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（5）
n
ai＝Σaij（i＝1，…，m）。
j＝1
对该产业的可变要素的供给可以描述为：
（6） gi＝gi （Pa1，Pa2，…，Pak）（i=1，…，k）
这里gi也可能取决于其他产品的价格和类似的因素，诸如被认为对该产业是固定的变量，各固定要素的供给方程式不必包括在内，因为根据方程（4），对i＝k＋1，…，m来说，它们都和方程（5）完全一样。
产品的供给
最后，产品的总供给由
（7）
n
X＝ΣXjo
j＝1
给出。
变量和方程数量
现在我们计算一下变量和方程的数量以检验其完整性。
变量如下：
名称 变量符号 数量
产业产量 x 1
每个厂商的产量 xi（j＝1，…，n） n
每种要素的总量 ai（i＝1，…，m） m
每个厂商所用每 aij（i＝1，…，m） mn
种要素的数量 j（j＝1，…，n）
产品价格 Px 1
可变要素的价格 Pai（i＝1，…，k） k
变量的总数 2＋k＋n＋m＋mn
方程如下：
方程 数量
（2）（3）（4）或（2）’（3）’（4）’ n（m＋1）
（5） m
（6） k
（7） 1
方程总数 1＋k＋n＋m＋mn
变量比方程多一个。所以我们可以删去所有的变量。只留下，比如，x和px以及一个方程。如果我们从所得的方程中求解X，从而得到。比如说；
（8） X＝S（Px），
这个方程就是该产业的供给曲线。
《价格理论》
米尔顿。弗里德曼著
第六章 可变比 例定律及厂商成本曲线
我们刚刚用正规的方法，讨论了可能得到的各种类型的供给条件。我们看到，供给条件是由个别厂商的成本曲线来决定的。现在，我们来考察形成厂商成本曲线的条件。当然，我们对厂商本是没有什么兴趣，我们是要更充分地了解决定一个行业供给条件的各种因素。我们必须切记，供给曲线仅只对竞争性行业来说才是一个有意义的概念。否则，仅有价格尚不能完全描述个别厂商所面临的需求条件。我们也须牢记，在从成本曲线过渡到供给曲线时，我们必须密切注视可能存在的外部经济或不经济——经济的或不经济的对厂商来说是外部的，但对行业来说是内部的，并且因此而影响那个行业的供给曲线。
可变比例定律
我们可以把厂商看做要素市场和产品市场之间的媒介，在前者那里，厂商购买资源，在后 者那里厂商出售产品。对厂商来说，它所生产的产品的需求条件已经被这种产品的需求（或平均收益）曲线所概括。要素市场的供给条件则概括在该厂商的生产要素供给曲线之中。制约这个厂商的技术条件则由生产函数来概括，生产函数对各个厂商所使用的各种生产要素的已知数量来说，表示它所能生产的（最大）产量。
这种生产函数被赋与的一个性质通常被称做“报酬递减定律”。这个术语与在固定和可变生产要素的条件下对这个所谓定律进行的解释密切相关。然而，所讨论的问题，实际上很少或没有涉及固定和可变要素之间的这种区别，而主要与改变被使用的不同要素的比例时所产生的效果有关，这些要素全都以完全对称的方式进入生产过程。所以，称它为“可变比例定律”或许将可以避免混淆。
表6。1
△（） △（）= △（） △（）=aX/aA
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 ∞ 0 Ind． 1 1／16 16 Ind。 －∞ 0
1／16 16 1 16 3 1／16 48 16 －8 －2
1／8 8 4 32 5 1／8 40 4 －4 －1
1／4 4 9 36 9 1／4 36 0 －2 0
1／2 2 18 36 7 1／2 14 －11 －1 11
1 1 25 25 11 1 11 －7 －1／2 14
2 1／2 36 18 0 2 0 －9 －1／4 36
