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都是某个国家，某个时代的特定的经济、政治、文化与科学等各种因素所造
成的一种合力孕育的结果。
（3）第二次数学危机的发生
17世纪中后期，当早期近代科学的发展出现以英国为中心的全面兴盛的
景象时，曾在16世纪中期至17世纪初期受到天文学革命和解剖学革命冲击
的神学思潮，此时已在这种兴盛景象的背后重新泛起。在这股重新泛起的神
学思潮的影响下，波义耳、莱布尼茨以及牛顿等一些著名科学家在自然观上
却纷纷转变到神学方面。
尽管牛顿竭力证明上帝的存在，并在他生活的后35年始终表现了对上帝
的虔诚，但是正统神学家对牛顿并不满意。到了1734年，即牛顿死后的第七
年，一场由正统神学家向牛顿发起的攻击发生了。这场攻击就是由当年升为
大主教的正统神学家贝克莱 （1685—1753年）向牛顿的微积分发起的。
贝克莱在阅读了牛顿的《自然哲学的数学原理》后，1734年，他向牛顿
生前的好友、天文学家哈雷写了一封奇特的公开信：《分析学者，或致一个
不信教的数学家。其中审查现代分析的对象、原则和推断是否比之宗教的神
秘与信条的构思更为清楚，或推理更为明确》。信中所说的“分析学者”、
“不信教的数学家”，均指哈雷而言。贝克莱的公开信的内容要点，是企图
以牛顿的无穷小量中的自我矛盾为突破口，既对数学进行“神学的批判”，
又对神学进行“科学的论证”。
在对数学进行“神学的批判”时，贝克莱抓住了牛顿在无穷小量的表述
上的混乱以及在此基础上运用流数法的矛盾，批判牛顿所一直信奉的“基本
的和最终的比”这一命题，认为渐近于零的两项之间不可能存在着有限的比，
于是，贝克莱对牛顿的流数进行猛烈的抨击。他说：“这些流数是什么？是
渐近于零的增量的速度，那么这些相同的渐近于零的增量又是什么呢？他们
既不是有限量，也不是无穷小量，可也不是虚无。难道可以把它们称为死去
① 恩格斯：《自然辩证法》，人民出版社1971年版，第236页。
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的量的幽灵吗？” ①
贝克莱对牛顿的微积分的基本原理的攻击，虽然出于一个正统神学家对
科学的反对立场，但是他也确实揭示了微积分在创立初期尚未解决的内在矛
盾。正因为贝克莱在对微积分的攻击中揭开了微积分的内在矛盾，所以微积
分本身即由此陷入理论危机之中。由贝克莱的发难所造成的这场数学危机，
就是数学史上的著名的第二次数学危机。
牛顿和莱布尼茨在创立微积分时，虽然他们都发现了微积分的基本原理
和主要方法，但是，在对于微积分的基本概念无穷小量的表述上，他们都未
能给予确切的数学的定义。他们时而说无穷小量是“零”，时而说无穷小量
“非零”；他们时而说无穷小量“消逝为零”，时而说无穷小量“趋向于零”。
总之，没有严格的数学定义。正因为如此，尽管微积分在运算方法上是正确
的，但是，从逻辑上看，它违背了形式逻辑的基本规律；从常量数学来看，
它是错误的，而从变量数学来看，它也缺乏充分的理论依据。这说明，牛顿
和莱布尼茨在最初发明微积分时，确实都还缺乏严密的数学理论基础。也正
因为如此，才使贝克莱这位敏锐的神学家终于从中看出了他所说的那种“严
重的空虚、黑暗和混乱。”
贝克莱的公开信立即在数学家中产生了影响。哈雷此时已近80高龄，并
未理会这位神学家的挑战，但是，其他一些数学家相继进行了反击。1734年，
即在贝克莱公开信发表的当年，英国数学家朱允（1684—1750年）即发表《几
