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维的不仅是数，而且有不定的量或整个演算过程，这些都可在这种意义之下用符号标记出来，譬如；这样，人们就不再进行演算，只仅仅示意而已。
和在算术中一样，人们也可以在几何学中以同样的权利，用同样的妥当性仅仅只以先验的纯粹直观作为真理的根据。事实上，赋予几何学以较大自明性的也总是这按存在根据律而直观地认识到的必然性。几何学的定理在每人意识中的真确性就是建立在这种自明的根据上的，而决不是建立在矫揉造作的逻辑证明上的。逻辑证明总是于事太疏远，大多是不久就被遗忘了；不过遗忘了也并无损于＇人的＇ 确信。就是完全没有逻辑证明也不会减少几何学的自明之理，这是因为几何学的自明本无待于逻辑的证明，逻辑的证明总不过是证明着人们原已从别的认识方式完全确信了的东西。这就等于一个胆小的士兵在别人击毙的敌人身上戳上一刀，便大吹大擂是他杀了敌人。
有了上述这一切，可望人们以后再不会怀疑数学上的自明之理既已成为一切自明之理的模范和象征，在本质上并不是建立在证明上的而是建立在直接的直观上的。在这里如此，在任何地方也是如此，直观总是一切真理的源泉和最后根据。并且数学所根据的直观和任何其他的直观，亦即和经验的直观相比，有着一个很大的优点；即是说数学所依据的直观是先验的，从而是不依赖于经验的；经验是一部分一部分，依次获得的，对于先验的直观，＇无分先后远近＇则一切同时俱在，人们可以任便从根据出发或从后果出 发。这就给数学所本的先验直观带来了一种充分的、无误的正确性，因为在这直观中是从原因识取后果的，而这就是唯一有必然性的认识。例如说一个三角形中的三边相等被认为是基于角的相等。与此相反，一切经验的直观和大部分经验却只是反过来从后果认原因的，这种认识方法就不能说没有错误，因为只有在已有了原因之后，后果才说得上有必然性；而从后果认取原因就不能有这种必然性，因为同一后果可能是从不同的原因产生的。后面这种认识方法永远只是归纳法，即是从多数的后果指向一个原因而假定这原因是正确的。但是个别的情况既决不可能尽集于一处，所以这样的真理也决不是绝对可靠的。然而一切感性直观的认识和绝大部分的经验就都只有这样的真理。官能有所感受便促起悟性作出一个从后果到原因的论断，但是从原因所产生的＇后果＇上溯原因的推论是决不可靠的，所以作为感性迷误的假象就有可能了；并且如前所述，也经常出现。只有几种或所有五种官能都有指向同一原因的感受，假象的可能性才减低到最小限度，但并不是就完全没有了。因为在某些场合，例如使用伪造的钱币，人们就骗过了所有的感官。一切经验的认识，从而全部自然科学，如不计其纯粹的（即康德所谓形而上的）部分，也同在上述情况中。在这里也是从后果认原因，所以有关自然的一切学说都是建立在假设上的。假设又往往是错误的，错误的假设只有逐渐让位于比较正确的假设。只有在有意举行的实验中，认识过程是从原因到后果的，也就是走的那条可靠的路；可是这些实验本身又是按假设而进行的。所以没有一种自然科学的分支，如物理学、天文学，或生理学，能够象数学或逻辑一样，可以是一次被发现的，而是曾经 需要，现在还需要许多世纪所搜集的，经过比较的经验。只有经过多次经验的证实，才能使假设所依据的归纳法有那么近于完备的程度，以至这种完备的程度在实践上就可以代替准确性。于是，人们也不大以为这种完备程度的来源对于假设有什么不利，正如人们不大以为直线和曲线的不能通约对于几何学的应用有什么不利，不以为“对数”永远达不到完全的精确性对于算术有什么不利一样。原来如同人们＇可以＇ 以无穷的分数使圆无限的接近于方，使对数无限地接近精确一样，同样，人们也＇可以＇以多次的经验使归纳法——亦即从后果认原因的知识——虽不是无限的，却能那么接近于数学的自明性——亦即从原因到后果的知识———以致误差的可能性小到了可以被忽略的程度。