4 1／4 36 9 －4 4 －1 －5 －1／8 40
8 1／8 32 4 －16 8 －2 －3 －1／16 48
16 1／16 16 1 Ind。 ∞ 0 －1 －1／16 16
∞ 0 Ind． 0
说明；Ind．表示不定数。
各列的文字说明如下：
（1）单位A所用的B的单位数，
（2）单位B所用的A的单位数，
（3）单位A的产品，
（4）单位B的产品，
（5）单位A产量的变化，
（6）单位A所用的B的单位数的变化，
（7）B的边际产品，
（8）单位B产量的变化，
（9）单位B所用的A的单位数的变化，
（10）A的边际产量。
为了说明这个定律设计了一个假想的生产函数，分别以表格和图的形式给出，见表6．1和图6．1。在这个例子中，我们假定只有两种生产要素，比如说A和B，用来生产产品。第一列给出了对于每单位A所用B的单位数的一级选定值，即要素组合的一组假定的比值。我们暂时先跳过第二列。第三列表示对于每个B对A的比值来说，单位A的产出单位数目。比如说，若使用B的单位数为使用A的单位数的1／16，那么每使用一个单位的A，就可以生产一个单位的产品，如果使用相同单位数的B和A，那么每投入一个单位A就可以生产25个单位的产品。
现在看来，仅仅是做如此陈述，就已经很能说明这种生产函数的特点了。因为，例如说，可能会有这样的情况；一个单位的B和一个单位的A能生产25个单位产品。可是，两个单位B和两个单位A却既可能生产多于，也可能生产少于50个单位的产品。在那种情况下，已知使用了单位数目相等的A和B并不足以决定每单位A的产出；此外，人们尚需知道单位的绝对值。当且仅当生产函数具有将生产要素扩大一个常数倍数，会使产出也扩大同一常数倍数的性质时，例如，全部生产要素翻一番，产出也翻一番。每单位A的产出才是生产要素的比例的函数。具有这种性质的生产函数定义为一次齐次函数，我们用作说明的表就是描绘这种函数的。
我们稍后将会再来讨论这种性质的含义和意义。目前，我们只要说，我们最终还是要区分影响单个厂商成本的二组因素：要素组合比例和生产规模，就足够了。可变比例定律涉及第一组因素，我们最好暂时假定规模没有影响，而将它抽象掉，这恰是下列假设的内容即假定厂商的生产函数是A和B的一洗齐次式，A和B是所涉及到的仅有的两种生产要素。再者，我们将会看到，规模的影响本身也可以看作为可变比例起作用的结果，所以我们所做的假设，并不像起初所设想的那样特别。
已知生产函数是一次齐次的，并只涉及两种生产要素，如果每一列的明细数字足够多的话，第一列和第三列这两列就可把它完整地描述出来。考虑一般性的问题：若有a1单位的A和b1单位的B，能够生产多少X？我们可以先计算出a1/b1，把它置入第一列的适当位置，并在第三列中找到对应的明细项，然后用a1乘以该项值就可以得到答案。这就是我们所谓的在这种情况下一切都决定于不同要素组合的比例。由此可知，表6．1的其余部分都可以由第一列和第三列得出，检查一下表头就可以证实这一点：第二列不过是第一列的倒数；第四列等于第二列除以第一列或乘以第二列，余类推。
给出第一列和第二列的理由，就是要使我们能将该表很快地转换成可变要素和固定要素的术语。假定厂商必须使用一个单位的A，然而却可以使用不同数量的B。那么，第三列——或每单位A的产品——就是“总”产品；第四列——或每单位B的产品——就是“可变”要素的“平均产品”；第七列——B的边际产品——则是“可变”要素的“边际产品”。同样地，若厂商必须使用一个单位的B，却可以使用不同数量的A。我们可以取第二列来表示所使用的A的数量。当然，此时我们就需要从下往上读这个表，因为这对应着可变要素的数量不断增加的情形。第四列——或单位B的产品——是“总产品”，第三列——每单位A的产品——是“可变要素”的平均产品；策十列——A的边际产品——是可变要素的“边际”产品。
