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伽利略首次公开展示他的富有革命性的科学是在161O年，当时，他发表了用望远镜探索天空所取得的最初一部分成果。在本书第1章中我曾谈到过伽利略对天空的看法的转变过程，即从个人的观察经验到得出理智的结论的转变过程。他用类推原理和物理光学说明，月球表面也像地球一样，峭壁林立，起伏不平。他发现，地球使月球生辉发亮。他看到木星系统有四个卫星，金星有位相变化。他的望远镜不仅展示了有关太阳、地球以及行星这些以前已为人知的天体的一些新的消息，而且在可视的范围内向人们展现出了用肉眼从未看到过的大量的恒星（和卫星）。
伽利略的发现，以及其他人的发现，首次向所有人说明了天空是什么样。金星的位相，如果与行星的表现尺寸联系起来，就能证明金星轨道所环绕的是太阳而不是地球，并由此证明托勒密是错的。所有这些发现都是与哥白尼的这一命题相一致的：地球只不过是另一个行星；也就是说，所有的发现表明，地球更像是个行星而不像是与行星不同的东西。伽利略因此立即证明，他业已说明了哥白尼体系的正确性（尽管事实是，他的发现与第谷·布拉赫的体系也是十分相容的，而在第谷·布拉赫的体系中，地球仍被看作是位于中心，其他行星环绕着太阳，太阳则围绕着地球循环运动）。
这些发现使观测天文学发生了革命性转变，并且从根本上使哥白尼天文学讨论的层次发生了变化。在1610年以前，哥白尼体系可能看起来是一种思想实验，一种假设的计算系统，对那些否认地球看上去像是一颗行星（即我们认为是闪耀着极为灿烂的光芒的星球）的人来讲，它是某种在哲学上荒诞不经的东西。在1610年革命发生并产生了成果后，科学家能够（并且确实）证明，地球与其他行星实在相似，而且理应有同样的运动。哥白尼非常正确地指出，地球只不过是“另一颗行星”。要想否认这种新的在经验上得到了修正的哥白尼学说，只有拒绝用望远镜去观察，或者断言，通过望远镜所看到的肯定是一种光学假象或是望远镜的透镜所产生的一种畸变，而不是行星的真面目。一些非常明智的哲学家都采取了这一态度，这一事实表明，在当时，以经验证据为基础来认识大自然是一种多么激进多么富有创新性之举。
伽利略在其中引起革命性变化的第二个领域就是运动学。这一课题一直被认为是自然哲学的中心；所以，在其《两种新科学》（1638）第三天对话的开场白中，伽利略夸耀说，他正在引进“一门有关一个极为古老课题的崭新的学科”（伽利略1674，147）。也许，许多有关运动的新定律和新原理都应归功于伽利略。他发现了摆的等时性——当一个自由摆动的摆沿弧线运动所经过的弧的长度越来越短时，它的运动速度也会减慢，但它完成每次摆动的全程所需要的时间却（总是）保持不变。他通过激动人心的实验证明，在空气中，重量不同的物体下降的速度几乎是相同的，而并不（像以前亚里士多德以及今天未受过物理学教育的大部分人仍然认为的那样提与物体的重量成比例的。他发现，自由降落是匀加速运动的一种情况，在这种情况下，运动速度随着时间的持续而增加，运动的距离与时间的平方成正比。他提出了矢量速度的独立性原理，并采用了矢量速度组合（合成）法，他运用这一原理来解决抛射体的轨道问题：他发现，这种运动的路线是一条抛物线。因此，他指出，当大炮的炮简与地平线成45。倾角时，大炮的射程最远。
在对抛射体的抛物路线所作的分析中，伽利略勾画出了惯性运动原理形成初期的情况。一系列相继得到了改造的概念导致了牛顿1687年的惯性定律，显然，其中第一个概念就是伽利略提出来的。不过必须要记住的是，伽利略主要是从运动学角度来分析运动的。也就是说，尽管伽利略的讨论有一些或包含着一些力的作用问题，但他既没有尝试去找出引起（或导致）运动的力，也不曾试图去发现作用力与运动之间严格的数学关系。