不过误差的可能性尽管小，总还是存在的；譬如从无数情况来推沦一切的情况，实际上也就是推沦一切情况所依据的那一未知的原因，就是一个归纳的推论。在这种论断中还有一个比“人的心脏都在左边”这样的论断更显得可靠的吗？然而，在最罕有的场合，在极个别的例外，居然有些人的心脏在右边。——因此，感性的直观和经验的科学都有着同一类的证据。和感性直观与经验科学相比，数学，纯粹自然科学与逻辑，作为先验的知识而有的优点，只在于一切先验性所本的认识的形式方面是全部而同时被给与的；所以，在数学，纯粹自然科学和逻辑经常可以从原因走向后果；而在感性直观和经验科学则大多只能从后果走到原因。在别的方面，因果律本身，亦即指导经验认识的变易根据律，和上述＇纯粹＇科学先验地服从的根据律的其他形态是同等妥当的。——从概念得来的逻辑证明或推沦也和先验直观的认识一样，有着从原因认取后果的优点，由此这些推论在其自身，亦即在形式上，也是不可能有错误的。这很有助于使证明根本享有如此高的评价。可是逻辑证明的无误性只是相对的。这些证明只是在一门科学的最高命题之下从事概括罢了，而这些最高命题才是包含这门科学所有一切真理的总汇，所以不能就以证明了事，而是必须以直观为根据的。这种直观在上述几个少数的先验科学中是纯粹的，否则总是经验的，并且只有通过归纳法才能提升到普遍。所以，在经验的科学中虽也可以从普遍证明特殊，但这普遍是从个别获得其真实性的，这普遍是一个储存器材的仓库，却不是自己能生产的土壤。
关于真理的求证已说得不少了。至于谬误的来源和可能性，自柏拉图以来，人们曾一再企图加以说明。柏拉图的答案是形象化的，他说谬误就好比在鸽笼里捉错了一只鸽；如此等等（《特厄特都斯》，第167页等）。关于谬误的来源康德所作的说明是空洞的，模糊的，他用对角线的移动这一图形来作说明，可以参看《纯粹理性批判》第一版第294页，第五版第350页。——既然真理就是一个判断和其认识根据的相关，那么，这个作判断的人怎么真能相信有这么一个根据而实际上却没有，即是说谬误，这理性上的蒙蔽是怎么可能的就诚然是一个问题了。我认为谬误的可能性和前文所说假象的可能性，或悟性的蒙蔽的可能性，完全是类似的。我的意见就是（所以这里恰好是插入这个说明的地方）每一谬误都是从结论到根据的推论；如果人们知道这结论只能有这一个而决不能另有一个根据时，这根据还是妥当的，否则就不妥当。陷入谬误的人，要么是为结沦指定一个它根本不可能有的根据，这就表现他真正是缺乏悟性，也即是缺乏直接认识因果联系的能力；要么是一个更常见的情况：他为结论指定一个可能有的根据，同时还为他这种从结论到根据的推论补上一个大前提，说该结论无论何时只能是由他所提出的这根据产生的。其实只有作过完备的归纳功夫之后，他才有权这样说，然而他并未作过这功夫就事先这样假定了。因此，“无论何时”这个概念就大广泛了，而应代之以“有时”或“大多是”：这样的结论命题是悬而未决的，那也就不会错误了。但陷于谬误的人既然只按上述方式行事，那么他不是操之过急，便是对于可能性的认识大有限，从而不知有应作归纳功夫的必要。因此，谬误和假象完全是类似的。两者都是从结论到根据的推沦。假象总是由悟性来的，也就是悟性直接从直观自身中按因果律造成的；谬误总是由理性来的，也就是理性在真正127的思维中按根据律所有的形式，最大多数也可以是按因果律造成的。按因果律造成的谬误有下面三个例证，人们可以视之为三类谬误的典型或代表：1）感性假象（悟性的蒙蔽）促成谬误（理性的蒙蔽），例如人们把绘画看作浮雕，并且真以为是浮雕。这是由于这样一个大前提得来的推沦：“如果暗灰色逐点经过所有色差而过渡到白色，那么，这原因无论何时都是光线，因为光照耀在高凸处和低凹处是不同的，所以……。”