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去，这些留下的点则形成了康托集。用几何级数求和方法可以证明，从区间
＇0，1＇中挖去的部分总长为1，这意味着康托集合的总长为零。还可以证明，
康托集合中的点，与整个区间＇0，1＇中的点一样多。康托通过证明指出，直
线上的点不能与整数建立一一对应关系，说明了，任何一个无穷集合与另外
任何一个无穷集合有同样多的点的看法是不正确的。
康托后来又证明了n维形体的点和线上的点可以有一一对应。这一似乎
抹杀了维数的区别的论点遭到了克罗内克等数学家的反对。而戴德金早些时
候也考虑到了，不同维空间的点可以建立不连续的一一对应。
1878年，康托提出了著名的连续统假设，即可数集合的基数和实数集合
（连续统）的基数之间没有其他基数。但是，证明这一假设的工作，直到本
世纪30年代后才有所突破。
集合论创立过程在数学界引起的反应是异常强烈的。当时的许多数学家
只承认有穷事物的发展过程是无穷，无穷只是潜在的，是就发展而言的，而
不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体。集合论的工作触及了许多经久
未决的问题，颠倒了许多前人的想法，肯定了作为完成整体的实无穷，自然
要遭到许多人包括一些数学界权威的非难、攻击。因此，集合论创立者的境
遇并不顺畅。康托曾希望进入当时著名的柏林大学任教，但对康托的“无穷”
观持严厉批判态度的某些数学家挡住他的去路，甚至攻击他神经质、“神秘
主义”，给他带来巨大的精神压力。1884年，康托患了精神分裂症，但1887
年又恢复了工作。
任何一种新事物、新理论的诞生，总会遇到反对者，但也不乏慧眼识真
金者。集合论也得到了不少卓越的数学家的极力支持，如戴德金、外尔斯特
拉斯等。1897年，在第一次国际数学家会议上，赫尔维茨和阿达玛指出了超
限数理论在分析中的重要作用；1902年，勒贝格成功地应用集合论于分析
学，创立了测度论和积分论；1906年，弗雷歇利用集合论观点研究函数空间。
19世纪末，集合论暴露出了一些内在的矛盾。1901年，英国哲学家、数
学家罗素（1870—1970）发现一悖论，即“所有不属于其自身的集合的集合，
是属于该集合，还是不属于该集合，都导致矛盾”，对数学界震动颇大，并
因此产生了数学基础的危机，引起长达多年的热烈争论。1908年，德国数学
家策梅罗（1871—1953）为解决集合论悖论而把集合论公理化。经过后来的
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多次修改，公理集合论得到了巨大发展。
数学大师希尔伯特（1862—1943）在德国传播了康托的思想，并于1926
年宣称：“没有人能把我们从康托为我们创造的乐园中赶走。”至此，康托
的理论已最终得到了数学界的一致认可。
经过20世纪中的发展，集合论已成为数学家最基本的语言，即数学语言
更多地从直观描述转到集合论语言。数学中有自然数、有理数和无理数的集
合，直线可视为点的集合，平面可以视为点的集合，也可以看成是直线的集
合。某些函数也构成集合，所有的旋转变换也构成集合。
集合论深入到数学的每一个角落，成为各个学科的共同基础，是20世纪
数学的一个重要特点。而且，现代数学不是孤立地研究集合，而是研究集合
里的“结构”，即某个集合中的元素所满足的一些数学关系。
2。希尔伯特对数学的贡献
数学大师希尔伯特的成长和成功的道路，是现代人才学的一个典型例
子。他的故乡哥尼斯堡，建于13世纪，是一座著名的大学城，有古老的大学，
有著名的哲学家康德的墓地，文化传统十分深厚。爱好哲学、天文和数学的
母亲对他更有潜移默化的影响。
希尔伯特读小学时，适遇后来成为杰出数学家的闵科夫斯基 （1864—
