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如果列出一张以天顶距为引数，每隔一度的影长的数值表，则以上两个问题都可以解决：先在所测地测出（冬）夏至晷影长度（在一行领导的大地测量中，在每处都进行了这样的测量），由影长查表得出太阳天顶距，再加减一个如前所述的差数αi 即可求出该地各气的天顶距，返回再查表得影长。一行在《大衍历》“步晷漏术”中就建立了这样一个从0 度到80 度的每度影长与太阳天顶距对应数表，这是世界数学史上最早的一张正切函数表。①在国外，大约920 年左右，阿拉伯学者阿尔·巴坦尼（al…Battani，约858—929）根据影长与太阳仰角之间的关系，编制了0 度—90 度每隔一度时12 尺竿子的影长表，这实际上是一个12ctgα的数表。另一位阿拉伯学者阿① 刘金沂、赵澄秋：《唐代一行编成世界上最早的正切函数表》，《自然科学史研究》第5 卷第4 期（1986），第298—309 页。
尔·威发（Abul…Wafa，940—998）在980 年左右编成了正切和余切函数表，每隔15 度和10 度给出一个值。他还首次引进了正割和余割函数。②一行和阿尔·巴坦尼差不多沿着相同的途径编成正切和余切函数表。一行用太阳天顶距，阿尔·巴坦尼用太阳仰角，两者互为余角，所以他们两人的发现是相同的。而一行的正切函数表比阿尔·巴坦尼的余切函数表早近两百年，比阿尔·威发的正切表要早二百五十年。尽管一行的正切函数表只从0 度到80 度，误差也相应大一些，但它毕竟是世界上最早的正切函数表。
② 参见梁宗巨《世界数学史简编》；D。E。Smith，HistoryofMathematics，Vol。2。第四节《大衍历》的插值算法今天常用的牛顿插值公式，其不等间距的形式比等间距的形式要复杂得多。天算史界有一种流行的看法，认为在中国古代，唐朝天文学家、数学家一行在其《大衍历》中发明了二次不等间距插值法，且一行还有意识地应用了三次差内插法近似公式①。因此，一行在插值法方面的贡献备受中外天算史研究者的关注。
我国古代非线性插值法，是刘焯在其《皇极历》（604）中考虑到太阳运动不均匀性为计算太阳行度改正值时首创的。有关中国古代插值法的算理研究的新成果表明，刘焯二次等间距插值法的造术原理建立在源于《九章算术》描述匀变速运动的模型基础之上，认为太阳每日的运行速度之值构成一等差数列。质言之，所用数学方法就是构造一等差数列并求其前若干项和。一行的插值法并没有人们所想象那样的推广意义。就插值算法本身，一行算法与刘焯算法实质完全相同②。所不同的是，《皇极历》是在以平气为间隔的日躔表基础上插值。而《大衍历》是在以定气为间隔的日躔表上插值。
《太初历》以后，各历都以平分一回归年365。25 日为24 等份而得每节气长15。22 日，这样规定的二十四气称为“常气”，或叫“平气”。张子信指出“日行春分后则迟，秋分后则速”，于是刘焯造《皇极历》时体会到二十四气皆应有“定日”，他说：“春、秋分定日去冬至各八十八日有奇，去夏至各九十三日有奇。”但刘焯并没有搞清楚太阳速度的加减和季节的关系，他的日躔表是把秋分定日后到春分定日前平均分为12 段，每气14。54 日；春分定日后到秋分定日前也平分为12 段，每气15。45 日。这显然不是“定气”。一行则认为，太阳在一回归年365。2444 日中共行365。2444 度，每气行15。2185 度。冬至附近日行速度最急，故二气间所需运行时间最短，夏至附近日行速度最缓，故二气间的时间最长。实际上，《大衍历》这里首先提出了平分黄道为24 等份，以太阳实际走完每个等份的时间长度为各节气长度，这就是通常所称的“定气”概念。一行提出正确的定气概念以后，在计算太阳改正时自然就以定气为插值间隔。至于插值法本身则完全是沿用刘焯的方法。