伽利略的第三个贡献是在数学领域。现代科学，尤其是物理学，其特征就是用数学来表述其最高原理和定律。到了17世纪，科学的这一特征开始显示出了重要意义，而且，这种特征的重要性在牛顿的《自然哲学的数学原理》（即《原理》）出版时到达了第一个高峰。从伽利略在《两种新科学》第三天对“自然加速运动”的讨论里，我们可以看到伽利略方法论具有革命性的一面。伽利略在提出这一话题时解释说，假设任何一种运动并从数学上说明其本质，这种做法（就像以前经常做的那样）是完全合理的。不过，他愿遵循另一种方针，亦即“找出并阐明与大自然所进行的那种运动［加速运动烬可能完全一致的定义。”在考虑“在某一高度静止不同的”石头是怎样下落之后，他得出结论说，“新增值的速度”的连续获得，是由“最简单和最明显的规律导致的”（伽利略1974，153…154），这就是说，这种增值总是以同样的比率持续进行的。因此，（a）在下落的每一连续相等的特定距离内，或（b）在所消逝的每一连续相等的时间间隔内，速度的增加肯定总是相等的。伽利略出于逻辑上的理由对等距规则不予考虑，转而着手阐述等时规则的各种数学推论，其中有这样一个结论：在匀加速运动中，“物体在任何时间内所通过的距离都与各自所用的时间成倍比”（也就是说，它们各自都与那些时间的平方成正比）。伽利略随后对“这是否就是大自然在她的下落的物体上施加的加速作用”提出了疑问。
答案是通过一项实验找到的，这一实验程序“在把数学证明应用于物理学推论的那些学科中是非常有用和非常必要的”（伽利略1974，169）。实验也许看起来是相当容易的，但实验设计和对实验结果的解释，需要对现代科学的基本原理有高水平的理解（参见下文）。要正确地评价伽利略程序具有何等的革命性和创新性，我们应当把它与中世纪的数学家一哲学家们的活动加以比较和对照。在12、13和14世纪，数学家一哲学家们一直在积极探讨运动问题（参见第5章｝，他们的数学发展处于一种抽象的水平。在这里，运动问题属于一般的范畴，这一范畴包含了从“潜在性”到“实在件”（亚里土多德的定义）的任何一种可以量化的变化，这里的“潜在性”和“实在性”包罗万象，从爱、仁慈到（从一处向另一处的）地点的变化。所以，伽利略要根据（并举例说明）自然界中实际出现的运动来阐述有关运动的数学定律，这的确是一个大胆的举动。以前同样也没有人发展到用实验检验来证明物理学定律——而这里正是伽利略为科学做出重要贡献的第四个领域。
伽利略在数学上阐述了诸多运动定律，其中包括匀速运动定律，匀加速运动定律，以及抛物运动定律等等。这例证了17世纪科学的一个（可以毫不过分地说）普遍特征，亦即这一思想：基本的自然规律必须是用数学阐明的。在17世纪中，对数学的这种强调有着多种多样的形式。例如，从最初级的水平上讲，数学也许仅仅意味着数量的确定，计数作用。也许存在着这样的柏拉图教条：宇宙中的真理将借助数学而不是借助观察和实验来发现，首先应该考虑的是数学方面的特性，而不是与经验世界的一致。我们已经看到，在相当一段人类的历史中，人们感到圆是一种完美的体现，天体运动最应表现出这种完美的特点。咖利略驳斥了所有此类抽象的几何属性观，他认为，也许有些不同的几何特征最能说明某些特殊情况。当然，从数学上阐述科学是对科学的最高级的表述这种观点，在17世纪并不是十分新鲜的东西；托勒密曾把他的伟大的天文学杰作取名为《数学的综合》或《综合》。对伽利略而言，这些传统的数学观与新科学的数学观之间的差异意味着，在经验世界与知识的数学形式之间将会有一种和谐，这种和谐可以通过实验和批评性观察来获得。
