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（1）高等数学的奠基
17世纪初年，由于社会生产的需要，推动了天体力学、几何光学、力学
和数学等学科的发展，正是在这些当时处于迅速发展状态的学科里，最先播
下了微积分的数学种子。
首先，在天体力学和力学的发展中，由于计算行星的轨道，由于计算抛
物体的运动，从距离和时间的函数关系求运动物体的瞬时速度，或从运动物
体的瞬时速度来求运动物体的距离，这样属于变速运动的数学问题又突出地
摆在数学家面前。
其次，在几何光学与力学的发展中，还从另一方面提出了新的数学问题。
在几何光学中，由于设计透镜，需要计算入射光与法线和切线的变化，因此
提出了曲线上的任意一点的切线计算问题。在力学中，为了找到运动物体在
曲线上任意一点的运动方向，同样也提出了曲线上的任意一点的切线的计算
问题。
同时，在数学本身的发展中，特别是在笛卡尔和费尔玛两人的解析几何
建立之后，求曲线上任意一点的切线问题，同样也突出地摆到数学家面前。
除了上述的求运动物体的瞬时速度和求曲线上任意一点的切线这两个基
本的数学问题之外，还有求函数的极大值和极小值问题，求曲线的长度、曲
面的面积、曲体的体积等问题，同样也提到了数学的议事日程。这些基本的
数学问题，实质上可归于同一数学问题。所以，17世纪初的数学家，只要他
真正走到了当时的数学的前沿，没有一个不想在这一数学问题上试试自己的
数学才能的。
正是在上述历史条件下，生活在17世纪初期的数学家已对微积分问题进
行了卓有成效的探索。在进行这一开拓性探索的数学家队伍中，普通数学家
多达几十人，著名数学家多达十几人，如笛卡尔、卡瓦列利、费尔玛、罗伯
佛尔，以及英国数学家华里斯和牛顿的老师巴罗等人。在这些数学家中，法
国数学家罗伯佛尔早在1634年写作《不可分法论》（1693年出版）时，就
曾对求曲线的问题作过最初的尝试。1635年，意大利数学家卡瓦列利在出版
《用新的方法推进连续体的不可分量的几何学》一书时，已发明了一种形式
比较简单的微积分。1637年，笛卡尔在出版《几何》一书时，在他的曲线方
程的基础上，也曾对曲线的切线问题进行过最初的研究。1637年，法国数学
家费尔玛在其《求极大值和极小值的方法》一书中，曾用微分法来求极大值
与极小值。在英国，华里斯1655年出版的《无穷算术》一书中，为微积分的
奠基作出了重要的贡献。此后对微积分的奠基作出重要贡献的，便是牛顿的
老师巴罗，巴罗在1669年出版的《几何讲义》一书中，已经找到了求曲线上
任意一点的切线的数学方法。可以说，17世纪初期的这些数学家与微积分的
最后发明都只相距一步之遥，而牛顿的老师巴罗直接把牛顿送到了微积分发
明的前沿。
在数学研究中，牛顿不仅广泛地阅读和研究笛卡尔、费尔玛、华里斯和
巴罗等人的数学著作，而且善于吸收和综合他人的数学成果。正因为如此，
这就使牛顿有可能在综合当时的数学成果的基础上，跨出最高的和最后的一
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步，从而最终完成微积分的发明。
据牛顿自己说，他最初发明微分方法是在1665年11月，而最初发明积
分方法是在1666年5月，这两年正是牛顿在他的故乡逃避瘟疫的时期。当然，
牛顿所说的时间，是他最初发明这一数学方法的时间，而真正较为系统的建
立起微积分的基本原理和主要方法，是在此后十年左右的时期。
在最初的发明微积分方法之前的1664—1665年间，牛顿曾运用华里斯的
分析方法，对二项式进行过研究。这一研究是由曲线形面积的求积问题引起
的。在研究中，牛顿尝试用无穷级数的方法进行计算。随着研究的深入，牛