何学，非不信教的朋友》这一公开的批驳信，首先对贝克莱的公开信进行反
击。朱允认为，对于精通几何学的人来说，流数的概念是清楚的，并按照他
的理解对牛顿的流数作了解释。对此，贝克莱在1735年发表了题为《捍卫数
学中的自由思想》一文，予以反击，为此，朱允又另著文反驳。
1735年，英国另一数学家罗宾斯（1707—1751年）也参加了论战，他发
表了几篇论文，并出版了《论牛顿的流数法以及最初比与最终比方法的本质
与可靠性》的专著，试图对牛顿的流数进行数学解释，批驳贝克莱对流数的
神学解释。
此后，英国另一著名数学家马克劳林（1698—1746年）也参加了反击贝
克莱的论战。1742年，马克劳林出版《流数论》一书。在这一著作中，马克
劳林除了驳斥贝克莱对微积分的攻击外，还试图建立起微积分的严密的数学
理论基础。
但由于当时历史条件的限制，直到19世纪初法国著名数学家柯西的极限
理论建立前，微积分在数学理论方面所发生的危机一直未能从根本上结束。
但第二次数学危机的发生，使人们认识到微积分本身还不够完善。这样，微
积分就开始了试图克服自身危机的革命。此后，经过近一个世纪的几代人的
相继努力，微积分终于在19世纪初建立起了严密的数学理论基础。
2。数学家族
（1）数学家族的第一代兄弟
17世纪80年代末和90年代初，当牛顿和莱布尼茨为微积分发明的居先
权发生争议时，在大陆数学家中有两个兄弟站出来热烈地为莱布尼茨辩护，
① ＇英＇斯科特：《数学史》，商务印书馆1981年版，第217页。
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这就是贝努利数学家族的第一代贝努利兄弟：雅克·贝努利（1654—1705年）
和约翰·贝努利 （1667—1748），人们通常称他们为老贝努利兄弟。
贝努利兄弟生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，他们都曾有过一段自学数
学的经历。
雅克曾根据他父亲的意愿，最初在巴塞尔大学学神学，因为他的父亲希
望他将来能成为一个牧师。可是，雅克在法国、德国和荷兰等国进行广泛的
旅行后，由于受到所结识的一些数学家的影响，对数学产生了兴趣。从1670
年以后，雅克即开始自学数学。当时，微积分尚未发表，雅克找来一些数学
著作，开始研究人们当时极为关注的求曲线的切线等数学问题。在研究中，
他主要研究了笛卡尔的《几何》、华里斯的《无穷算术》、巴罗的《几何讲
义》等著作。雅克也几乎走到了独立地发明微积分的边缘。正在这时，莱布
尼茨的微积分成果相继发表，雅克对莱克尼茨极为敬佩，他前往德国，与莱
布尼茨进行短期合作。1686年返回巴塞尔当上了巴塞尔大学的数学教授。
雅克的弟弟约翰，他的父亲最初曾想让他去经商，而他本人却想去学医。
但此后不久，在哥哥的影响下，他也开始自学数学。从1695年起，约翰因其
在数学上初露才华，被聘为荷兰格罗宁根大学的数学教授。1705年，其兄不
幸去世，约翰应聘返回瑞士，接替了他哥哥在巴塞尔大学的数学教授职位。
（2）变分法与概率论基础的奠定
雅克·贝努利对于当时数学的贡献，主要在于奠定了变分法与概率论的
基础。
变分法所涉及的一些基本数学问题，即求极值的问题，可以追溯到古希
腊数学发展时期。那时，阿基米德就曾证明，在给定的周长之间，所围成的
各种几何图形的面积，以圆形的面积为最大。在古代，极值问题不仅为一些
著名数学家所关注，而且流行在一些民间的传说中。在迦太基传说中，就有
一则求极值的数学故事：有人给戴多皇后一张牛皮，要她用这张牛皮围出尽
