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牛顿《原理》中的数学的本质常常被人误解。如果只是泛泛地一页一项翻着，那就会给人一种印象，即牛顿所使用的数学是几何学尤其是古希腊的几何学。其风格似乎是欧几里德式或阿波罗尼奥斯式的。然而，更仔细地考虑一下就会发现，牛顿是在用微积分阐述问题，他运用几何学方法根据不同的比率和比例来陈述各种关系，并且同时，把“极限”看作是一种等于零的（或是初始的）基本量。因此，尽管牛顿没有详述他以后系统地运用的微积分（或“流数”）的规则系统，但他的确大量地运用了极限方法，这显然等价于使用了微积分，或者说，所使用的极限方法可以很容易地转换成牛顿算法或莱布尼兹算法的符号体系。马奎斯·德·洛皮塔尔认识到了《原理》的这一方面，他注意到（正如牛顿得意地提到的那样），这部书中的数学几乎全是微积分。对于任何一位细心的读者来讲，在该书第一编第一节对极限理论的阐述中，在第二编第二节明确的流数（牛顿用来表示微分的术语）理论中，这一点表现得更为明显。此外，《原理》之著名还因为，它最早使用了一些其他的数学方法，例如，无穷级数的广泛应用。
牛顿的风格
在我看来，从我所谓的“牛顿的风格”中，可以发现牛顿科学革命的本质。从牛顿在《原理》中对开普勒诸定律的讨论，就可以很容易地看到这一点。牛顿的讨论，始于一种纯数学的结构或想象的系统——它并不只是一个简化了的自然事件，而是一种在实在的世界中根本不存在的纯属虚构的系统。在这里，“实在的”这个词所指的，只是由实验和观察揭示出来的外在世界。在这种系统中，单一的质点围绕着一个力心运动。牛顿用数学方法指出（bk．1，prop．1），只要在这一结构或系统中能有一种来自沿轨道运行的质点或粒子的力恒久地指向不动的力心，那么开普勒的面积定律（即他的第二定律）就可成立。他接下来证明其逆命题，即如果面积定律成立，那么就会有一种向心力或指向中心的力存在。因此，向心力的存在被证明，既是开普勒面积定律成立的必要条件又是其充分条件。随后牛顿指出，如果运动轨道呈椭圆形，那么，向心力必然与距中心的距离的平方成反比。最后他证明，如果在此种力的条件下存在着几个沿轨道运行的质点，它们彼此没有相互作用——或者（结果相同）如果把任一给定质点的运动与其在距中心的某一不同距离上的运动相比较——那么，开普勒第三定律或和谐定律就可成立。顺便提一句，我们也许注意到，牛顿在这里首次指明了开普勒第三条定律中每一条的动力学意义。牛顿的活动在很大程度上构成了纯数学的第一个阶段。
在第二个阶段，牛顿把他的精神构造物与实在的世界进行了比较。当然他立刻发现，在实在的世界中（例如，在我们的太阳系中），沿轨道运行的物体，并不是围绕着“数学的”力心运动，而是围绕着别的实在物体运动。月球围绕着地球运动而地球和其他行星围绕着太阳运动。此外，为了使其精神构造物或想象系统能与实在的世界更为谐调一致，牛顿改进了这一系统，使其质点数增加到两个。其中一个质点位于中心，并且吸引着另一个在轨道上运动的质点，它不断地把后者从其所在的另一条直线惯性运动的轨道上拉开。但是，按照任一作用都有一个大小相等方向相反的反作用这一原理（牛顿第三运动定律），就会得出这样的推论：如果位于中心的物体吸引着沿轨道运行的物体，那么，在轨道上运行的物体也必定吸引着位于中心的物体。这样，这种精神构造物扩展到有两个相互作用的物体的系统了。牛顿继续指出，在这类条件下，情况不再是在轨道上运行的物体沿着一个纯椭圆形的轨道围绕位于焦点的中心物体运动了。相反，他发现，这二者都是沿椭圆形轨道围绕着它们共同的引力中心运动。
