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中国古代科学家传记-第175章

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写了又一篇名为“弧三角形”的论文,连同旧著《递兼数理》合为一册,
“以广赠算师”,这就是《衡斋算学》第四册。

嘉庆六年(1801),汪莱由歙县至扬州,在翰林秦恩复家教馆。秦氏
所居五笥仙馆藏书颇丰,他家中也常有学者名流聚会或造访,汪莱在此读
到了宋元算家秦九韶、李冶的著作,并得以与张敦仁、江藩、钱献之等学
者相识。在与江藩共同讨论秦、李著作的基础上,撰成有关方程根之个数
的《衡斋算学》第五册。同年秋天,汪莱离开扬州赴六安,途中写成论述
弧矢关系的《衡斋算学》第六册。年底,汪延麟在扬州为他刊刻了六卷本
的《衡斋算学》。


汪莱与李锐的第一次会面大约在嘉庆五年(1800)。汪莱于《衡斋算
学》第五册书成后,曾分别送寄张敦仁和焦循,张氏“疑之,谓其过苦”;
焦氏则将书稿示于李锐,李氏于嘉庆七年(1802)读到后叹为“是卷穷幽
极微,真算氏之最也”,遂作跋文一篇,文中将汪莱书中的诸例予以概括,
并称“计余与孝婴别已二载”。嘉庆八年(1803),汪莱自六安返扬州,
风闻李锐对其第五册算书有所讥评,遂到焦循家中问询,焦乃出示李锐所
撰跋文,汪莱阅后欣然说道:“尚之固不我非也。”同时汪莱也指出了李
锐所概括的第二例尚有语病。嘉庆九年(1804),张敦仁官任扬州知府,
李锐应召来当他的幕宾。其时注莱、焦循、凌廷堪、沈钦裴等人都在扬州,
彼此切磋学问,十分热闹。汪莱则进一步钻研代数方程理论,撰成《衡斋
算学》第七册。至此,汪莱的主要数学著作都已完成。

嘉庆十年(1805),夏銮来到歙县任新安训导,到任后四处访贤。这
年夏天,汪莱回乡,听说夏銮来找过他,立即前往谒见,两人“一见称莫
逆,与语终日”,汪莱告辞后夏銮“目送之,曰‘此天下奇才也。’”一
月后,汪莱经夏銮举荐参加岁试,成为廪生,后又被举荐为优行督学。夏
銮又先后令门生胡培■、长子夏■、四子夏燮向汪莱学习数学。同年,汪
莱在歙县读到阐述明代大统历法的《大统锦灵经》,作读书记一篇。嘉庆
十一年(1806),汪莱再次去扬州课馆,当时焦循也在城中设馆,两人经
常往来讨论数学问题。这年夏天,两江总督奉旨测量黄河新、旧入海口之
商程,遂请汪莱主持完成了测算任务。嘉庆十二年(1807),汪莱在歙县
参加考试,以优行第一的成绩考取了八旗官学教习。

到北京后,汪莱被选入国史馆参与纂修天文、时宪二志的工作。在此
期间,他曾读到明安图的遗稿《割圆密率捷法》,对数年前自己在第六册
算书中对杜德美(P。Jartoux,1668—1720)术的指摘有所检讨。国史馆的
任务完成后,汪莱被派往石埭县任训导。

嘉庆十六年(1811),汪莱任石埭教谕,同年将其第七册算书单独付
梓。诸生员中有喜爱数学者,他都予以教诲。在石埭任上三年,汪莱过着
廉洁克己的生活。与外界学术交往的中断和自己的数学成果不能为当时所
谓考据学家们所承认,使他心情十分沉郁,加上贫病袭扰,最终卒于任上。
汪莱死后,家中萧然,囊无余资,石埭百姓出资送其归葬故里,埋于歙县
梅岭之将军打坐坞。

汪莱去世时,长子光恒才3 岁,次子光谦不足周月。汪光恒长大后有
志继承父学,撰有《小恒算说》4 卷,可惜早卒。

汪莱生于清中乾嘉时代,其时学术风气以复古为宗旨,以考据相标榜。
汪莱的家乡歙县,是清代皖派朴学的重要阵地。汪莱早年慕其同乡江永、
戴震、金榜、程瑶田之学,“力通径史百家及推步历算之术”。及至青壮
年,又长年寄居于苏、扬等当时的经济、文化中心,得以接触焦循、李锐
等吴派朴学在天文、数学领域的杰出代表。皖、吴两派朴学大师虽然都提


