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雷内是成年人，不会像神童那样，发现自己正在成为平庸的成年人而感到幻灭的痛苦。另一方面，许多数学家在三十岁之前就达到事业的巅峰。虽然她离三十岁还有几年，但也许她对这个年龄界限逼近自己而感到焦虑。
似乎不大可能，他又漫无边际地想了其他几种可能性。她会不会对学术感到愈来愈悲观？是对自己的研究过于专业化而感到悲哀吗？再不然，纯悴是对自己的工作感到厌倦了吗？
卡尔并不相信这些焦虑是雷内行为古怪的原因。果真是这样的话，他觉得自己肯定会发现蛛丝马迹。但他现在得到的印象却全然不是这么回事。令雷内感到苦恼的无论是什么，反正他猜不透。这使他感到烦恼。
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1931年，库特·哥德尔⑥证明了两大定理。第一个定理实际上表明：数学包含或许是真实的、但在本质上却无法证明的陈述。甚至简单如算术的形式系统也可以包括精确，有意义，而且似乎真实无疑的陈述，但却无法用形式方法加以证明。
他的第二个定理表明：断言算术具有逻辑上的一致性，这就是上面所说的那种陈述之一，采用算术公理的任何方法都不能证明其真实性。也就是说，作为一种形式系统的算术无法保证不会得出1=2这样的结果。这样的矛盾也许永远不会遇到，但却无法证明绝对不会遇到。
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卡尔再次走进雷内的书房。她站在书桌跟前，抬头看他。他鼓起勇气说：“雷内，显然是——”
她打断她的话，“你想知道我烦恼的原因吗？好吧，我告诉你。”说着雷内便拿出一张白纸，坐在书桌跟前，“等一下，这需要一点时间。”卡尔又张开嘴，但雷内挥手示意他保持沉默。接着，她深深地吸了一口气，开始写起来。
她画了一条线，穿过纸的中央，将纸分成两栏。然后，她在一行的顶部写下数字1，另一行的顶部写下数字2。接着在这两个数字下面迅速潦草地画一些符号，又在这些符号下面的行列里把它们扩展成一串串别的符号。她边写边咬牙切齿，写下那些文字时，感觉好像她正用指甲刮过黑板似的。
写到纸的三分之二左右时，雷内开始将长串长串的符号减少成连续的短串符号。她心里想，现在要到关键处了。她意识到自己在纸上用力过重了，下意识地放松握在手中的铅笔。在她下面写出的那一行上，符号串变成相等了。接着，她重重地写了个“=”号，横过纸的底部中心线。
她将纸递给卡尔。他望着她，表示看不懂。“看一看顶部吧。”他照办了，“再看一看底部。”
他眉头紧锁。“我还是看不懂。”
“我发现了一种体系，可以使任何数字等于任何别的数字。这张纸上就证明了一和二是相等的。你随便挑两个数字，我都可以证明它们是相等的。”
卡尔似乎竭力在回忆什么。“里面肯定出现了以零为被除数的情况，对吗？”
“不对。没有不符合规则的运算，没有不严谨的术语，没有想当然假定的独立公理，全都没有。证明过程绝对没有采用任何规则禁止的东西。”
卡尔摇了摇头。“等一下。显然一和二是不相等的。”
“但在形式上它们是相等的：证明就在你手里。我使用的一切方法都是绝对无可争议的。”
“但这儿不就是矛盾吗？”
“说对了。也就是说，算术作为一种形式系统，是不一致的。”
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“你找不出错误来，这就是你的意思吗？”
“不对，你没有听。你以为我是因为这种情况才焦头烂额的吗？证明本身并没有错误。”
“你的意思是说，用的方法都是对的，结果却出了错？”
“正确。”
“你肯定——”他戛然而止，却太晚了。她瞪着他。她当然清楚他想说的是什么。不知她的目光是什么意思。