这种双物体系统构成了一个得到了改进的阶段，在此阶段，牛顿又一次用数学方法阐述了他的（现已修正了的）精神构造物。他随后把这个改进了的系统与外在的世界进行了比较，这就是改进了的第二阶段。当然，他发现，这个系统还是与我们周围的实在世界不相符的。例如，在我们的太阳系中，围绕太阳运动的行星并非只有一个，而是有好几个。这样，为了使他的精神构造物更进一步符合外在的世界系统，牛顿又继续开始了另一个阶段的工作。他在系统中引入了不止一个而是两个或更多的质点，它们在围绕中心质点的轨道上运行。这样，运用牛顿的第三定律，又一次得出以下推论：沿轨道运行的每一个质点，既受到中心物体的吸引，也对它有着吸引作用。换句话说结论就是，沿轨道运行的每一个质点，既是一个可被吸引的物体，也是一个具有吸引力的中心。在这些沿轨道运行的物体中，任何一个物体都会对其他的每一个发生作用，同时也会受到它们各自作用的影响。这个系统包含了这样一些物体：它们彼此以摄动的方式相互作用，这些摄动导致了与开普勒定律的一种细微的偏离。于是，牛顿继续努力，以图在我们的太阳系中找出与开普勒定律相差的数量测度。
在数学结构和对实在世界的比拟之间、以及第一阶段和第二阶段之间的这种对位式的变换中，牛顿不仅从单一物体系统发展到了多物体系统，而且发展到了沿轨道运行且带有卫星的多物体系统，例如，地球的卫星是月球，土星和木星也都有各自的卫星。到此为止他一直讨论的都是质点，而不是有形的物体，因为他还没有开始考虑大小和形状，不过最终，他把讨论的层次从质点转到了具有一定尺寸和外形的物理实体之上。
我所描述的过程，并非只是20世纪人们（对牛顿在《原理》中提出问题的方式）的一种事后分析。它与有文献为证的牛顿思想的各个发展阶段是相符的。1684年秋，牛顿写了一本小册子（《论运动》），在其中，他介绍了他研究开普勒定律以及有关这个问题其他方面的一些成果。他在书中指出，向心力是面积定律成立的必要充分条件，椭圆形轨道则暗示着，这种力与距离的平方成反比，这与他后来在《原理》中所作的阐述十分相似。但是那时尚未认识到，他的证明仅仅适用于单一物体系统的精神构造物，所以他骄傲地写道：“附注：因此，沿椭圆形轨道运行的诸行星都有一个位于太阳中心的焦点，而且以以行星间太阳的距离为半径扫过的面积，是与时间成正比的，这完全像开普勒假设的那样。”不久牛顿就认识到，实际上，行星不可能沿单纯的开普勒椭圆轨道运动。他看出，他的结果只适用于人工构造的单一物体系统，在这个系统中，地球被简化为一个质点，而太阳被简化成一个固定的力心。
1684年12月，牛顿完成了《论运动》的修订稿，在这里，他在一个相互作用的多物体系统范围内，对行星的运动进行了描述。与以前的小册子不同，这一修订本得出了这样的结论：“行星既非完全在椭圆形轨道中运动，也不会在同一轨道中出现两次。”这一结论导致牛顿得出了以下结果：
ktkt像月球的运动一样，对于每个行星而言，它有多少种运动就有多少种轨道，每一个轨道都取决于所有这些行星的合成运动，所有这些行星彼此之间的相互作用就更不用说了……要考虑如此众多的运动的原因，并用（容许简便计算的）精确的定律来确定这些运动，这，如果我没说错的话，已经超出了全人类知识界的能力范围。
牛顿已经觉察到行星彼此之间存在着引力作用。在上面这段引文中他已经用明确的语言表达出了这种觉察：“eorum omnium actiones in se invicem”（所有这些行星彼此之间的相互作用）。从这种彼此的重力吸引作用可以推知，在物理世界中，开普勒的三个定律并不都是正确的，它们只是在某种数学的构造物中才是正确的，在这种构造物中，对彼此的轨道不发生相互作用的质量，要么是一种数学的力心，要么就是一种固定的具有引力的物体。牛顿对数学王国（在这里，开普勒定律均为正确的定律）与物理王国（在这里，那些定律只是“假说”或近似值）所作的区分，是牛顿天体力学富有革命性的一个特征。
