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④直线作为两点间最短距离的问题。希尔伯特之后，在构造与探讨各种
特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。1973年，苏联数学家波格
列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。
⑤一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的。这
一问题亦简称连续群的解析性。中间经过了冯·诺依曼（1933年对紧群情
形）、邦德里雅金（1939年对变换群情形）和歇瓦来（1941年对可解群情形）
的努力。1952年，由格利森、蒙哥马利和齐宾共同解决，得到了完全肯定的
结果。
⑥物理学的公理化。希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物
理，首先是概率论和力学。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫（1903—）实
现了概率论公理化。后来在量子力学、量子场论等方面，公理化方法的努力
也取得了很大成功。但许多人对物理学能否全盘公理化的问题表示怀疑。
⑦某些数的物理性和超越性。1934年和1935年，苏联数学家盖尔封特
和德国数学家施奈德各自独立地解决了这一问题的后半部分。
⑧素数问题。素数是一个古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（1826
—1866）猜想、哥德巴赫猜想以及孪生素数问题。
黎曼猜想是黎曼于1859年的论文《在给定大小之下的素数个数》中作出
的，至今未能解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题的最佳结果均属于中国数
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学家陈景润。
哥德巴赫猜想是德国数学家哥德巴赫（1690—1764）于1742年提出的关
于“大偶数可表为两个素数之和”的猜想。这一猜想被简称为“1＋1”。许多
数学家为解决这一猜想作出了努力，但直到本世纪20年代才有所进展。
1920年左右，挪威数学家希朗改进了古老的筛法，首先证明出了“9＋9”，
即“大偶数可表为两个素因子不超过9个的数”。接着，从1924年到1956
年，陆续证明出了“7＋7”，“6＋6”，“5＋5”，“4＋4”，“3＋3”。中国数
学家王元于1958年证明出了“2＋3”。
1948年，匈牙利数学家兰尼恩从另一角度出发，证明了“1＋6”；1962
年，中国数学家潘承洞证明了“1＋5”；同年，王元、潘承洞等证明了“1＋4”；
1965年，意大利数学家庞皮爱黎等证明了“1＋3”。
1966年，年仅33岁的中国青年数学家陈景润证明了“大偶数可表为一
个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，即“1＋2”，并于1973年发表
了详细的论证。英国数学家哈勃斯和德国数学家理查德在伦敦出版的 《筛
法》，将陈景润的证明增为“陈氏定理”，并赞扬其为“构成筛法理论的光
辉顶点”。这一突破性进展，离最后的结果“1＋1”，还有一步之遥。数学界
认为，要彻底解决哥德巴赫猜想，现在的方法已经用尽，必须在方法上有所
突破和创新。
⑨任意数领域中最一般的互反率的证明。该问题已分别由
日本数学家高木贞治（1875—1960）于1921年和奥地利数学家阿廷（1898
—1962）于1927年解决。
⑩丢番图方程可解性的判别。求出一个整数系数方程的整数根，称为丢
番图 （古希腊数学家，约210～290）方程可解。希尔伯特问，是否能用一种
有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1950年前后，美国数
学家戴维斯、普特南、罗宾逊等取得关键性突破，1970年，苏联的马季亚谢
维奇最终证明，第10问题的答案是否定的。尽管如此，该问题的探索过程产
生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。
（11）系数为任意代数数的二次型。德国人哈塞、西格尔和法国的魏依在
此问题上均取得重要结果。
（12）阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域。该问题尚未
解决。
（13）不可能用只有两个变数的函数解一般七次方程。1957年，苏联数学
家阿诺尔德 （V。I。Arnold）解决了连续函数的情形，1964年维土斯金
（Vituskin）又推广到连续可微函数情形。解析函数情形则尚未解决。
（14）某些完备函数系的有限性的证明。这和代数不变量问题有关，1959
年，日本数学家永田雅宣举出了反例，获得否定解决。
（15）舒伯特计数演算的严格基础。舒伯特曾对“有几条直线能和三维空
间中的四条直线都相交”的典型问题，给出了一个直观解法。希尔伯特要求
将问题一般化，并给以严格基础。其代数几何基础已由荷兰数学家范德瓦尔
登 （1905—）等所建立，但舒伯特演算的合理性仍待解决。
（16）代数曲线和曲面的拓扑问题。这个问题分为两部分。一部分涉及代
数曲线含有闭的分支曲线的最大数目，一部分则要求讨论dy/dx＝Y/X的极限
环的最大个数和相对位置，其中X，Y是X，y的n次多项式。苏联的彼德罗
夫斯基院士曾证明了n＝2时极限环的个数不超过3。1979年，中国的史松龄
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和王明淑分别给出了4个极限环的反例。（17）正定形式的平方和表示。1927
年，由数学家E。阿廷解决。（18）用全等多面体构造空间。德国数学家比勃巴