不过，在伽利略撰写的数学著作中，他所阐述的并不是通常我们所想到的那种数学，亦即代数方程的应用，混合比例（例如“距离与时间的平方成比例”），流数，或微积分等。他所论述的是数列。以下规则即为其中一例：若取自由落体在第一段时间间隔末的速度值作为速度单位，则它在相继且相等的时间间隔末的速度为从一开始的自然数（或整数），或者说它在相继且相等的时间间隔内所走过的路程彼此的比为奇数，或曰，在这一系列时间间隔末所走过的总距离按平方律变化。在《试金者》中（伽利略1957，237－238），伽利略对自然界的数学问题作了精彩的陈述，他指出，应该把几何学看作像有关数的法则一样重要。“哲学［自然科学，或科学］写在宇宙——这部一直向我们敞开的伟大著作中”；但是，“我们如果不先学会书里所用的语言、掌握书里的符号，就不能了解它。这部书是用数学语言写出的，它的字母是三角形、圆和别的几何图形。不借助它们，那就一个字也读不懂。”所以，谈到伽利略与数学的关系时，重要的并不在于数学本身的水平有什么创新之处，而在于他清晰而引人注目地表述了用数学来阐述自然现象的必要性，以及以实验和观察为基础确立自然界的数学规律的必要性。
谈到伽利略与科学实验方法论的关系，有必要谨慎一些。近年来有一项值得注意的事业（主要集中在小约翰·赫尔曼·兰德尔的著作中），这就是对伽利略科学方法论的先驱者进行探讨。我发现，很多的历史学家都犯了一个根本性的错误，即没有分清有关方法的那些抽象的陈述或格言与实际的科学工作之间的区别。在许多16世纪的作者的著作中，确实有听起来像是讨论实验或从事科学研究的方式的论述，然而，了解到这些作者中没有一个人曾完成过任何一项科学研究工作这一事实，我们就不太相信它们真是有关实验问题的阐述了。附带说一句，在拉丁语和罗曼语中，用来表达实验、经验的词都是相同的，而且大体上每个人都知道。
据说，伽利略曾在一个高塔上抛下重量不等的物体这一著名的实验，解决了一个独特的问题。所谓伽利略在众目睽睽的情况下在比萨斜塔上进行演示，公开与亚里士多德学说对抗之说，不过是些过于耸人听闻的虚构之词，无疑，它们都是杜撰出来的。不过，伽利略确实在自己的笔记本中记录过他“从一个高塔上”把重物抛下来的情况。伽利略这样做是为了了解：传统的“常识”观是否正确，重物在空气中自由下落时的速度是否与它们各自的重量成比例。伽利略用另一种实验来检验他的假说——自由下落的物体的运动是匀加速的。我们要问的是：自由落体的速度的增值是否与消逝的时间成正比呢？我们会看见，在进行一项人们会在其中提出这类有关大自然的问题的实验中，将会产生出许多问题。要直接检验这种比率是不可能的。所以，伽利略检验了另一个定律，一个他希望检验的逻辑推论，这就是：距离与时间的平方成正比。即使这一检验也超出了伽利略的能力所为，因为自由下落的物体运动得太快，以致于他难以进行测量。因此，正像他所说的那样，他“冲淡重力”，在一个斜面上进行了实验。他在实验中发现，时间平方律确实经受住了实验的检验。当然，伽利略是位伟大的实验家，他充分认识到，进行大量不同角度的斜面实验是很重要的；在所有这些斜面实验中，定律都经受住了检验。我不想详细地讨论伽利略是怎样根据斜面角度的增大用数学来表述重力沿斜面的分量的。只要说明以下这一点就足已了：伽利略在所选择的例子中表明，随着思想的发展和“科学”的日益复杂，必须要设计出一个实验用来检验那些哪怕看起来最简单的定律如：距离与时间的平方成正比。
伽利略不仅认识到对运动所作的抽象的数学推理一般均可适用于自然界中所观察到的真实的运动，并且通