值得一提的是，刘焯在日躔表中规定太阳视运动一年内的变化规律是：冬至最快，冬至后渐慢，到立春时开始加快，春分时又达到最快，冬至到春分这段时间内日速比平均速度快。春分后太阳视运动的速度突变为最慢，之后逐渐加快，到立夏时又开始减慢，夏至达到最慢。春分到夏至时段内比平均速度慢。夏至以后的变化情况以夏至处为镜面对称，如图3 所示。
《大衍历》盈缩分一年内的变化趋势则如图4 所示。盈缩分在冬至附近最大，以后逐渐变小，夏至时最小，之后又逐渐增大。这相当于把冬至作为太阳视运动的近日点，夏至为远日点。这种认识是正确的，而《皇极历》的规定是不符合实际的。
① 严敦杰：《中国古代数理天文学的特点》，《科技史文集》（第1 辑），上海科学技术出版社1978 年版，第1—4页。
② 王荣彬：《中国古代历法中的插值法构建原理》，见曲安京、纪志刚、王荣彬：《中国古代数理天文学探析》，西北大学出版社1994 年版，第251—317 页。
说一行有意识地应用了三次差内插法的近似公式，是指《大衍历》的月亮极黄纬算法和五星中心差改正算法中所用的插值法。当对我国古代历法中的插值法的构造原理有了深入的认识之后，研究者进一步通过将这两处插值法的有关术文与刘焯二次等间距插值法的术文进行对比研究，证明两者在实质上也是相同的。
人们之所以会认为《大衍历》使用了三次差插值法，是因为《大衍历》在上述两种算法的插值法中都引入了“中差”概念的缘故。但实际上一行引入“中差”的原因在于，刘焯日躔表中的各气陟降率之差是相等的，而《大衍历》月亮极黄纬等数表相邻两栏的差一般不等。这种现象的出现，正是一行受命改历时作了大量天文观测的结果。若仍照搬《皇极历》的做法，就会出现同一点处有可能得到两个不同的值的现象，这就迫使一行必须在计算方法上进行一点细节上的调整。
第二十三章刘知幾吴兢第一节刘知幾①好学少年，博览史籍刘知幾（661—721），字子玄，彭城（今江苏徐州）人。父亲刘藏器在唐高宗时任侍御史。善于词章，文史很有造诣。有三个儿子，知幾排行第三（在堂兄弟中排行第五）。刚十岁出头的刘知幾学《尚书》，由于深奥难懂，学习不专心，常常被父亲责打。一天，知幾看见父亲给哥哥们讲《左传》，就放下手里的《尚书》，偷偷跑去听，听了几次，对《左传》发生了浓厚的兴趣。《左传》中有很多生动的历史故事，像曹刿论战、卫懿公好鹤、唇亡齿寒等等，人物写得活灵活现，还讲明事件发生的时间、地点，比起类似文件汇编的《尚书》，显然好懂易学。他兴奋之余又想到自己功课，不禁叹息说：“书如是，儿何怠！”这话传到刘藏器耳朵里，就同意小儿子也学《左传》。知幾学完《左传》，这时刚十二岁。此后，他又学习《左传》的注疏文字，并读了《史记》、《汉书》、《三国志》等史学名著，仍感到不满足。他的志向并不在于仅仅了解一些历史事实，而更喜好探究古今沿革状况和历史发展的大势。他读史的范围逐步扩大，到十七岁时，已广泛涉猎汉代以来的各种体裁的史书，包括唐朝皇帝实录。这些书多数是借阅的，有的部帙残缺。通过勤奋苦读，刘知幾不但获得了大量历史知识，而且也对各种史书的思想观点、叙事体例、文字特点，有了基本的了解和掌握。
读这些史书时，刘知幾不盲目崇拜前代史家，敢于大胆提出自己的看法。如他认为：《汉书》既然是写西汉一代之史，就不应有《古今人表》（班固《汉书》中的《古今人表》所收录人物起自远古的太昊伏羲氏，止于秦末陈胜、吴广等，未收录西汉人物）；谢承的《后汉书》应该为西汉末起义军所立的更始皇帝（刘玄）立“本纪”。当时听到刘知幾这番议论的人，都责备他不该这般议论前辈大学者。后来他读到了张衡、范晔的文集，发现他们对《汉书》、《后汉书》的批评，竟与自己的批评一样，自己许多看法有与前人不谋而合之处。这极大增强了刘知幾在钻研学问上的自信心。从此，刘知幾更加活跃地独立思考，在钻研史书过程中，一有创见就随手写成札记。日子久了，学问就越来越渊博，为后来撰写《史通》打下了基础。