“你懂吗？”雷内道，“我已经推翻了大半个数学：这门学问全都没意义了。”
她焦躁起来，几乎快发疯了。卡尔小心翼翼地选择着字眼，“你怎么能这么说？数学仍然有作用。科学和经济并不会因为你这个领悟而突然崩溃的。”
“这是因为他们使用的数学纯粹是骗人的把戏。是一种口诀式的小玩意儿，跟用指关节来计算哪些月份有三十一天一样。”
“不一样。”
“为什么不一样？现在，数学与现实绝对毫无关系。且不说像虚数或者无穷小数之类的概念，现在，就连该死的整数加法都跟用指头计算毫无关系。你用指头计算，一加一始终等于二，但在纸上我可以给你无穷多的答案，这些答案全都同样有效，这意味着它们全都同样无效。我可以写出你见过的最优美的定理，但它却不过是一个瞎扯淡等式。”她苦笑起来，“实证主义者曾经说一切数学都是同义反复。他们错了：数学是自相矛盾。”
卡尔试了试另一种方式。“等一下。刚才你提到虚数这类想像出来的概念，大家不也一样接受了吗？现在不也可以这样吗？数学家们曾经相信虚数没有意义，可是现在它们成了数学的基础概念。情况完全是一样的呀。”
“不一样。当时的解决方法只是扩展语境，用在这里不起作用。虚数给数学增添新的内容，而我的形式系统却是给已经存在在那里的东西下定义。”
“但是，如果你改变语境，从不同的角度探索——”
她翻了个白眼。“不可能！这个体系是从和加法一样明白无误的公理得出的结果，无法绕过。我可以担保。”
7
1936年，格哈德·根茨恩提出了一种对算术一致性的证明，可是要做出证明，他需要采用一种有争议的方法，即人们所知道的超限归纳法。这种方法不属于正常的证明方法，因此似乎难以恰当地保证算术的一致性。根茨恩所做的是使用可疑的方法来证明显而易见的东西。
7a
卡拉汉从贝克利大学打电话来说他也不能雪中送炭，但表示愿意继续研究她的论文，似乎她触及到了某种本质的、而又令人不安的东西。他想知道她是否打算发表她的形式体系，因为这个形式体系虽然的确包含他们两人都无法发现的错误，但数学界肯定会有人能够发现的。
雷内几乎没有听见他说话，只是嘀咕今后她会打电话联系他的，近来，她与人讲话很困难，尤其是自从那次与卡尔争论以来，情况更糟糕。系里的同事们都尽量避开她。她显得心不在焉，前一天夜里她做了一个噩梦，梦见她发现了一种形式体系，可以使她将主观概念转换成数学语言，然后，她证明了生与死是相同的。
有一种可能性让她十分惊恐：她正能正在失去理智。她肯定在失去清晰的思维，这与失去理智已经相差无几了。
她责备自己，你是一个多么可笑的女人。哥德尔证明他的不完全定理后自杀了吗？
但是，哥德尔的定理是优美的，让人肃然起敬，是雷内所见到的最优美的一个定理。
而她自己的证明却嘲讽她，讥笑她。就好像谜题书中的一道难题，它说：这下我可把你难住了。你跳过这个错误，查看自己在哪儿出了问题，结果绕了一圈又兜回来，那个难题再一次对你说：又把你难住了。
她估计卡拉汉会考虑她的发现对数学的意义。数学的许多内容并没有实际用处，她的理论也可以仅仅作为一种形式而存在，研究它只是为了它包含的智力美。但这是不能持久的。自相矛盾的理论实在太无意义了，绝大多数数学家只会厌恶地置之不理。
使雷内真正感到恼火的是她自己的直觉出卖了她。那个该死的定理大有道理。它以自己怪异的方式，给人一种感觉，它是正确的。她理解它，知道它是真实的，并且相信它。
7b
想到她生日那天的情景，卡尔微笑起来。
“我不相信！你怎么可能知道？”她手里抱着一件毛衣，跑下楼来。
去年夏天，他们俩在苏格兰度假。爱丁堡一家百货商店有一件毛衣吸引住了雷内的眼光，但当时她没有买。于是他订购了这件毛衣，放在她的梳妆台抽屉里，等那天早晨给她一个惊喜。
“你这个人太容易被人一眼识破了。”他取笑她。夫妻俩都知道这话不是真话，但他还是喜欢这样告诉她。