倡籍历算以明经,但在对待当时所谓西学的态度上是有所区别的。这一点,
可以从钱大昕致戴震的一封信中看出端倪,信中直言不讳地批评戴震的老
师江永“大率祖欧罗巴之说”,最终“则为西人所用而已”,进而诘问戴
震:“当今学贯天下者莫如足下,而独推江无异辞,岂少习于江而特为之
延誉耶?”在清朝政府对外采取闭关政策,对内大兴文字狱的政治气侯下,
这一指谪就显得更加咄咄逼人。汪莱本是一介寒儒,对于超出学术之外的
纷争没有兴趣;但是由于他的出身和他在著作中习用所谓西学的数学表达
方式,他的数学成就往往得不到时人的理解与赏识。

汪莱生前,《衡斋算学》已出过三种刊本,但是都不是足本。他去世
后,夏銮十分关心他的遗作,嘱咐长子夏■与胡培■加以搜集整理,后成
《衡斋遗书》9 卷,但未能付梓。咸丰四年(1854),夏銮四子夏燮调任
鄱阳(今江西波阳)知县,即从胡培■后人处访得《衡斋遗书》稿本,连
同《衡斋算学》7 册一道,刊成《衡斋算学遗书》合刻本,汪莱的孙子汪
廷栋参加了该书的校勘工作。《衡斋遗书》包括“覆载通几”1 卷,“参
两算经”1 卷,“乐律逢源”l 卷,“考定磬氏倨勾令鼓旁线中悬而悬居线
右解”l 卷、“校正九章算术及戴氏订讹”1 卷、“今有录”1 卷,以及《衡
斋文集》3 卷;《衡斋文集》中也收有多篇关于天文或数学的论文。

《衡斋算学》第一册和第四册之前半部分都是讨论球面三角形解法
的。当时传入的三角学,皆以与圆有关的线段来定义三角函数,所以又称
“割圆八线”。这种定义应用于钝角或更大的角度,势必引起符号判断或
一值对应多角的混乱,这在当时是一个相当麻烦的问题。梅文鼎、江永、
戴震、焦循都曾著书讨论,然而系统的论述却始于汪莱。在第一册算书中,
汪莱罗列了“弧角比例锐钝大小知不知”33 条、“正弧三角锐钝大小相从”
9 条以及“平三角形边角比例锐钝知不知”5 条,它们都是关于判断三角形
是否存在唯一解的问题。举例来说,汪莱称:“原所知角锐,对边小,又
所知角锐,审又所知角小于原所知角则所求对边小,若大于原所知角则不
能定。”就是说,已知球面三角形ABC 中的两个锐角A、B 以及一对边a,
求另一对边b。若B<A,则b<a 且唯一确定;若B>A,则b>a 但不唯一
确定,这就是“不知”或“不能定”。第四册算书的前半部分罗列出“弧
三角形有无定限”40 条,则全是仅有一解的球面三角问题。其中有些条目
不包括在第一册算书之内,例如他论述了球面三角形的以下性质:若a+b>π,则c<2π…(a+b);若a+b<π,则c<(a+b);c>|a—b|等等。
除此之外,第一册算书还专门论述了解球面三角形的“垂弧法”、“次形
法”和“以量代算法”,这些内容基本上都是对梅文鼎《弧三角举要》的
进一步阐释;但是汪莱的“量角度新法”利用极三角实现球面投影图内半
周角度的“以量代算”,系对梅氏《环中黍尺》中球面三角图解法的一个
发展。

《衡斋算学》第二册专门讨论已知勾股积与勾弦和求其他元素的勾股


和较术问题。梅■成在《数理精蕴》和《增删算法统宗》中曾提出过如下
方法:设勾股形面积为A,勾弦和为K,则解三次方程

x3 …K 
x2 + 4A2 
= 0,

2 2K 
得x 为勾。但是汪莱认为此题应有两个答案,“若问者暗执一形,则对者
交盲两数”,遂另创“有两积相等、两勾弦和相等,求两勾股形各数”一
法,其法须解三次方程

3 2 (4A)2 

y + Ky …= 0,

K 

得其正根y 为两勾弦较的几何平均数,再解二次方程

z2 …(K …) + y2

yz = 0, 

得二正根就是两个勾弦较。对于这一结果,当时的一些学者不能理解,认
为汪莱的算法不如梅■成的简捷。其实这一工作中已蕴涵着对高次方程正
根个数的探索,它与第一、四册算书中对球面三角形“知不知”的讨论一
起,构成了汪莱方程论研究的先导。