以文知名，步入仕途唐高宗永隆元年（680），刘知幾考中进士，被任命为获嘉县（今属河南）主簿，这时刚二十岁。有了官职之后，他面临两条发展道路：一是以声名继续词章之学，以利于仕途发展，求名利双收；二是重新钻研历代史书，但此不为时人所重，影响个人的声望和升迁。他选择了后者，把精力投向史学。有一段时间，他去京城长安和东都洛阳，从官方和私家广泛借阅史书，尽情披阅。
① 本节主要依据《旧唐书》卷一○二《刘子玄传》、《新唐书》卷一三二《刘子玄传》、《唐会要》卷三六《修撰》、卷六三《史馆上》、卷六九四《史馆下》、《史通》、《全唐文》卷二七四。刘知幾虽然对史学异常执著，但对政治也并非漠不关心。他在任获嘉主簿期间，曾多次上书皇帝，表达革新政治的意见。当时正值武则天当政。武则天一方面严厉打击长期把持政权的贵族集团，一方面不拘常规大量提拔下层地主阶级成员。文章写得好的人可以做官，普通人可以自荐当官，通过科举考试可以做官。这样一些有才干者可以得到破格提拔，但也泥沙俱下、鱼龙混杂。刘知幾上书请求淘汰不称职的官员。证圣元年（695），刘知幾再次上书，他指出：“每岁一赦，或一岁再赦，小人之幸，君子之不幸。”又说：“君不虚授，臣不虚受。妄受不为忠，妄施不为惠。”可以看出，刘知幾的政治眼光是较敏锐的。他所指出的问题，触及到当时政治中突出的一些弊病。武则天见到刘知幾的几次上书，虽然很赞赏他的直率敢言，但却未采用。当时朝廷一方面大量任官，造成官爵泛滥；另一方面任用酷吏，致使法网严密。很多官员每天上朝前，与家人别离就像生死诀别一样。每任命一个官员，仆役们窃窃私语：“又来了一个鬼。”不到十天一月，可能就被满门抄斩。刘知幾深感置身官场祸福无常，于是作了一篇《思慎赋》放在案头，警戒自己时时保持小心谨慎。这时刘知幾的思想是很矛盾的，他既想奋发有为地干一番事业，又担心成为统治阶级内部争斗的牺牲品。刘知幾很不善于在官场上周旋逢迎。他性情耿直，不得上司欢心，任获嘉县主簿一连十九年不能升迁。
三为史臣，再入东观武则天圣历二年（699），刘知幾被调任定王府仓曹，并参加编写大型类书《三教珠英》。原来北齐时祖珽等编有《修文殿御览》360 卷，唐初高士廉等编有《文思博要》1200 卷。武则天认为这两部类书还不够完备，于是命张昌宗、李峤、徐彦伯等二十余人编修《三教珠英》，在《文思博要》的类目之外，新增佛教、道教、亲属、姓名、方域等部。被挑选来的编修者多是天下饱学之士，这是刘知幾第一次同全国著名学者们共事。无疑，在两年多的修书过程中，他大大开阔了眼界，他的学识也被别的学者所了解。
在《三教珠英》修成的第二年（702），四十二岁的刘知幾终于正式成为国家的一名史官，他被任命为著作佐郎兼修国史，不久又升任左史，撰写起居注。他在晚年曾回顾说：尝欲自班、马以降，迄于姚、李、令狐、颜、孔诸书，莫不因其旧义，普加厘革，但以无夫子之名而辄行夫子之事，将恐致惊愚俗，采咎时人，徒有其劳而莫之见赏，所以每握管叹息，迟回者久之，非欲之而不能，实能之而不敢也。既朝廷有知意者，遂以载笔见推，由是三为史臣，再入东观。可见，刘知幾在进入史馆之前，以孔子自勉，对史学有一番宏伟抱负。
刘知幾从四十二岁起，到六十一岁逝世，绝大多数时间都任史职或兼任史职，中间有几次短时间未担任史职，所以他晚年自称“三为史臣，再入东观”。东观，是东汉时官藏图书之处，并在此组织集体修史，因而后来成为史馆的代称。
刘知幾当史官后很快就发现，在史馆修史很难发挥自己的创见，往往要遵循一些陈腐的修史格式，或者违心地去歪曲历史真相。他在入史馆的第二年奉诏和李峤、朱敬则、徐彦伯、吴兢等编写《唐书》，即修撰本朝纪传体国史。领衔修史的武三思，是武则天的侄子，不学无术