①
可能大的面积。戴多皇后把牛皮割成长条，然后用长条围出一个半圆 。这说
明，求极值问题远在古代已经引起了人们的关注。
进入17世纪后，由于力学和数学的发展，类似的数学问题又重被人们提
出，在伽利略和莱布尼茨的有关著作中，都曾出现过类似的数学问题。
1696年，约翰向他的哥哥提出了6个数学难题，这些数学难题都不是用
当时的数学方法能一下子解决得了的。其中有一个问题是这样的：在给定的
一根水平轴上画出的所有半椭圆中，怎样才能求一个半椭圆，使物体沿着它
的凹面下滑时，所需要的时间最短。这一问题实际上就是求最速降线问题。
用通常的数学术语来说，也就是求曲线，它能使最初为零的质点在重力作用
下从起点沿曲线降到终点时，所需时间最短。
对于约翰提出的最速降线问题，雅克一时无法作出回答。此后经过三年
多的努力，他终于从微积分中引出一种新方法，即是在求极值方法的基础上，
运用积分方法求出某一积分的极值。1697年12月，约翰在《博物杂志》上
发表了他向雅克提出的数学问题。1700年，作为对约翰提出的问题的解答，
雅克在 《博物者学报》上发表了一篇著名的论文：《等周问题实解》。在文
中，雅克除了讨论最速降线问题之外，还讨论了涉及到求极值的另一个重要
① ＇英＇斯科特：《数学史》，商务印书馆1981年版，第249页。
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问题：等周问题，即在一切具有定长的平面闭曲线中，求出一条围成的面积
最大的曲线。无论是等周问题，还是最速降线问题，都是微积分中求极值方
法的运用和发展。文中还讨论了求极值方法的一般原理与普遍方法。这样，
雅克就以微积分中的求极值方法这一基本数学问题为生长点，在微积分中开
辟了变分法这一新的数学分支。
由于变分法的建立，不但推动了微积分本身的发展，而且初步奠定了力
学和物理学中变分原理的数学基础。这样，雅克就把微积分从纯粹数学与应
用数学两方面向前推进了一步。
雅克除了奠定变分法的基础之外，在微积分的早期发展中，也曾取得一
些类似于莱布尼茨的重要成果。1694年，雅克出版了《微分学方法，论反切
线》这一重要论著。在书中，雅克对微积分的基本原理和方法进行了比较系
统的研究，特别是推进了常微分方程与积分法的研究。这一著作在微积分的
早期发展中产生过重要影响，并被一些数学史家誉为微积分的奠基作之一。
雅克对近代数学发展的另一个重要贡献，是进一步奠定了概率论的基
础。
在雅克之前，概率论已有最初的萌芽。荷兰科学家惠更斯1657年发表的
《论机会游戏的演算》，可以算是近代数学史上最早的概率论著作。
雅克在1685—1690年间对概率论进行了研究。1685年，他在《博物杂
志》上发表的一些论文中，重新提出了惠更斯在《论机会游戏的演算》中提
出过的一些概率论问题：若甲乙两人在赌博游戏中同掷一颗骰子，先掷出是
么点的为胜。甲乙两人开始各掷一次，然后各掷两次，接着各掷三次，依此
继续下去，两人获胜的概率各有多少；或者，甲先掷一次，乙接着掷二次，
甲掷三次，乙接着掷四次，两人获胜的概率又各有多少。通过提出这些问题，
雅克开始了对概率论的研究。
1690年，雅克完成了赌博游戏中胜负概率的计算方法的研究，找到了以
排列组合为基础的一种普遍的数学方法。运用这一方法，可以确定某一事件
的概率范围，即使某个在多种机率中出现的事件概率无限地趋向这个已经确
定的概率。这样，雅克就找到了一种处理随机现象的数学方法。自此之后，
概率论也就从惠更斯所最初提出的一些基本问题，开始成为一门以随机数学
现象为