1909）从俄罗斯搬到哥尼斯堡，并成为希尔伯特的邻居。觉得自己比较愚钝
的小希尔伯特，在少年奇才闵科夫斯基等的激励下，学习十分的勤奋努力，
并和闵科夫斯基成为挚友。在希尔伯特的学生时代，德国的小学教育十分注
重基础知识和基本训练，中学和大学充满自由学习的空气。著名的数学家雅
可比、魏伯等曾在希尔伯特就读的哥尼斯堡大学里任教，并使该校形成了数
学研究中心，年轻人能经常接触到数学研究最前沿的课题。
1885年，希尔伯特获博士学位，1893年任哥尼斯堡大学教授，1895年
赴哥廷根大学任教授。1902年后一直是德国《数学年刊》主编之一。
（1）希尔伯特涉及的主要数学领域
希尔伯特是20世纪最伟大的数学家之一，他常常直攻数学的重大问题，
开拓新的研究领域，并努力寻求带普遍性的方法。他涉及的数学领域以及对
数学的贡献是多方面的。从时间顺序上看，主要有以下几个方面。
他获得博士学位后，便开始研究果尔丹问题，即不变式系的有限整基的
存在定理。希尔伯特独辟蹊径，采用了直接的、非算法的方法进行了证明，
问题的彻底解决曾轰动数学界。他对代数不变式问题的研究工作，孕育了女
数学家爱米·诺特为代表的抽象代数学派。
1894年后，希尔伯特主要研究代数数域论问题，1898年的论文《相对阿
贝尔域理论》，是他在这一方面工作的顶峰。日本数学家高木贞治（1875—
1960）和奥地利数学家阿廷（E。Artin，1898—1962）在他工作的基础上发展
了类域论。
1899年至1903年，希尔伯特的工作主要在几何基础方面。1899年，他
发表了著名的《几何基础》一书。在此书中，他给出了几何学的一个清晰的、
完备的公理化体系。全体公理按性质分为5组，即关联公理、次序公理、平
行公理、六条全等公理和连续公理。希尔伯特对这些公理之间的逻辑关系作
了深刻考察，精确提出了公理系统的相容性、独立性和完备性的要求，这一
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方面工作的意义远远超出了几何基础的范畴。希尔伯特所奠基的公理化方法
是19世纪数学发展的结晶，并为20世纪的数学家们起到了导航作用。
1904年，希尔伯特证明了狄利克雷原理，解决了它的适用范围问题，从
而拯救了这一原理，大大丰富了变分法的经典理论。
从1904年到1912年，希尔伯特发展了弗雷德霍姆积分方程论，综合运
用分析、几何和代数的方法发展了特征函数与特征值理论。他将函数空间中
的函数按正交基坐标化为数列，提出具有平方收敛和的数列空间的概念，即
希尔伯特空间，他还发现并巧妙处理了“算子谱”理论。这些工作为泛函分
析的发展奠定了基础。这一时期，希尔伯特还证明了数论中的华林 （1734—
1798）猜想。
此后的大约10年时间，希尔伯特专注于物理领域，他成功地将积分方程
论用于空气动力学问题；研究了物质结构等理论的处理；探讨用公理化方法
来推演近代物理学问题；在广义相对论方面的工作令人瞩目，他独立于爱因
斯坦推导出了引力场方程，并为孕育统一场论的思想作出了贡献。
1918年后，希尔伯特对数学基础的研究形成了“形式主义计划”的思想，
并成为形式主义学派的创立者。按照形式主义计划，整个数学理论被表现为
仅由符号、公式和公理组成的相容的形式系统。他提出证明论（也称元数学）
作为证明形式系统相容性的途径，元数学坚持推理的有限性。希尔伯特和他
的学派，确实证明了一些简单形式系统的相容性，而且相信，他们将实现证
明算术和集合论的相容性的目标。然而，1931年，哥德尔（1906—1976）证
明用希尔伯特“元数学”证明算术公理的相容性是行不通的。尽管如此，希
尔伯特的形式主义计划仍不失其重要性，它带动了20世纪有关数学基础的研
究。
希尔伯特对20世纪数学发展影响最大的工作，乃是他在本世纪初发表的