顿发明了著名的二项式定理。而这一定理作为曲线形面积的最直接最简便的
求积方法，对牛顿发明微积分方法起了直接的推进作用。
1669年，即牛顿继任卢卡斯讲座数学教授的当年，牛顿即着手进行微积
分的研究。同年，他写出了记述微积分的第一部重要论著：《运用无穷多项
方程的分析学》。在这一论著中，牛顿在他初步引入的无穷小量的基础上，
找到了求一个变量对另一个变量的瞬时变化率的普遍方法，并因此初步地建
立起微积分的基本原理。但这一论著的原稿在当年送交皇家学会登记备案
后，直到1711年才公开发表。
1671年，牛顿写出了研究微积分的第二部重要著作：《流数法与无穷级
数》，即《流数术》。在这一著作中，牛顿改变了变量由无穷小量组成的看
法，从力学的瞬时速度的角度对微积分方法进行了研究。他从力学的运动观
念出发，把两个变量称为“流”，而把两个变量的变化率称为“流数”。同
时指出：微分的基本问题，乃是由已知的两个流之间的关系，求它们的流数
之间的关系。而积分不过是微分的逆运算。在《流数术》中，牛顿还讨论了
流数术的一些应用，如用它微分隐函数，求曲线的切线，求极大值与极小值，
求曲线的曲率等。在《流数术》中，牛顿还附入了一个积分的简表。但《流
数术》在牛顿生前也未能出版。直到1736年，即牛顿逝世9年后，这一著作
方从拉丁文原稿译成英文出版。
1676年，牛顿写出了研究微积分的第三部重要论著：《曲线求积法》（一
译《求曲边形的面积》）。早在1672年，牛顿在研究华里斯的求积方法时，
就发现了曲线的作法及其计算方法。在研究求积问题的基础上，牛顿在《曲
线求积法》中进一步改变了对无穷小量的看法，并试图进一步消除甚至完全
抛弃无穷小量的概念，以建立起不用无穷小量的微积分。他说：“我认为数
学中的量并不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的。直线
不是一部分一部分的连接，而是由点的连续运动画出的，因而是这样生成的；
面是由线的运动，体是由面的运动，角是由边的旋转，时间段落是由连续的
流动生成的。”牛顿在放弃无穷小量的概念之后，代之以另一新的观念：最
初的和最终的比 （亦译为基本的和最终的比）。他说：“流数可以任意地接
近于在尽可能小的等间隔时段中产生的流量的增量，精确地说，它们是最初
增量的最初的比。”同样，牛顿的这一著作也直到1704年才公开发表。
尽管牛顿在对无穷小量这一基本概念的表述中，经历了前后不同的演
变，并因此引起了这一概念自身的混乱。但是，正是在持续十年左右的探索
中，微积分的基本原理和主要方法，都由牛顿较为完整地建立起来了。
后来，牛顿把微积分的基本原理写入他在1686年底完成的《自然哲学的
数学原理》这一总结性的著作中。在《原理》的第三版中，牛顿似乎已在微
积分的极限理论周围徘徊。他说：“量在其中消失的最后比，严格说来，不
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是最后量的比，而是无限减少的这些量的比所趋近的极限，而它与这个极限
之差虽然能比任何给出的差更小，但是在这些量无限缩小以前既不能越过也
①
不能达到这个极限。”当然牛顿只是提出了最初的极限概念，并未能最终建
立起极限理论。但是，牛顿的极限概念无疑是后来法国著名数学家柯西（1789
—1857年）建立极限理论的思想起点。所以，尽管牛顿的微积分方法本身还
不十分完善，而且还缺乏严密的数学理论基础，但是，作为一种全新的数学
方法，它的发明已由牛顿基本上完成了。
微积分的发明，是继笛卡尔和费尔玛的解析几何发明之后，近代数学史