2）“如果我的钱柜中少了钱，那么，这原因无论何时都是我的仆人有了一把仿制钥匙，所以……。”3）“如果棱镜中被折射的，也就是挪上或移下了的日影已不是前此的圆而白，却是长形而有色彩的，那么，这原因，一次乃至千百次，都是目光中原藏有质同而色彩不同、折射度不同的光线，现在这光线由于折射度不同而被分离出来，于是现为长形的、色彩杂陈的光带了；所以——让我们喝一杯吧！”——任何一个谬误都必然要归结到这样一个推论，也就是以一个常是概括错误的，假设的，从假定某根据到某结论而产生的大前提这样的推论。只有演算的误差不在此列，这种误差本不是谬误而只是差错：即是数的概念所指定的演算过程并没有在纯粹直观中，没有在计数中完成，完成的是另一演算过程。
至于＇一切＇科学的内容，根本看来，事实上无非都是世间各现象的相互关系，是既符合根据律、又是在唯有根据律能使“为什么”有效力，有意义这条线索上的相互关系。证实这些关系就叫做说明。如果两个表象同属一类，而支配该类的又是根据律的某一形态；那么，所谓说明，除了指出这两个表象在这一形态中的相互关系外，就再也不能前进一步了。说明若到了这一步，那就根本不得再问“为什么”：因为这证实了的关系就是一个决不能不如128此想的关系，也即是说它是一切认识的形式。所以人们并不问为什么二加二等于四；不问为什么三角形的内角相等也就决定边的相等；不问为什么在任何一个已知的原因之后必继以其后果；不问为什么前提的真实性使结论也有自明的真实性。任何一种说明，如果不还原到一个不能再问“为什么”的关系，就只能上于一个假定的隐秘属性。可是任何一种原始的自然力也都是这种属性。任何自然科学的说明最后必然要止于这样的隐秘属性，也就是止于漆黑一团。所以自然科学的说明只有让一个石头的，或一个人的，内在本质同样得不了说明完事；对于石头所呈现的重力、凝聚力、化学特性等，和对于人的认识作用、人的行为是一样的说不出一个所以然。例如。‘重”就是一个隐秘属性，因为人们可以设想它不存在，它不是从认识的形式中产生的必须有之物，但惯性定律则不然，它是从因果律推出来的，因而再还原到因果律就是一个充分的说明了。有两种东西是根本不得而说明的，也就是不能还原到根据律所示的关系上去的；第一是在四种形态中的根据律本身，因为它是一切说明的原则，任何说明只有关涉到它才有意义；第二是根据律达不到而是一切现象中本有的东西所从出的自在之物，对于自在之物的认识根本就不是服从根据律的认识。自在之物不可得而理解，在这里只好听之任之；但在下一篇中我们重行考察科学可能的成就时，就可以理解了。但是在自然科学，一切科学，要止步的地方，也就是不仅是说明，甚至连这说明的原则——根据律也不能前进一步的地方，那就是哲学＇把问题＇重新拿到手里并且以不同于科学的方式来考察的地方——。在《根据律》51节我曾指出根据律的这一形态或那一形态如何分别是指导各种科学的主要线索。——事实上按这种办法也应该可以作出最恰当的科学分类。不过按每一线索而作出的说明，如已说过，永远只是相对的，总是在相互关系中说明事物，总要留下一些未说明的东西，而这也就是每个说明预先假定了的东西。这种东西，例如在数学中就是空间和时间；在力学、物理学、化学中就是物质、物性、原始的＇自然＇力、自然规律等等，在植物学和动物学中就是种属的分歧和生命本身；在历史学中就是人类及其思想方面和意欲方面的一切特征；——在一切这些＇科学＇中的还有根据律按个别需要而加以应用的某一形态。——哲学有一个特点：它不假定任何东西为已知，而是认一切为同样的陌生都是问题；不仅现象间的关系是问题，现象本身也是问题，根据律本身也是问题。别的科学只要把一切还原到根据律，便万事已足；对于哲学这却是一无所获，因为一个系列中此一