”朱载■的概述和今天的观点何
其相似乃尔！
朱载■还将他的平均律数值运用到管上，提出了适合我国传统律管的
管口校正公式，并创制了我国历史上第一套按平均律发音的律管。他使十
三支管的长度和平均律各律数值相对应，并使各律管的内径随音高递增而
递减。其递减式为
dn/ 242 =d n＋1，（n=0 ，， 2
1 ，。，12）
其中为管内径。两个相邻律管的内径之比为d 242。这就是他的闻名的
“异径管律”。由于当管长与弦长一致时，管音决不会与弦音相同，因而
必须对管口作校正。朱载■冲破历代“同径管律”的束缚，采用缩小管径
的方法以达到校正管口的目的。其相邻两律管径的比例数是可以用今天的
数理声学推导出来的。中国的四大发明传到欧洲后，经过改良、发展而日
新月异。惟有朱载■创建的十二平均律，直到现在，人们只要照抄、照用
其计算结果，而不必自己再费心。
2．在数学和天文历法上的成就
朱载■的数学工作除在《律学新说》、《律吕精义》中有所反映外，
他还著有几种数学著作：《算学新说》、《嘉量算经》和《圜方勾股图解》
等。他清楚地认识到数学的重要性，把它比喻为创建新理论的“羽翼”。
虽然他在圆周率的计算方面不如祖冲之、刘徽精确，但他在数学上仍是有
所建树的一位科学家。
朱载■在创建十二平均律的同时，也是世界上第一个正确的解答等比
数列的人。在西方，数学家斯泰芬于1585—1605 年之间作出了同样的成
果，但比朱载■晚了5—25 年。
已知平均律中相差八度（数值为2）的首尾两个音的音高或弦长，要
以等比数列的方法计算其他十一个音，除了前述找出公比数之外，还可以
直接求解。在这样的一个等比数列中，设首项即倍黄钟为2，末项即正黄
钟为1，项数为12，如表1。朱载■在《律吕精义·内篇》中先解出了第
7项（蕤宾），即该等比数列的中项，其值为
2。对其他各项，他在《算
学新说》中写道：
“以黄钟正律乘蕤宾正律得平方积。。，开平方所得，即夹钟正律。”
（省略号为25 位数字，以下同。）
“以黄钟正律乘蕤宾倍律得平方积。。，开平方所得，即南吕倍律。”
“置夹