关于23个数学问题的讲话。
（2）希尔伯特提出的23个数学问题
1900年，关于物理和数学有两个著名的讲话。
一个是19世纪物理学界的元老威廉·汤姆逊（1824—1907），即开尔文
勋爵于1900年4月27日在英国皇家学会上发表的《热和光的动力理论上空
的19世纪乌云》的演讲。这个演讲的主要基调是，充分肯定19世纪物理学
的成就，认为物理学大厦已经建成，余下的只是修修补补的事情了。这个讲
话之所以著名，原因有两点。原因之一是研究科学技术史的人们经常引用此
演讲作为科学保守派的例子，因为，就在此讲话发表之后不久，以相对论和
量子力学为标志的物理学革命便完全改变了物理学的面貌；原因之二是开尔
文勋爵能眼光锐利地指出了物理学“万里晴空”中还漂浮着的“两朵乌云”：
一是与比热和热辐射有关的理论问题，另一则是麦克尔逊—莫雷实验的“零
结果”。但他未能预料这“两朵乌云”正是即将来临的物理学革命风暴的前
兆。
另一著名演讲则是1900年8月8日，德国著名数学大师希尔伯特在巴黎
召开的国际数学家大会上，发表的“数学问题”的演说。1897年，在瑞士的
苏黎士召开的第一次国际数学家会议决定，1900年在巴黎召开第二次国际数
学家会议。1899年，希尔伯特接到了会议筹备机构的邀请，要他在会上作主
要发言。
为了准备一个与世纪交替之际相称的发言，希尔伯特前后用了8个月的
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时间，就当时数学研究的最前沿的问题进行了仔细的准备，并与闵科夫斯基、
赫尔维茨一起商量，向大会提出23个当时尚未解决的数学问题。这些问题从
最一般的基础问题开始，以变分法和数理方程等接近实用的学科中的问题结
束，涉及数学的各个具体分支。
和世纪之交的“物理学演讲”不同，希尔伯特提出的23个问题，列出在
新世纪里数学家应当努力攻克的目标，为新世纪中的数学发展揭开了充满挑
战性的、光辉的一页。这些问题在相当程度上左右和导引了20世纪数学的发
展和研究方向。
后来被称为希尔伯特问题的23个问题，引起了数学界人士的广泛注意。
20世纪最著名的数学家几乎都为解决希尔伯特问题作出过贡献。
1975年，交流、总结希尔伯特问题研究进展的国际会议，在/TITLE》美
国伊里诺斯大学召开，大会论文汇编成《由希尔伯特问题引起的数学发展》
一书。1936年至1974年，获菲尔兹奖（数学界的诺贝尔奖）的20人中，有
12人的工作与希尔伯特问题有关。以下列出希尔伯特23个数学问题，以及
有关的进展情况。
①康托的连续统基数问题。集合论的创立人康托于1878年/TITLE》作出
的“在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数”的猜测，即著名的连续
统假设。1938年，侨居美国的奥地利数学家哥德尔（1906—1976）证明了连
续统假设和集合论的ZF公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科恩证
明连续统假设和ZF公理系统是彼此独立的。因此，连续统假设的对错不能在
ZF公理系统内判明。希尔伯特第一问题在这一意义上已获解决。
②算术公理的相容性。1931年，哥德尔的“不完备性定理”指出用希尔
伯特“元数学”证明算术公理的相容性是不可能的。1936年，根茨（1909—
1945）在使用超限归纳法的条件下，证明了算术公理的相容性。
③两个等底等高四面体的体积相等的问题。1900年，即问题提出的当
年，希尔伯特的学生德恩对此问题给予了肯定解答。
④直线作为两点间最短距离的问题。希尔伯特之后，在构造与探讨各种
特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。1973年，苏联