汪莱最重要的数学贡献是他在方程论方面的工作。在研读秦九韶、李
冶算书的时候,汪莱发现其中有些算题不只有一个解,而秦、李专以一数
为答案,是“以不可知为知”,于是著《衡斋算学》第五册,罗列出三次
以下各类方程共96 个,逐一考察其“知不知”。这里的“知”与“不知”,
与第一册算书一脉相承,即指方程是否仅有一个正根。汪莱所使用的术语,
则沿用《数理精蕴》所介绍的“借根方法”,例如,他称:“有几真数,
多几根积,与几二乘方积相等。。可知”,即是说方程

ax 3 …cx …d = 0 
仅有一个正根;又称:“有几真数,多几二乘方积,与几根积相等。。不
可知”,即是说方程

ax 3 …cx + d = 0 不是仅有一个正根。这一工作后来启发了李锐对方程论的兴趣,汪、李二人在方程论领域的讨论极大地丰富了清代代数学研究的内容。在第五册算书中,汪莱还就三次方程

3 

…+ d = 0 

讨论了根与系数的关系。他指出(ax) ,该方(cx) 程如果有三个正根x1,x2 和X3,则

bc 

x + x + x = ,xx + xx + xx = ,

123 122313 

aa 

  xx x = da 


12 3 

这是F。韦达(Viéte)定理的一个特例。在《衡斋算学》第七册中,汪莱
进一步钻研代数方程论,他首先指出:如果高次方程可以分解成若干个一
次方程,那么这些一次方程的正根就是原方程的正根。其次,他又专门讨
论三项方程


xm=pxn+q=0(m>n 且均为正整数;p;q 为正数) 
存在正根的充分条件,他在书中列举了18 个例子,由中可总结出上述
方程有正根的条件为
q 
m n 
m 
np 
m 
n 
£ m n 
… ( ) … 
( ) 
r · 。
《衡斋算学》第三、六册,分别讨论“有全弧通弦求五分之一弧通弦” 
和“有全弧通弦求三分之一弧通弦”,即已知半径和弦长,求该弦所对应
弧的部分之弦长问题。设以r,a 分别表示半径、弦长,a5 和a3 则分别表
示“五分之一弧通弦”和“三分之一弧通弦”,汪莱证得
1
5 5 
3 4 5 
5
3
2 3 
3 3 
2 a 
a
r 
a 
a
r 
a a 
a
r 
= + …  和 = … , 
当时汪莱尚未见到明安图的《割圆密率捷法》,因此矜为创获;及至
见到明氏遗稿抄本,遂有悔少作之意。但汪莱所使用的几何方法,实为董
方立《割圆连比例图解》、项名达《象数一原》等书推求分弧通弦与全弧
通弦关系之工作的前驱。
《衡斋算学》第四册之后半部分名为“递兼数理”;“递兼”就是组
合。中国古代数学中虽然不乏组合学的思想和材料,但是明确提出类似于
今日的组合之定义并对组合性质予以讨论的则是汪莱的这篇“递兼数理”。
他在开篇堂而皇之地宣称:“递兼之数,古所未发,今定推求之则。”他
所推求的重要组合公式有: 
c 
c c 
c 
m 
n m n 
m i
n 
i
m
m n 
m m
n 
m n 
= … 
=
= 
… 
= 
… 
。 2 1 
1 
, 

! 
! ! 
, 
( ) 
在论证最后一个公式时,汪莱借用了传统的垛积知识,试以Cm为例, 
2 
他说:“以一物为主而兼它物得若干数,至以又一物为主而兼它物即不复
兼先为主之物,故所得必少一数,由此递少遂成三角堆形。”就是说:从
m 个元素中每次取2 个的组合数,可以看作先确定1 个元素后将其与其余
元素相配,得组合数为(m…1);再取第二个元素与不包括第一个元素的其
余元素相配,得组合数(m…o—12);依此类推,组合数每次递少一数, 
故得组合总数为,这就是一个(平)三角堆,即公差为的一阶等差级
数,其和为( )。同理, , ,。, 则分别对应一个
i 
i
m
=
…。1 1 
1
2 
1 
m m… …1 C C C m 3 
m 4 
m n 
二乘、三乘、。、(n…1)乘三角堆。一般三角堆的公式,早已为朱世杰所
知;汪莱虽然没有读到未氏的《四元玉鉴》,他在“递兼数理”中也给出
了“三角堆求积通法”,从而建立起了“递兼”与“垛积”这两类组合问

题之间的联系。 

汪莱青年时代所著的“叁两算径”,则是中国数学史上第一次系统探
讨非十整进制算术的论文。内中列出了二至九进制的乘法表,以九进制为
例,其相应的乘法口诀为:“八二一七、八三二六、八四三五、八五四四、
八六五三、八七六二、八八
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