在以前所写而后来又成了《原理》第三篇的一本小册子中，牛顿说明了：对第三运动定律的思考怎样导致了关于太阳与每个行星之间、行星与其卫星之间、以及两个行星彼此之间存在着一种相互作用的力的概念。同样的思考导致了一种富有革命性的新的思想，即宇宙中的一些物体肯定都在“彼此吸引。”他自豪地陈述了这一结论，并作了解释性说明，他指出，在地球上的任何一对物体中，引力的量是如此之小，以致于难以观察到。“也许，”他写道，“只有在巨大的行星体上才能观察到这些力。”在所有行星中，木星和土星的质量是最大的，所以，他对它们运动过程中轨道的摄动进行了探索。在约翰·弗拉姆斯蒂德的帮助下，牛顿发现，当两个行星相距很近时，土星的轨道运动的确会出现摄动。
《原理》的第三篇讨论了宇宙系统，不过，它比以前的那本小册子更富有数学色彩。在这里，牛顿用了基本上相同的方式讨论了引力问题。首先，在所谓的月球试验中，他把重力或地球引力扩大到月球，并且证明这种力的大小与距离的平方成反比。进而他认为，这种地球引力与太阳对行星的作用力、与一个行星对其卫星的作用力是相同的。现在，他把所有这些力统统称之为重力。借助第三运动定律，他把作用于行星之上的太阳力的概念改造成了太阳与行星之间的相互作用力的概念。与此类似，他把行星作用于卫星上的力的概念，改造成了行星与其卫星之间的相互作用力的概念。最后，这种改革导致了这样一种观点，即所有物体都以引力的方式相互作用。
请不要把我对牛顿思想发展过程的分析，看作是想贬低他那种非凡的富有创造力的天赋所起的作用；恰恰相反，我认为应当承认这种天赋。我的分析说明了牛顿对物理学具有丰富创造力的思维方式，通过种种方式，他按照实验和批判性观察所揭示的情况用数学对外在的世界进行了描述。由于他并不认为这种构造物就是对物理世界精确的表述，所以，他可以无拘无束地去探讨数学引力的属性和作用，尽管他发现，“远距离发挥作用的”控制力在真正的物理学王国中既是不相容的也是不允许的。随后，他把他的数学构造物的推论与那些通过观察得到的有关外在世界的原理和定律如开普勒的面积定律和椭圆轨道定律进行了比较。这种数学构造物哪里有不足，牛顿就对哪里加以改进。这种思维方式，亦即我所说的牛顿风格，因其伟大著作的标题“自然哲学的数学原理”而引起了人们的注意。
万有引力定律说明了行星的运动近似地遵循开普勒定律的原因，并说明了为什么它们各自又以不同的方式与这些定律有偏离。正是万有引力定律证明了，为什么（在没有摩擦力的情况下）所有物体在地球上的任一指定位置下落时的速度都相等，以及为什么这一速度会随着高度和纬度而变化。万有引力定律还解释了月球的规则运动和不规则运动，为理解和预测潮汐运动提供了物理学基础，它还说明了早就被观察到但没有得到解释的地球的岁差率与月球对地球赤道鼓起区的吸引作用之间有着怎样的关系。由于数学引力能够成功地解释和预见所观察到的宇宙现象，牛顿断言，肯定“真的存在着”这么一种力，尽管那种被人们普遍承认而且他本人也信奉的哲学并不允许也不可能允许这种力成为自然系统的一个组成部分。所以，他提倡要对万有引力怎样产生作用进行探讨。
虽然牛顿有时也认为，万有引力也许是由以太粒子流碰撞某一物体产生的脉冲引起的，也许是由某种到处弥漫的以太的变化引起的，但这两种看法他在《原理》中均未提及，这是因为，如他最终所指出的那样，他从“不会杜撰假说”来作为物理学的解释。牛顿的风格导致了他的数学的万有引力概念，而且，这种风格致使他把自己的数学结论用于物理世界，尽管这并非是他能够相信的那种力。
与牛顿同时代的一些人对远距离的引力观念极为困惑，以致于他们无法着手探讨其性