赫、莱因哈特分别于1910年和1928年分别对该问题作出部分解决。
（19）正则变分问题的解是否一定解析。苏联数学家伯恩斯坦和彼德罗夫
斯基等得出了部分结果，前者证明了一个变元的解析非线性椭圆方程其解必
定解析。该结果后又被推广到多变元和椭圆组情况。
（20）一般边值问题。这一问题的研究还在蓬勃发展，已形成一个很大的
数学分支。
（21）具有给定单值群的线性微分方程解的存在性。已由希尔伯特本人于
1905年、勒尔于1957年和德利涅于1970年所解决。
（22）解析关系的单值化。问题涉及艰深的黎曼曲面论，1907年德国的克
伯解决了一个变数的情形，取得重要突破，其他方面尚未解决。
（23）变分法的进一步发展。希尔伯特在这个问题中，谈了对变分法的一
般看法。20世纪中变分法有了长足发展。
希尔伯特提出的23个问题，对20世纪数学发展的影响是巨大的。当然，
本世纪中数学发展的广度和深度都远远超出世纪初的预测，这表现在代数拓
扑、抽象代数、泛函分析、多复变量函数等方面，更表现在应用数学以及随
计算机出现而蓬勃发展起来的计算数学和计算机科学方面。
在21世纪的脚步已清晰可闻的又一个世纪之交，23个问题中仍有约三
分之一的问题有待解决，而其中的大部分恐怕要留给新的世纪了。
这一时期，数学还发展了一个全新的、重要的分支——张量分析。它的
创建只是迎合数学的某种特殊目的，是与黎曼几何相联系的微分不变量研究
的一种变形。然而，相对论的诞生和爱因斯坦成功地应用张量分析于相对论，
则大大促进了人们对这一分支的兴趣，也同时促进了这一分支的发展。
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九、世纪之交的科技特点及其比较
1870年—1918年，这48年的时间跨越了两个世纪。处在世纪之交的这
段时间，科学技术的发展，在当时的经济背景和文化背景下形成了鲜明的特
点：
1。经典科学理论向现代科学理论的转变
从19世纪后30年到20世纪20年代，科学的发展经历了从经典理论到
现代理论的转变。这一变化最突出、最重要地表现在物理学方面。19世纪末，
物理学的发展在力学方面有了牛顿的力学体系，在电磁学方面有了麦克斯韦
的电磁理论。牛顿力学概括了从伽利略到开普勒的力学理论；麦克斯韦的电
磁理论概括了从奥斯特到法拉第的研究成果。至此，古典物理学已经达到了
自己的顶峰。许多物理学家认为，物理学的理论大厦已经建成，它甚至达到
尽善尽美的程度，因此，剩下的问题只不过是些可有可无的修饰，总之，要
做的事情已经不多了。但令物理学家们感到美中不足也放心不下的是经典物
理学还有两个问题没有得到完满的解释，因此它们被称为物理学上空的两朵
乌云。其一是黑体辐射的疑难，其二是“以太漂移”实验的“0”结果。人们
试图揭开两朵乌云之谜，但又发现这将动摇经典物理学的理论根基。
两朵乌云引起了物理学的危机。面对危机，许多著名的物理学家表现了
不同的态度，于是形成了“机械学派”和“批判学派”。机械学派极力维护
经典物理学的基本理论纲领——以力学的基本概念和原理来解释一切物理现
象；而批判学派则对经典物理学采取了大胆的批判态度。机械学派继承了物
理学的传统，他们遵循了认识的唯物主义观点，但又把力学原理看作可以达
到的绝对真理，从而把机械论和唯物论等同起来，他们又总是力图把新的发
现纳入经典力学的体系之中。批判学派否定机械论中的形而上学，但他们只
承认知识的相对性和坚持约定性，而忽视了知识的客观内容，因此陷入了实
证主义和唯心主义的泥坑。机械学派和批判学派在哲学观念上的保守与偏执
使他们在理论研究中无法走出科学的迷宫。
物理学上空的两朵乌云，看似成不了什么气候，然而却酿成了20世纪物
理学革命的暴风骤雨。这场革命的伟大旗手便是相对论的创立者爱因斯坦。
在狭义相对论中，爱因斯坦提出了“尺缩”和“钟慢”效应，否定了牛顿的
绝对时空观，指出了牛顿力学在低速状态中的合理性，从而把物理学的理论
从低速扩展到高速。在广义相对论中，爱因斯坦提出了等效原理和广义相对
性原理，从而把物理学理论从宏观扩展到微观和宇观。物理学的新概念——
相对论和量子力学，囊括了牛顿力学的理论体系，获得了理论研究的重大突
破，从而使物理学发生了从经典科学理论向现代科学理论的转变。
科学的发展是辩证的否定，是在批判的基础上汲取前人成果中的合理部
分并加以发展和创新。因此可以说，如果没有牛顿力学和那时其他科学家创
立的科学理论，就不可能发生18世纪的产业革命；如果没有法拉第的电磁感
应定律和麦克斯韦的电磁理论，电气化时代在19世纪就不可能出现；如果没
有爱因斯坦的相对论、质能关系式和薛定谔的波动方程，那么，电子和原子
时代的到来就不可能在20世纪变为现实。
化学也同样发生了从经典科学理论向现代科学理论的转变。经典化学的
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最高成果是拉瓦锡的氧化说和道尔顿的原子论。拉瓦锡建立的燃烧的氧化说
否定了燃素说，使化学从燃素说中解放出来，并迅速得到发展。拉瓦锡不仅
建立了科学的燃烧理论，而且还建立了质量守恒定律。后来，道尔顿的原子
论把化学理论提高到一个新的阶段。关于物质分割到最后的最小单位，当时
存在着几种不同的说法，如分子、粒子、原子等，是道尔顿使用了原子一词，
将各种称谓归于一统。1803年，道尔顿提出了倍比定律。1808年，道尔顿发
表了《化学哲学的新体系》的论著，确立了以质量不灭定律为武器的科学的
元素观，与拉瓦锡的《化学的元素》一起奠定了近代化学的基础，成为古典
化学的两大名著。
此后，粒子物理学的发展，进一步发现原子仍然是可分的，它包含电子、
质子和中子。在门捷列夫发现元素周期律，列出了周期表之后，人们对元素
的化学性质和化学反应有了质的认识和量的把握。从此，化学进入了现代化
学阶段。
2。以电气技术为主导，带动、促进其他领域的技术发展
如果说18世纪的技术是以蒸汽动力技术为主导而发展起来的，那么19
世纪则是以电气技术为主导，电气技术的发展，带动和促进其他领域