我们再去看看图和表中的数值。这个特殊的例子的设计是为了描绘两个变量、一次齐次生产函数的绝大部分在算术上可能出现的情形，并非所有的情况在算术上都可能；例如，在有关的变量增加时，平均产量是不会增加，同时又大于其对应的边际产品的。在检查这类数字的内部一致性时，必须注意，在我们从左向右阅读图形时，A相对于B是递减的。因此，在解释曲线A时，似乎应“反向”读。
递增收益和递减收益这些名词有时是指边际收益，有时又是指平均收益。所以，最好明确指出所取的是哪种含义。此外，这些名词总是指当对应的要素增加时收益的性质。B的边际收益开始时增加，后来又减少，最终变成负值。B的平均收益在很长的区间内增加（直至达到每单位A对B的比为1/4这一点，倘若我们只注意设定的那些点，而不考虑中间的插值），并在B比A为1/2这一点和1/4这一点上相等，然后递减。当然，若从表的下端往上读，从图的左端向右看，我们马上会看到A以同样的方式变化。A的边际收益在每单位B对应1/16至1/8单位的A之间的某处增加，然后减少，最终变为负值。A的平均收益在每单位B对1/4单位A这点之前增加，在A比B为1/2的点与A比B为1/4的点相等，然后递减。
假设前面的图表概述了制约所讨论的产品生产的技术条件。即设计它们的目的是要回答如下的技术问题：已知两种生产要素的具体数值，可能生产的最大产量为多少？现在，让我们看看怎样使用这些信息，同时，我们也能够检验一下，所列的全部算术上可能的情况在经济上和技术上是否都是恰当的。
举例来说，假定我们有8个单位的A和64个单位的B。由表可知，当B比A的比率为8比1时，每单位A的产出是32，这意味着总产出为256。然而，这究竟是不是我们可能得到的最佳值呢？对该表的进一步研究表明，情况不是那样。假定“扔掉”一些B，即不“用”它，并不用付出任何代价，这样，只使用16个或 32个单位的B，即每单位A使用2个或4个单位B，我们就可以得到每单位A的36的产出，或总产出288。若是表中列出更多的明细项，可能在2和4之间存在某个数字会更好。显然，对每单位A使用任何更大数量的B来说，情况完全相同，所以，不管B有多少，对每单位A投入多于4个单位B是毫无意义的。类似地，若我们有同样的8个单位A，但只有一个单位B，B比A为1/8的那个明细项表明，每单位A有4个单位的产出，或总产出为32。然而，这又不是我们真正能达到的最佳值。假定我们“抛弃掉”，即不再使用，4个单位A，那么，我们就要在B对A的比为1/4的情况下经营，在这一比例下，每单位A的产出为9，若乘以被使用的4个单位A，总产出将为36。结果，不管B是多么的“稀缺”，每单位A使用少于1/4单位B都是毫无意义的，或者反过来说，不管A是多么充裕，对应每个单位B，使用多于4个单位A都是不合理的。现在，假定B对A的比值在1/4和4之间，比如说8个单位的A和8个单位B，或者说比值为1，那么会发生什么类似的情况吗？显然不会，若使用全部的A和全部的B，每单位A的产品是25，总产出是200。若使用较少的A，比如说4个单位A，每单位A的产出可以增加至36，但是，因为只使用了4个单位A，总产出减少到144，同样，若使用较少的B，比如说只用4个单位B，每单位B的产出可以增加到36，但这只有以总产出减少到144为代价才能实现。
这些例子说明，在图6．1中根据平均收益的变化来划分的三个区域具有极为不同的含义。在第一个区域中，B的平均收益是递增的，而A的平均收益是递减的；在第二个区域中，A和B的平均收益都是递减的；第三个区域是第一个区域的反面——对一个要素来说，在这里是A，平均收益递增，而对另一个要素来说，平均收益是递减的。我们的例子说明了，第一个和第三个区域是应