上的又一大功绩。自此之后，整个数学才真正进入了一个全新的发展时期—
—高等数学的发展时期。如果说，解析几何的发明还只是高等数学的曙光的
话，那么微积分的发明则是高等数学的光辉灿烂的日出了。自此以后，整个
近代数学的面貌就大大地改观了。
微积分的发明，也使整个近代科学获得了全新的数学方法，因为“只有
微分学才能使自然科学可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程：运
②
动” 。
当然，在很少一段时期内，在天文学和力学以外的自然科学领域内，人
们尚未一下看到这一新的数学方法的潜力。直到19世纪70年代初，当英国
著名电磁学家麦克斯韦（1831—1879年）运用微积分建立起关于经典电磁理
论的麦克斯韦方程时，人们才进一步认识到这一数学方法的巨大威力。
（2）莱布尼茨 （1646—1716年）
①非凡的才能。莱布尼茨生于德国的莱比锡。1664年，莱布尼茨在莱比
锡大学毕业，以一篇有关逻辑学的论文获哲学学士学位。1666年，他又以一
篇有关方法论的论文 《论组合的艺术》获阿尔特道夫大学的哲学博士学位。
同年，获阿尔特道夫大学教授席位。此后，莱布尼茨即任教于该校，开始进
行哲学、数学、力学等方面的科学研究。
青年时代的莱布尼茨就十分关注应用数学的发展。当时，在应用数学的
发展中最引人注目的进展是机械式计算机的发明。早在1649年，法国著名数
学家巴斯噶就发明一种可进行加减运算的机械式计算机。自此之后，法国曾
一度成为计算机技术的研究中心。正是在这一背景之下，莱布尼茨也来到巴
黎，研究了以巴斯噶计算机为基础的计算机技术。
在巴斯噶计算机的基础上，莱布尼茨进行了两方面的改革。其一，莱布
尼茨把巴斯噶计算机中的十进制改为由他发明的二进制。当时，在明末清初
来华的法国传教士曾把中国阴阳八卦与自然哲学思想带回法国。在中国阴阳
八卦中的朦胧的二进制观念的影响下，莱布尼茨最先发明了二进制，并立即
把这种二进制运用到他的计算机中。对于早期的那种机械式计算机来说，虽
然莱布尼茨的二进制未能显示出明显的优越性，但它对后来计算机技术的发
展产生了重要的影响。其二，莱布尼茨对巴斯噶计算机的机件设备也进行了
一些改革，如加装了梯形轴等装置。由于进行了上述二进制和机件两方面的
改革，莱布尼茨终于在1671年发明了一台新的机械式计算机。
由于莱布尼茨在哲学和科学上的才华，1672年3月，作为梅因兹选帝侯
① ＇美＇M·克莱因：《古今数学思想》第二册，上海科学技术出版社1979年版，第74— 76页。
② 恩格斯：《自然辩证法》，人民出版社1971年版，第249页。
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的大使，出使巴黎。在出使期间，莱布尼茨结识了在巴黎科学院任职的荷兰
科学家惠更斯，由于惠更斯的影响，莱布尼茨进一步产生了对数学的兴趣。
虽然在此之前，莱布尼茨也读过一些数学著作，但对于当时的数学的最新进
展，莱布尼茨基本上还不熟悉。正是在惠更斯的引导之下，莱布尼茨开始研
究笛卡尔、费尔玛和巴斯噶等人的著作，通过对笛卡尔等人的著作的研究，
莱布尼茨得以迅速地走向当时数学的最前沿。
1673年，莱布尼茨又以梅因兹选帝侯的外交官员的身分出使英国。在伦
敦期间，他结识了英国皇家学会的许多知名人士。在这些知名人士中，对莱
布尼茨影响最大的是英国皇家学会的联络秘书欧登堡，由于欧登堡与英国科
学界有广泛的联系，因此他为莱布尼茨广泛了解英国科学的进展提供了极大
方便。同年，莱布尼茨在英国皇家学会演示了他所发明的二进制的机械式计
算机，并因此在同年被选为英国皇家学会会员。在英国期间，莱布尼茨除了
继续研