那是两个月前的事情了。差点两个月。
现在情况不同了，需要改变一下做法。卡尔走进雷内的书房，发现她坐在椅子上，眺望窗外。“猜一猜我为我们俩搞到了什么？”
她抬起头来。“什么？”
“周末预订。在比尔特莫尔订了一套房间。我们可以放松放松，什么都不做——”
“请别说下去了。”雷内说，“卡尔，我明白你的心意。你想我们做点愉快的事情，好让我散散心，不去想这个形式体系。但不起作用。你不知道这个对我究竟是什么样的压力。”
“算了吧。算了吧。”他拉住她的手，想把她从椅子上拉起来，可是她挣开了。卡尔稍站片刻，突然她转过身来，死死盯着他。
“我想吃安眠药，这你知道吗？我几乎希望自己是一个白痴，用不着去思考形式体系。”
他大吃一惊，不知道说什么好。“你至少可以试试离开一段时间，为什么不呢？有益无害呀，说不准会分散你的心思呢。”
“没有什么可以使我分散心思。你不明白。”
“那就解释给我听吧。”
雷内呼出一门气，转身想了一下。“就好像我看见的一切都在向我大喊大叫那个矛盾。”她说，“现在我一直在给不同的数字列等号。”
卡尔陷入了沉默。突然间，他懂了。“这就好像面对量子力学问题的古典物理学家们。仿佛你一直相信的理论给取代了，而新的理论又没有意义，但不知怎么回事，所有证据却都支持这种新理论。”
“不对，压根儿不是那么一回事。”她几乎对他的说法嗤之以鼻，“这与证据没有丝毫关系；这完全是先验的。”
“怎么不同？你的推理和证据之间互相矛盾，这不正是你的问题吗？”
“基督呀，你在开玩笑吗？我测算一和二相等，现在我的直觉也告诉我它们相等。我的脑子里再也无法保持不同数量的概念了，它们对我来说全都是相同的。”
“你不是这个意思吧。”他说，“事实上谁也不可能经历这种事情。”
“你怎么知道我能够经历什么呢？”
“我在尽力去理解。”
“别操那份心了。”
卡尔失去了耐心。“那好吧。”说着他走出屋子，取消了预订。
从那之后，夫妻俩彼此寡言少语，只有必要时才说话。三天后，卡尔忘记带他需要用的一盒幻灯片，便驱车回家取，回到家里发现桌子上有一张妻子的留言条。
在接下来的时刻里，卡尔产生了两个直觉。他飞奔穿过房子，边跑边纳闷她是否从化学系搞到了氰化物。就在这时，他产生了第一个直觉：他意识到因为不明白什么原因导致她做出这种事，所以对她没有什么同情之类的感受，没有任何感受。
当他一边猛敲卧室门，一边向屋里的她吼叫的时候，他产生了第二个自觉：感受到一种记忆错觉。这种情形似曾相识，却又逆反得荒谬。他记得自己曾经待在一座建筑物房顶一道锁着的门内，听见一位朋友在外面一边猛力敲门，一边向他吼叫别寻短见。此刻他站在卧室门外，听见她羞愧地瘫倒在地板上哭泣，与他当年待在门里面时的情形毫无二致。
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希尔伯特曾经说过：“如果连数学思维都有缺陷，我们还能在哪里找到真理与正确呢？”
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雷内暗自纳闷：她自杀未遂会给自己的一生蒙上阴影吗？她的目光对准躺在书桌上的论文的角落。从此以后，人们也许会无意识地把她视为行为反复无常吗？她从来没有问过卡尔他是否也有过这种焦虑感，也许是因为不愿对他提起他当年自杀的事。那是发生在多年以前的事了，如今，任何见到他的人都会立刻知道他是一个健全的人。
然而，雷内却不能说自己是个健全的人。眼下，她不能理性地讨沦数学，而且不敢肯定将来她是否能够恢复理智。现在，如果她的同事见到她，会不会说她丧失了数学才华？
雷内做完案头的工作，离开书房，走进起居室。她的形式体系传遍数学界后，将彻底动摇根深蒂固的数学基础，但是只有少数人会受到她这样的影响